2024年广东省江门市实验中学中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省江门市实验中学中考一模数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，方程的根是，则k的值是，如图，已知，，则的度数为，不等式组的解集为，一次函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
（考试范围：初中全部数学内容；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的绝对值是（ ）
A．3B．C．D．
2．2024年春节假期全国国内旅游出游474000000人次，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列由若干个棱长相等的立方体搭成的几何体中，左视图为下图的是（ ）
A．B．C．D．
4．方程的根是，则k的值是（ ）
A．5B．C．1D．
5．如图，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．无法确定
7．下图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为（ ）
A．14，15B．15，14C．15，15D．15，
8．不等式组的解集为（ ）
A．无解B．C．D．
9．一次函数的图象大致是（ ）．
A．B．
C．D．
10．如图是二次函数的图象，对称轴是直线．关于下列结论：①；②，③；④；⑤方程两个根为，，其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．反比例函数经过点，则 ．
13．分解因式： .
14．如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．

15．如图，圆O中，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为 ．
三、解答题（一）（第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．为进一步发展基础教育，某市在2022年投入教育经费6000万元，2024年投入教育经费8640万元．假设该市投入教育经费的年平均增长率相同．
(1)求这两年该市投入教育经费的年平均增长率．
(2)若该市教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，则2025年该市预算投入教育经费多少万元？
18．有、两个盒子．盒内有三个球，分别标有数字、、．盒有二个球，分别标有数字、．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，再从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，以此确定点的一个坐标为．
(1)用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标；
(2)求点落在第三象限的概率．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设此方程的两个根为与，若，求k的值．
20．如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．
(1)求证：．
(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．
21．甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米．
(1)求甲、乙两人出发时的水平距离．
(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
22．如图，矩形中，，．E是的中点，以为直径的与交于F，过F作于G．
(1)求证：是的切线．
(2)求的值．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【解答】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【解答】解：，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了三视图，根据左边看到的视图是左视图，逐项分析判断，即可求解．
【解答】A的左视图为，故不正确；
B的左视图为，故不正确；
C的左视图为，故正确；
D的左视图为，故不正确；
故选C．
4．B
【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，根据方程的根是，将代入方程，列出关于k的一元一次方程求解即可．
【解答】解：方程的根是，
，
解得：，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角的定义，根据，得到，即可得到，由，利用邻补角的定义即可求解．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．B
【分析】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
，即，
，
，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是正确判断的前提．根据中位数、众数的定义进行计算即可求解．
【解答】解：这20名篮球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；
将这20名篮球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，因此中位数是岁．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可．
【解答】解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查一次函数的图象．熟练掌握一次函数的性质，与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．是解题的关键．根据一次函数的性质，判断直线经过的象限，即可求解．
【解答】解：一次函数中，
，
一次函数的图象在一、二、四象限；
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．根据二次函数图像判定代数式的正负和数形结合思想是解题的关键．
【解答】解：由图象可得：抛物线开口向下，∴，
对称轴在y轴左侧，根据左同右异，∴，∴，故①错；
由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，∴，故②正确；
由图象可得：时，，∴，故③错；
由图象可得：，∴，∴，故④正确；
由图象可得：的两根分别为，，∴方程两个根为，，故⑤正确；
故选：B．
11．
【解答】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
12．
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式中即可求得k的值．
【解答】解：反比例函数经过点，
，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了因式分解，首先提公因式，再根据平方差公式进行分解即可，解题的关键是掌握提公因式法和公式分解法因式分解．
【解答】解：，
故答案为：．
14．
【分析】根据作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，得到，由四边形是菱形，，，推出，，利用勾股定理求出，即可求出．
【解答】解：如图，设所作直线交边于点F，

由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，
，
四边形是菱形，，，
，
，，
在中，，
，
（负值舍去），
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的作法及性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
15．
【分析】根据圆周角定理求出，进而求得，根据垂径定理求出，，再解直角三角形求出，最后根据扇形面积公式求解即可．
【解答】解：，
，
，
为的中点，，
，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、扇形面积公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解答本题的关键．
16．(1)2
(2)
【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算；
（1）先计零指数幂，化简二次根式，负整数幂，代入三角函数值，再计算加减即可；
（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)
(2)万元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是解决本题的关键．
（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；
（2）根据增长率得出2025年的教育经费．
【解答】（1）解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该市投入教育经费的年平均增长率为．
（2）因为2017年该市投入教育经费为万元，且年平均增长率为，
所以年该市投入教育经费为：（万元），
答：预算年该市投入教育经费万元．
18．(1)见解析
(2)点落在第三象限的概率为．
【分析】本题主要考查利用列表和画树状图计算概率：
（1）根据列表和画树状图的方法即可求得答案；
（2）根据列表和画树状图可求得事件所有可能的结果和点落在第三象限的结果．
【解答】（1）列表如下所示．
树状图如下所示．
（2）点共有种可能的结果，其中事件“落在第三象限”包含和两种结果．
所以，点落在第三象限的概率为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；
（1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值．
【解答】（1）解：由题意得：
解得：；
（2）解：由题意得：，，
∴，即，解得：
20．(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明；
（2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
21．(1)米
(2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点A作，根据坡度比设，则，利用勾股定理即可求解；
（2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，列分式方程即可求解．
【解答】（1）解：过点A作，如图，
由题意得：，，
∴设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：，
∴米；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，
由题意得：，解得：，
经检验：是分式方程的解，
则，
∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点O，由圆周角定理推论得到，根据矩形，得到四边形是矩形，得到，点O是的圆心，根据，证明，根据，得到，推出，即得是的切线；
（2）证明，，，根据勾股定理得到，根据余弦定义即得．
【解答】（1）连接交于点O，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴点O是的圆心，
∵E是的中点，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了圆，矩形，三角形综合．熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识，是解题的关键．
23．（1）y＝﹣x2+x﹣2；（2）存在，P（2，1）；（3）存在，点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．
【分析】（1）用抛物线交点式表达式确定c的值，进而求解；
（2）tan∠OAC＝，以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，则tan∠PAM＝2或，即可求解；
（3）确定DE的函数表达式，即可求解．
【解答】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2，
故4a＝﹣2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+﹣2；
（2）存在，理由：
设点P（x，﹣x2+﹣2），则点M（x，0），
则PM＝﹣x2+﹣2，AM＝4﹣x，
∵tan∠OAC＝，

∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
故tan∠PAM＝或2，故＝2或，
解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去），
故x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
故P（2，1）；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AC的表达式为：y＝x﹣2，
设点D（x，﹣x2+x﹣2），则点E（x，x﹣2），
DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，
∵＜0，故DE有最大值，当x＝2时，DE的最大值为2，
此时点D（2，1）；
故点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．
【点拨】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的的基本性质、相似三角形的基本性质、待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数最值等知识点，熟悉数形结合与分类讨论思想是解答关键．