2024学年陕西省宝鸡市凤翔区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024学年陕西省宝鸡市凤翔区中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，如图，在中，，则，已知抛物线， 等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑．
5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．的倒数是（ ）
A．2B．C．D．0
2．各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．计算：（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线（）不经过第四象限，且点在该直线上，设，则m的取值可能是（ ）
A．B．C．D．3
6．如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8． ．
9．“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，在1号染色体内，缠绕了大约245520000个核苷酸碱基对，大概包含了人类细胞中的DNA，将数据245520000用科学记数法表示为 ．
10．如图，是正五边形的外角的平分线，连接，则 ．
11．如图，在中，是高，，分别是，的中点，且，则四边形的周长为 ．
12．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若的面积为2，则该反比例函数的表达式为 ．
13．如图，正方形的边长为6，点E、F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为 ．

三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14．解不等式：．
15．计算：．
16．化简：．
17．如图，在中，点D在边上，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在四边形中，，点E为上一点，．且．求证：．
19．随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？
20．如图，在中，，，，，求边的长．
21．通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
(1)小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
(2)小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？
22．为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．
(1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分；
(2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；
(3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？
23．综合实践课上，实验中学的数学兴趣小组在用所学的数学知识来“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度．
24．公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
(1)分别求段和段所对应的函数表达式；
(2)试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？
25．如图，为的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，过点作交切线的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
26．悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求主索抛物线的函数表达式；
(2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
27．提出问题：
（1）如图1，在中，，，，则BC边上的高AD的长为______；
问题探究：
（2）如图2，内接于，弦，半径为6，求面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形的空地，在空地边的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即），连接，在处种植绿植，其中，测得米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出面积的最大值，若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】此题考查了倒数，根据互为倒数的两个数的积为1进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴的倒数是，
故选：C
2．B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据定义“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
【解答】解：由中心对称图形的定义可知：
A，不是中心对称图形，不合题意；
B，是中心对称图形，符合题意；
C，不是中心对称图形，不合题意；
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选B．
3．D
【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．要熟记单项式与多项式的每一项都相乘，不要漏项．
根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解即可．
【解答】解：
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了根据平行线性质求角的度数，三角形外角性质，邻补角的求解，现根据平行线性质求出的度数，根据三角形外角性质求出的度数，最后利用邻补角定义求出结果即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．解决本题的关键是用表示出．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围，进而求解即可．
【解答】解：把代入得，，
因为直线（）不经过第四象限，
所以直线经过第一、二、三象限，
所以，，即，
所以的范围为，
因为，
所以的范围为．
所以m的取值可能是．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和；
连接，根据圆周角定理可得，，根据三角形内角和即可求解．
【解答】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称性求得，进而根据二次函数的性质逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∵与关于直线对称，，
∴，
∴，
∴当时，，故C选项正确
∵
∴
∴，故A选项错误；
由题意知，，
则，故B选项错误，
∵
∴，故D选项错误，
故选：C．
8．
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据，即可求解．
【解答】解：
故答案为：．
9．
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：，
故答案为：
10．##108度
【分析】首先根据多边形内角和求出正五边形内角和为，然后求出，然后根据角平分线概念求出，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，进而求解即可．
【解答】∵正五边形内角和为，
∴，
∴，
∵是正五边形的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查了正多边形内角和问题，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是求出正五边形的内角．
11．12
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，计算四边形的周长即可．
【解答】解∶∵是高，
∴，
∵ 分别是的中点，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶．
12．
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
连结，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵比例函数图象在第二，四象限，
∴，
∴．
∴反比例函数的解析式为 ．
故答案为：．
13．##
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由“”可证，可得，可证，即点P在以为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
【解答】四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴点P在以为直径的圆上运动，如图，取的中点O，连接，
，
，
当点P在线段上时，有最小值为．

14．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
不等式两边同时除以3，得．
15．
【分析】本题考查的是二次根式的乘法，二次根式的加减运算，零次幂，化简绝对值，熟记相应的运算法则是解本题的关键．先计算二次根式的乘法运算，化简绝对值，零次幂，再合并即可．
【解答】原式
．
16．
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式型．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】原式

．
17．见解析
【分析】本题主要考查作一个角等于已知角的尺规作图、平行线的判定、平行线分线段成比例等知识点，根据题意作出，得到，证明出即可．
【解答】如图所示，点E即为所求．
∵，
∴，
由作图可得，，
∴，
∴，
∴．
18．证明见解析
【分析】利用平行线的性质先证明结合，，证明△ABD≌△ECB，再利用全等三角形的性质可得答案．
【解答】证明：

在△ABD与△ECB中， ，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握“利用ASA证明两个三角形全等”是解本题的关键．
19．每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可．
【解答】设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，
由题意，得，
解得．
答：每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品．
20．
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据直角三角形的特征得，利用求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【解答】∵，，，
．
，
，
，
．
21．(1)；
(2)．
【分析】（）直接根据概率公式求解即可；
（）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
【解答】（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是；
（2）画树状图，
共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色，共种结果，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率．
22．(1)4，3.5
(2)学校食堂需要整改
(3)估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有300人
【分析】本题主要考查众数、中位数和加权平均数及样本估计总体思想，解题的关键是掌握众数、中位数和加权平均数的定义．
（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【解答】（1）由条形统计图可知，4分的最多，所以众数是4（分），
从低到高排列后，第20个和21个数据分别为3分和4分，所以中位数是（分）；
故答案为：4，3.5；
（2）学生所评分数的平均数为（分），
，
学校食堂需要整改；
（3）（人），
答：估计评分在4分及以上（含4分）的有300人．
23．教学楼的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形．根据题意得四边形是矩形，则可得，，分别在与中，利用三角函数的知识，求得的长，进而可得．
【解答】根据题意，得四边形BDCG是矩形，
．
在中，，
，
，
．
在中，，
，
．
答：教学楼的高度约为．
24．(1)OA段所对应的函数表达式为；AB段所对应的函数表达式为
(2)试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天
【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为过原点的直线（射线，线段），函数解析式可设为：，函数图象为任意直线（射线，线段），函数解析式可设为：．
（1）段的函数为正比例函数，设，把点代入可求得的值，进而可得段的函数解析式；段的函数为一次函数，可设，把点和点代入可得和的值，即可求得段的函数解析式；
（2）若日销售利润为640元，则销售量为：（件，把分别代入（1）中得到的两个函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得日销售利润不低于640元的天数．
【解答】（1）解：设段所对应的函数表达式为，
将代入 中，得：
．
解得：，
段所对应的函数表达式为：．
设段所对应的函数表达式为．
经过点，，
．
解得：．
段所对应的函数表达式为：；
（2）（件．
在段，当时，，
解得：．
在段，当 时，，
解得：．
（天．
试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质，得到，圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，得到，即可得证；（2）勾股定理求出，证明，得到，即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接
是的切线，
．
为的直径，
，
．
，
，
；
（2）解：，
．
，
．
，
，
．
，
，
，即，
．
【点拨】本题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
26．(1)主索抛物线的函数表达式为
(2)四根吊索的总长度为
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可；
（2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题．
【解答】（1）由图可知，点C的坐标为．
设该抛物线的函数表达式为．
又点P坐标为，
，
，
∴主索抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，当时，，
此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
当时，，此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
，
∴四根吊索的总长度为
27．（1）；（2）面积的最大值为；（3）绿植面积能取到最大，面积的最大值为平方米
【分析】（1）利用勾股定理算出，再利用等面积法建立等式求解，即可解题；
（2）过点作于点，延长交圆于点，由为定值，则要面积的最大，即到的距离最大，当到的距离过圆心时最大，即为，利用垂径定理得到，利用勾股定理算出，最后利用三角形面积公式求解即可；
（3）取中点为圆心，为半径，画圆，过点作于点，延长交于点，利用勾股定理算出，由为定值，当到距离最大时，面积的最大，即当到距离过圆心时，此时到距离最大，记为，证明，利用相似的性质求出，进而得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）解：，，，
，
，
即，
解得；
故答案为：．
（2）解：过点作于点，延长交圆于点，
弦，半径为6，
要面积的最大，即到的距离最大，
当到的距离过圆心时最大，即为，
，，
，
，
面积的最大值为：；
（3）解：绿植面积能取到最大，
空地边的中点为D， 米，
米，
米，，
米，
为定值，当到距离最大时，面积的最大，
取中点为圆心，为半径，画圆，过点作于点，延长交于点，
游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直，
E的运动轨迹为上的弧，当到距离过圆心时，此时到距离最大，记为，
，，
，
，
米，
，
解得米，
米，
面积的最大值为（平方米）．
【点拨】本题考查勾股定理，等面积法求高，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积最大值，解题的关键在于利用圆中线段的特点找出面积最大值所在位置．
实践探究活动记录
课题
测量教学楼高度
测量工具
测角仪，皮尺
设计方案
说明：办公楼的高为，从，点C处测得教学楼楼顶A的仰角为，教学楼底部B的俯角为，
测得数据
参考数据