（其六）第三单元：八种问题之比在圆柱圆锥中的应用问题专项练习-六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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一、填空题。
1．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的底面积之比是3∶1，那么圆柱和圆锥的高之比是( )。
【答案】1∶9
【分析】根据题意，圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的底面积之比是3∶1，可以设圆柱和圆锥的体积都是1，圆柱的底面积是3，则圆锥的底面积是1；
根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，据此分别求出圆柱的高和圆锥的高；然后根据比的意义，写出圆柱和圆锥的高之比，并化简比。
【详解】设圆柱和圆锥的体积都是1，圆柱的底面积是3，则圆锥的底面积是1；
圆柱的高：1÷3＝
圆锥的高：1×3÷1＝3
∶3
＝（×3）∶（3×3）
＝1∶9
圆柱和圆锥的高之比是1∶9。
【点睛】利用赋值法，灵活运用圆柱、圆锥体积公式，求出圆柱的高和圆锥的高，再根据比的意义和化简比解答。
2．两个圆柱的高相等，底面的直径比是3∶5，两个圆柱的底面积之比是( )，侧面积比是( )，体积之比是( )。
【答案】 9∶25 3∶5 9∶25
【分析】由题意可知，底面的直径比是3∶5，则其中一个圆柱的底面直径为3，另一个圆柱的底面直径为5，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出两个圆柱的底面积的比；两个圆柱的高相等，则假设它们的高为h，再根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此求出它们的侧面积的比；再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出它们的体积的比。
【详解】假设它们的高为h
（3÷2）2π∶（5÷2）2π
＝2.25π∶6.25π
＝2.25∶6.25
＝（2.25×100）∶（6.25×100）
＝225∶625
＝（225÷25）∶（625÷25）
＝9∶25
3πh∶5πh
＝（3πh÷πh）∶（5πh÷πh）
＝3∶5
（3÷2）2πh∶（5÷2）2πh
＝2.25πh∶6.25πh
＝2.25∶6.25
＝（2.25×100）∶（6.25×100）
＝225∶625
＝（225÷25）∶（625÷25）
＝9∶25
则两个圆柱的底面积之比是9∶25，侧面积比是3∶5，体积之比是9∶25。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积，熟记公式是解题的关键。
3．两个圆柱的底面半径之比是2∶3，它们的高相同，则它们的体积之比是( )。
【答案】4∶9
【分析】已知两个等高的圆柱体的底面半径的比是2∶3，则假设这两个圆柱的底面半径是2和3，高为1，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答出两个圆柱的体积，进而写出它们的比即可。
【详解】假设这两个圆柱的底面半径是2和3，高为1，
π×22×1
＝π×4×1
＝4π
π×32×1
＝π×9×1
＝9π
4π∶9π
＝（4π÷π）∶（9π÷π）
＝4∶9
它们的体积比是4∶9。
【点睛】本题主要考查了比的意义和圆柱的体积公式的应用，可用假设法解决问题。
4．高相等，底面半径之比是1∶2的圆柱与圆锥，它们的体积之比是( )∶( )。
【答案】 3 4
【分析】结合题意，把圆柱的底面半径看作1，则圆锥的底面半径就是2，设它们的高都为h；分别求出圆锥、圆柱的体积，即可求得它们的体积比。
【详解】设圆柱的底面半径为1，则圆锥的底面半径为2，它们的高相等，记为h，则圆锥的体积＝×22×πh＝πh，圆柱的体积＝πh；
πh∶πh
＝（πh÷πh）∶（πh÷πh）
＝1∶
＝3∶4
高相等，底面半径之比是1∶2的圆柱与圆锥，它们的体积之比是3∶4。
【点睛】此题考查了圆锥和圆柱的体积公式的实际应用。
5．一个圆柱和一个圆锥的高相等，它们的底面积之比是1∶3，则它们的体积比是( )。
【答案】1∶1
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，而圆锥的体积＝×底面积×高，据此先分别求出圆锥和圆柱的体积，进而写出对应比得解。
【详解】设圆柱的底面积就为1份数，那么圆锥的底面积为3份数，则有
（1×高）∶（×3×高）
＝1∶1
它们的体积的比是1∶1。
【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积公式的灵活运用，也考查了比的意义，注意结果要化成最简比。
6．一个圆柱和一个圆锥，底面周长之比是3∶2，它们的体积之比是5∶2，那么圆锥与圆柱高的比是( )。
【答案】27∶10
【分析】根据底面周长的比是3∶2即半径的比是3∶2，把圆柱的半径看作3份，那圆锥的半径看作2份，根据体积比是5∶2，把圆柱的体积看作5份，那圆锥的体积看作2份，最后根据圆柱和圆锥的体积，即可求出，圆锥与圆柱高的比，再根据比的基本性质，化成最简单的整数比。
【详解】圆锥与圆柱高的最简单的整数比是：
[2×3÷π÷22]∶（5÷π÷32）
＝（6÷4÷π）∶（5÷9÷π）
＝∶
＝（×18π）∶（×18π）
＝27∶10
【点睛】解答此题的关键是，根据圆柱和圆锥的体积公式，找出对应量，写出圆锥与圆柱高的比，化简即可。
7．一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，圆锥的高比圆柱的高多，则圆锥与圆柱的体积之比是( )。
【答案】5∶4
【分析】圆柱体积＝πr2h，圆锥体积＝πr2h，底面周长＝2πr。一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，则它们的底面半径比是2∶3，可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。圆锥的高比圆柱的高多，圆柱高为“1”，则圆锥高为。据此可得出答案。
【详解】一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比是2∶3，则它们的底面半径比是2∶3，可设圆柱和一个圆锥的底面半径分别为2和3。则圆锥的体积：
×π×32×
＝×π×9×
＝5π；
圆柱体积为：π×22×1＝4π
即圆锥和圆柱的体积之比为：
【点睛】本题主要考查的是圆柱、圆锥的体积及比的应用，解题的关键是熟练掌握圆柱、圆锥的体积公式，进而得出答案。
8．如图，在直角三角形MON中，MO＝2厘米，NO＝5厘米，如果分别以MO、NO边为轴旋转一周形成圆锥，那么以MO为轴和以NO为轴的圆锥体积之比是( )。
【答案】5∶2
【分析】以MO为轴旋转一周形成的圆锥，底面半径为5厘米，高为2厘米，以NO为轴旋转一周形成的圆锥，底面半径为2厘米，高为5厘米，利用“”分别求出两个圆锥的体积，最后根据比的意义求出两个圆锥的体积比，据此解答。
【详解】以MO为轴旋转一周形成圆锥：＝（立方厘米）
以NO为轴旋转一周形成的圆锥：＝（立方厘米）
∶＝∶＝50∶20＝5∶2
【点睛】掌握圆锥的体积计算公式和比的意义是解答题目的关键。
9．下面的几何体中，h1∶h2＝2∶3，那么圆锥与圆柱的体积之比是( )。
【答案】2∶9
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，已知圆柱和圆锥的底面半径相等，也就是底面积相等，圆锥的高与圆柱的高之比是2∶3，设圆柱和圆锥的底面积为S，圆柱的高为3h，圆锥的高为2h，据此可以求出圆锥和圆柱体积的比即可。
【详解】设圆柱和圆锥的底面积为S，圆柱的高为3h，圆锥的高为2h。
S×2h∶S×3h
＝Sh∶3Sh
＝2∶9
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式以及比的灵活运用，关键是熟记公式。
10．如下图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。
【答案】1∶2
【分析】根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可把阴影部分旋转后得到的立体图形的体积看作1份，空白部分旋转后得到的立体图形的体积看作（3－1）份，根据比的意义，从而求解。
【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，
则1∶（3－1）＝1∶2
所以阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶2。
【点睛】此题主要考查图形的旋转，圆柱体和圆锥体的体积计算，关键是熟悉等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍的知识点。
二、选择题。
11．圆锥和圆柱底面半径之比3∶2，体积之比为3∶4，则高之比是（ ）。
A．1∶1B．9∶16C．4∶3
【答案】A
【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，以及圆锥和圆柱底面半径之比3∶2，可知圆锥和圆柱底面积之比等于它们的底面半径的平方比；由此把圆锥和圆柱的底面积之比、体积之比看作份数；
根据圆锥的体积公式V＝Sh，圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，圆柱的高h＝V÷S，分别代入数据计算，求出圆锥和圆柱的高，再根据比的意义写出它们高的比即可。
【详解】由圆锥和圆柱底面半径之比3∶2可知，圆锥和圆柱底面积之比32∶22＝9∶4；
设圆锥的底面积是9，体积是3；则圆柱的底面积是4，体积是4。
圆锥的高：3×3÷9＝1
圆柱的高：4÷4＝1
圆锥和圆柱的高之比是1∶1。
故答案为：A
【点睛】明确圆锥和圆柱底面积之比等于它们底面半径的平方比，然后把圆锥和圆柱底面积之比、体积之比看作份数，运用赋值法，灵活利用圆锥、圆柱体积公式，求出圆锥和圆柱的高，再根据比的意义求出它们高的比。
12．一个长方体与一个圆锥体积之比是5∶6，高之比是10∶27，那么它们底面积之比是（ ）。
A．3∶4B．4∶3C．4∶9D．9∶4
【答案】A
【分析】根据“长方体与圆锥的体积之比是5∶6”，设长方体的体积为5，则圆锥的体积为6；根据“长方体与圆锥的高之比是10∶27”，设长方体的高为10，则圆锥的高为27；
然后根据长方体的底面积S＝V÷h，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，分别求出长方体、圆锥的底面积，再根据比的意义，写出它们底面积之比，并化简比。
【详解】设长方体的体积为5，高为10；则圆锥的体积为6，高为27。
长方体的底面积：5÷10＝
圆锥的底面积：3×6÷27＝
∶
＝（×6）∶（×6）
＝3∶4
它们底面积之比是3∶4。
故答案为：A
【点睛】本题考查长方体、圆锥的体积公式的灵活运用，以及比的意义、化简比。
13．一个圆锥体和一个圆柱体的高相等，它们的底面积之比是3∶2，那么圆锥体体积与圆柱体体积的比是（ ）。
A．3∶2B．3∶4C．1∶2
【答案】C
【分析】根据圆柱体体积公式和圆锥体体积公式解答即可。
【详解】设圆锥的底面积为3s，圆柱的底面积为2s，圆锥体和圆柱体的高为h，则：
圆锥的体积＝×3s×h＝sh
圆柱的体积＝2s×h＝2sh
圆锥体体积：圆柱体体积＝sh∶2sh＝1∶2
故答案为：C
【点睛】本题考查了圆柱体体积和圆锥体体积，需灵活使用计算公式。
14．一个圆柱形容器和一个圆锥形容器的底面积相等，高之比是2∶1。将圆柱形容器注满水，再把水倒入圆锥形容器内，能倒满（ ）次。
A．2B．3C．6D．12
【答案】C
【分析】根据题意，可假设圆柱形容器和圆锥形容器的底面积都是S，高分别是2h和h，利用圆锥和圆柱的体积公式，分别表示出圆柱形容器和圆锥形容器装满水后的体积，再用圆柱形容器装满水后的体积除以圆锥形容器装满水后的体积，即可得解。
【详解】假设圆柱形容器和圆锥形容器的底面积都是S，高分别是2h和h，
圆柱的体积：
圆锥的体积：
（次）
即能倒满6次。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。
15．两个圆锥的底面积相等，第一个圆锥与第二个圆锥的高之比是5∶7，第一个圆锥的体积是35立方厘米，第二个圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A．25B．49C．84
【答案】B
【分析】圆锥的体积＝Sh。两个圆锥的底面积相等，第一个圆锥与第二个圆锥的高之比是5∶7，则第一个圆锥与第二个圆锥的体积之比是5∶7，第二个圆锥的体积是第一个圆锥体积的。已知第一个圆锥的体积是35立方厘米，用35乘即可求出第二个圆锥的体积。
【详解】35×＝49（立方厘米）
故答案为：B
【点睛】本题考查了圆锥的体积和比的综合应用。根据圆锥的体积公式，得出“第一个圆锥与第二个圆锥的体积之比是5∶7”是解题的关键。
16．如图所示，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是（ ）。
A．2∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶1
【答案】B
【分析】一个长方形绕轴旋转一周，可以得到一个圆柱，而一个直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥，根据题意可知，这个两个图形等底等高，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，据此可知，圆锥的体积是1份，而圆柱的体积是3份，阴影部分的体积是圆锥的体积，空白部分的体积是圆柱比圆锥多的体积，据此写出它们的比即可。
【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，
1∶（3－1）
＝1∶2
将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶2。
故答案为：B
【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。
三、解答题。
17．一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8∶3，圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍。若圆锥的高是36厘米，则圆柱的高是多少厘米？
【答案】8厘米
【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8∶3，圆柱底面半径是圆锥底面半径的2倍，又知道圆锥的高是36厘米，求圆柱的高是多少厘米。根据它们的体积公式，设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h，根据比的意义解答。
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h，
由题意得：圆柱的体积∶圆锥的体积＝8∶3；
[π×（2r）2×h]∶[πr2×36]＝8∶3
[π×4r2×h]∶[πr2×12]＝8∶3
[4πr2×h]∶12πr2＝8∶3
4πr2h∶12πr2＝8∶3
h∶3＝8∶3
3h＝3×8
3h＝24
3h÷3＝24÷3
h＝8
答：圆柱的高是8厘米。
【点睛】此题主要根据圆柱和圆锥的体积计算方法以及运用等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系解决问题。
18．一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积之比是。已知圆柱的底面积是，圆锥的底面积是多少平方厘米？
【答案】
【分析】根据题意，可以先设圆柱和圆锥的高均为（也可以设一个固定的数值），则圆柱的体积就是，再根据圆柱体积和圆锥体积的比求出圆锥的体积为，最后根据圆锥的体积公式求出圆锥的底面积即可。
【详解】假设圆柱和圆锥的高均为；
答：圆锥的底面积是。
【点睛】解决这类等量关系比较复杂的问题时，可以通过设值法简化问题。
19．下图的两个圆柱高是20厘米，底面直径之比是4∶3，它们的体积之比是多少？
【答案】16∶9
【分析】底面直径之比是4∶3，假设大圆柱的底面直径是4厘米，小圆柱的底面直径是3厘米，再根据圆柱的体积＝底面积×高，求出体积，再求出它们的体积之比即可。
【详解】3.14×（4÷2）2×20
＝12.56×20
＝251.2（立方厘米）
3.14×（3÷2）2×20
＝7.065×20
＝141.3（立方厘米）
251.2∶141.3＝2512∶1413＝16∶9
答：它们的体积之比是16∶9。
【点睛】本题考查圆柱的体积、比，解答本题的关键是掌握圆的体积公式。
20．甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得底面积之比是，甲容器中装有1130.4cm³的水，水深14.4cm。现将甲容器中一部分的水倒入乙容器（原来是空的）中，使得两个容器的水深相等，这时乙容器中的水深是多少厘米？
【答案】9厘米
【分析】如果两个容器的水一样深，那么它们的体积比是，根据题意知道，总共水体积为1130.4立方厘米，所以甲圆柱形中水体积为总共水体积的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出甲容器中的水的体积，然后求出甲容器中水的体积是原来水体积的几分之几，因为是同一容器，即现在甲容器中水的高度是原来甲容器中水的高度的几分之几，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
【详解】
（立方厘米）
（厘米）
答：这时乙容器中的水深是9厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，一个数乘分数的意义及应用。