（篇一）第四单元比例·比例的意义和基本性质篇-六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

这是一份（篇一）第四单元比例·比例的意义和基本性质篇-六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版，文件包含第四单元比例·比例的意义和基本性质篇-六年级数学下册典型例题系列原卷版人教版docx、第四单元比例·比例的意义和基本性质篇-六年级数学下册典型例题系列解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！
101数学创作社
2024年2月24日
2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列
第四单元比例·比例的意义和基本性质篇【十二大考点】
专题解读
本专题是第四单元比例·比例的意义和基本性质篇。本部分内容包括比例的意义、基本性质以及解比例等，考点考题较多，难度不大，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15941" 【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例 PAGEREF _Tc15941 \h 3
\l "_Tc28790" 【考点二】比例的意义其二：组比例 PAGEREF _Tc28790 \h 6
\l "_Tc18759" 【考点三】比例的意义其三：求某项 PAGEREF _Tc18759 \h 7
\l "_Tc9500" 【考点四】比例的基本性质其一：求某项 PAGEREF _Tc9500 \h 10
\l "_Tc370" 【考点五】比例的基本性质其二：项的变化规律 PAGEREF _Tc370 \h 12
\l "_Tc29920" 【考点六】比例的八种变换形式 PAGEREF _Tc29920 \h 13
\l "_Tc14708" 【考点七】比例中项 PAGEREF _Tc14708 \h 16
\l "_Tc9868" 【考点八】解比例方程其一：比例式 PAGEREF _Tc9868 \h 17
\l "_Tc10363" 【考点九】解比例方程其二：分数式 PAGEREF _Tc10363 \h 19
\l "_Tc6648" 【考点十】解比例方程其三：混合式 PAGEREF _Tc6648 \h 20
\l "_Tc9944" 【考点十一】解比例方程其四：复杂的比例方程 PAGEREF _Tc9944 \h 21
\l "_Tc18081" 【考点十二】配比例 PAGEREF _Tc18081 \h 22
典型例题
【考点一】比例的意义其一：判断是否成比例。
【方法点拨】
1.比例的意义：
（1）表示两个比相等的式子叫做比例。
（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。
2.比例的各部分名称：
（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。
（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
3.比例的三种常见形式：
（1）比例式：
例如：80:2=200:5
（2）分数式：
例如：
（3）乘积式：
例如：80×5=200×2
【典型例题】
下面式子中，( )是比例。
A．∶4＝1∶20B．16∶4＝4
C．3∶5＝5∶3 D．7∶2＝∶
【答案】A
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。
【详解】A．∶4＝÷4＝×＝
1∶20＝1÷20＝
＝，所以∶4＝1∶20，是比例；
B．16∶4＝4是一个等式，不是比例；
C．3∶5＝3÷5＝
5∶3＝5÷3＝
≠，所以3∶5＝5∶3不是比例；
D．7∶2＝7÷2＝
∶＝÷＝×2＝
≠，所以7∶2＝∶不是比例。
故答案为：A
【对应练习1】
下面每组中的两个比不成比例的是( )。
A．6∶9和9∶12B．1.4∶2和7∶10
C．0.5∶0.2和∶D．∶和7.5∶1
【答案】A
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。
分别求出各选项中两个比的比值，比值相等的成比例；比值不相等的，就不成比例。
【详解】A．6∶9＝6÷9＝
9∶12＝9÷12＝
不等于，比值不相等，所以6∶9和9∶12不成比例，符合题意；
B．1.4∶2＝1.4÷2＝0.7
7∶10＝7÷10＝0.7
比值相等，所以1.4∶2和7∶10成比例，不符合题意；
C．0.5∶0.2＝0.5÷0.2＝2.5
∶＝÷＝×4＝2.5
比值相等，所以0.5∶0.2和∶成比例，不符合题意；
D．∶＝÷＝×10＝7.5
7.5∶1＝7.5÷1＝7.5
比值相等，所以∶和7.5∶1成比例，不符合题意。
故答案为：A
【对应练习2】
下面每组中的两个比。可以组成比例的是( )。
A．2∶3和21∶14B．和
C．1∶0.25和8∶2D．和
【答案】C
【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各选项中比的比值，比值相等的可以组成比例。
【详解】A．2∶3＝2÷3＝、21∶14＝21÷14＝＝，比值不相等，2∶3和21∶14不可以组成比例；
B．、，比值不相等，和不可以组成比例；
C．1∶0.25＝1÷0.25＝4、8∶2＝8÷2＝4，比值相等，1∶0.25和8∶2可以组成比例；
D．、，比值不相等，和不可以组成比例。
可以组成比例的是1∶0.25和8∶2。
故答案为：C
【对应练习3】
下列( )中的两个比可以组成比例。
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。
【详解】A．＝＝＝，＝＝＝，因为≠，所以和不能组成比例；
B．＝＝1.6×3＝4.8，＝＝6×0.8＝4.8，因为4.8＝4.8，所以和可以组成比例；
C．＝6÷9＝，＝9÷6＝，因为≠，所以和不能组成比例；
D．＝3.2÷1.4＝，＝4.1÷2.3＝，因为≠，所以和不能组成比例。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查比例的认识，掌握比例的意义是解答题目的关键。
【考点二】比例的意义其二：组比例。
【方法点拨】
组成比例要根据比例的意义来解决。
【典型例题】
写出比值是9的两个比，并组成一个比例：( )。
【答案】9∶1＝18∶2
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。
【详解】9∶1＝9÷1＝9
18∶2＝18÷2＝9
组成比例：9∶1＝18∶2。（答案不唯一）
【对应练习1】
写出比值都是的两个比，并且组成比例。( )
【答案】1∶4＝2∶8
【分析】比的前项除以比的后项，即为比值；然后根据比例的意义，比值相等的两个比可以组成比例。
【详解】例如：1∶4和2∶8，比值都为，组成的比例为：1∶4＝2∶8。（答案不唯一）
【对应练习2】
用比值是4的两个比组成一个比例( )。
【答案】4∶1＝20∶5
【分析】根据比例的意义：即表示两个比相等的式子，叫做比例，比值已知，从而写成符合要求的比，进而组成比例。
【详解】比值是4；4∶1的比值是4；20∶5的比值是4；组成的比例是：4∶1＝20∶5。
用比值是4的两个比组成一个比例4∶1＝20∶5（答案不唯一）。
【对应练习3】
10的因数有( )，用这些因数组成一个比例式( )。
【答案】 1、2、5、10 1∶2＝5∶10
【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此找出10的所有因数，然后根据比例的意义写出两个比值相等的比并组成比例即可。
【详解】10÷1＝10
10÷2＝5
10的因数有：1、2、5、10
因为1∶2＝，5∶10＝，所以1∶2＝5∶10。
【考点三】比例的意义其三：求某项。
【方法点拨】
组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，最后再写出比例。
【典型例题】
在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。
【答案】 5∶15＝2∶6 6∶18＝∶5
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。
【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。
5÷
＝5×3
＝15
6×＝2
则这个比例是5∶15＝2∶6。
情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。
6÷
＝6×3
＝18
5×＝
则这个比例是6∶18＝∶5。
所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。
【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。
【对应练习1】
已知一个比例是由两个比值是4的比组成，又知道比例的两个外项分别是1.2和5。这个比例是( )。
【答案】1.2∶0.3＝20∶5/5∶1.25＝4.8∶1.2
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
根据比例的意义，分两种情况讨论：
情况一，设这个比例是1.2∶a＝b∶5，已知两个比的比值都是4，得出1.2∶a＝4，b∶5＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例；
情况二，设这个比例是5∶a＝b∶1.2，已知两个比的比值都是4，得出5∶a ＝4，b∶1.2＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例。
【详解】情况一：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是1.2∶a＝b∶5。
由1.2∶a＝4，即1.2÷a＝4，可得a＝1.2÷4＝0.3；
由b∶5＝4，即b÷5＝4，可得b＝4×5＝20；
所以，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5。
情况二：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是5∶a＝b∶1.2。
由5∶a＝4，即5÷a＝4，可得a＝5÷4＝1.25；
由b∶1.2＝4，即b÷1.2＝4，可得b＝4×1.2＝4.8；
所以，这个比例是5∶1.25＝4.8∶1.2。
综上所述，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5或5∶1.25＝4.8∶1.2。
【点睛】本题考查比例的意义以及两个内项的求法，注意交换两个外项的位置，可以得出两个不同的比例。
【对应练习2】
如果一个比例中的两个外项都是3，并且组成这个比例的两个比的比值也是3，那么这个比例可以写成( )。
【答案】3∶1＝9∶3
【分析】根据题意可知，组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，进而写出比例即可。
【详解】前一个比的后项：3÷3＝1
后一个比的前项：3×3＝9
则这个比例可以写成3∶1＝9∶3。
【点睛】此题考查求比的前、后项的方法，用到的关系式有：比的后项＝比的前项÷比值，比的前项＝比的后项×比值；也考查了比例的意义。
【对应练习3】
请你再添上一个数，让它能与3、、0.5组成比例，所组成的这个比例是( )。
【答案】3∶＝9∶0.5
【分析】若两组比的比值相等，则这两组比可以组成比例。
【详解】3÷＝18
18×0.5＝9
所组成的这个比例是3∶＝9∶0.5（答案不唯一）
【点睛】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。
【考点四】比例的基本性质其一：求某项。
【方法点拨】
1.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
2.组成比例有条件，两比相等不能变，外项内项积相等，性质应用最广泛。
3.比和比例的联系与区别：
【典型例题】
一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。
【答案】0.8/
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据题意，一个比例的两个外项互为倒数，那么这两个外项的积等于1；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。
【详解】1÷1.25＝0.8
另一个外项是0.8。
【对应练习1】
一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为0.4，另一个内项是( )。
【答案】2.5/
【分析】根据比例的性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，根据倒数的意义，两个外项互为倒数即两外项的乘积是1，故两内向的乘积也是1，据此可计算出另一个内项。
【详解】由分析可知，0.4乘另一个内项等于1，求另一个内项；
1÷0.4＝2.5
所以另一个内项是2.5。
【对应练习2】
在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是( )。
【答案】
【分析】依题可知两个外项的积是最小的质数，即为2，再根据比例的基本性质：在比例里两个内项的积等于两个外项的积，则两个内项的积也是2，据此解答。
【详解】由分析可知：2÷＝，故另一个内项为。
【对应练习3】
一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。
【答案】
【分析】已知一个比例的两个内项的积互为倒数，根据倒数的意义可知，这两个内项的积等于1；
再根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也等于1；那么用积除以已知的外项，即可求出另一个外项。
乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【详解】1÷
＝1×
＝
另一个外项是。
【考点五】比例的基本性质其二：项的变化规律。
【方法点拨】
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。
【典型例题】
在比例7∶2＝28∶8中，如果内项2增加4，那么外项7增加( )。
解析：14
【对应练习1】
已知比例，如果将第一个比的后项加4，那么第二比的后项应该加( )才能使等式成立。
解析：
（4＋4）×6÷3－8
＝8×6÷3－8
＝16－8
＝8
【对应练习2】
如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。
解析：
（4＋8）÷4
＝12÷4
＝3
3×3－3
＝9－3
＝6
【对应练习3】
在比例“4.5:6=5.1:6.8”中，两个外项不变，内项6减去0.6，要使比例成立，另外一个内项5.1应加上多少?
解析：
【考点六】比例的八种变换形式。
【方法点拨】
乘积式变形的常见八种形式，即如果a×b=c×d，那么
①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b；
②换比形式：d:b=a:c;
③换内项形式：a:d=c:b；
④换比形式：c:b=a:d；
⑤换外项形式：b:c=d:a；
⑥换比形式：d:a=b:c；
⑦前后换形式：c:a=b:d；
⑧换比形式：b:d=c:a。
【典型例题1】其一。
如果，那么( )。
【答案】6∶2
【分析】由比例的基本性质可知，在比例中，两外项之积等于两内项之积，可以把a和2看作比例中的两个外项，b和6看作比例中的两个内项，据此进行解答。
【详解】2a＝6b，根据比例的基本性质可得：
a∶b＝6∶2
【点睛】本题考查比例的基本性质。
【对应练习1】
已知3X＝4Y，那么X∶Y＝( )，如果X＝1.2，则Y＝( )。
【答案】 4∶3 0.9/
【分析】等式两端是两个乘积，根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）能改写成比例的形式；已知X的值带入等式即可求出Y值。
【详解】3X＝4Y，那么X∶Y＝4∶3
将X＝1.2带入等式，则Y的值为
3×1.2÷4
＝3.6÷4
＝0.9
【点睛】考查应用比例的基本性质将等式转换成比例的形式，并求出比例的未知项。
【对应练习2】
如果9A＝8B（A，B均不为0），那么A∶B＝( )。
【答案】8∶9
【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则A和9同时为比例的外项，B和8同时为比例的内项，据此解答。
【详解】分析可知，如果9A＝8B（A，B均不为0），那么A∶B＝8∶9。
【点睛】熟练掌握并灵活运用比例的基本性质是解答题目的关键。
【对应练习3】
如果7x＝8y，那么y∶x＝( )∶( )。
【答案】 7 8
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此写出 y∶x。
【详解】因为7x＝8y
所以y∶x＝7∶8
【点睛】掌握比例的基本性质是解答本题的关键。
【典型例题2】其二。
甲数的20%等于乙数的（甲、乙均为非0自然数），甲∶乙＝( )∶( )。
【答案】 10 3
【分析】由题意可知：甲数×20%＝乙数×，于是逆运用比例的基本性质，即可求出二者的比。
【详解】因为甲数×20%＝乙数×，
则甲数∶乙数＝∶20%＝∶＝10∶3
甲∶乙＝10∶3。
【点睛】此题主要依据比例的基本性质解决问题。
【对应练习1】
甲数的等于乙数的（甲数和乙数都不为0）那么甲数和乙数的比是( )。
【答案】2∶5
【分析】根据题意可得，甲数×＝乙数×，因为甲数和乙数都不为0，再根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，将等式化成比例，最后化简成最简整数比即可。据此解答。
【详解】由题意知：甲数×＝乙数×，所以：甲数∶乙数＝∶
∶＝∶＝2∶5
甲数和乙数的比是2∶5。
【对应练习2】
乙数的等于甲数的，甲∶乙＝( )∶( )。
【答案】 5 4
【分析】由题意知：，根据比例的基本性质的逆运算，可得，再根据比的性质，求得最简整数比即可。
【详解】
所以：＝5∶4
【点睛】灵活运用比例的基本性质和比的性质是解答的关键。
【对应练习3】
如果甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），那么甲∶乙＝( )∶( )。
【答案】 25 28
【分析】由题意可知，甲数×＝乙数×，再根据比例的基本形式，把乘积式化为比例式，然后再根据比的基本性质进行化简即可。
【详解】因为甲数×＝乙数×
则甲数∶乙数＝∶
＝（×20）∶（×20）
＝25∶28
则甲∶乙＝25∶28。
【点睛】本题考查比例的基本性质，明确内项积等于外项积是解题的关键。
【考点七】比例中项。
【方法点拨】
如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。（内项要相等时才称为比例中项）。
【典型例题】
已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是( )。
A．8 B．1 C．2 D．
解析：
解：设这个数是x，根据题意得，
x∶4＝4∶2，
解得x＝8。
故答案选：A
【对应练习1】
如果6是x和9的比例中项，那么x＝( )。
解析：4
【对应练习2】
如果3是和9的比例中项，那么x=( )。
解析：1
【对应练习3】
如果是和x的比例中项，则x=( )。
解析：
【考点八】解比例方程其一：比例式。
【方法点拨】
解比例式方程，利用比例的基本性质：内项积等于外项积来求解。
【典型例题】
解比例。
3.75∶x＝3∶12
解析：
3.75∶x＝3∶12
解：3x＝3.75×12
3x＝45
3x÷3＝45÷3
x＝15
【对应练习1】
解比例。
（2－x）∶5＝3∶20
解析：
（2－x）∶5＝3∶20
解：（2－x）×20＝5×3
（2－x）×20＝15
（2－x）×20÷20＝15÷20
2－x＝0.75
2－x＋x＝0.75＋x
0.75＋x＝2
0.75＋x－0.75＝2－0.75
x＝1.25
【对应练习2】
解比例。
∶∶
解析：
∶∶
解：
【对应练习3】
解比例。
x∶＝13.6∶2
解析；
x∶＝13.6∶2
解：2x＝×13.6
2x＝3.4
x＝3.4÷2
x＝1.7
【考点九】解比例方程其二：分数式。
【方法点拨】
解分数形式的比例，找准比例中的内项和外项，一般以分子分母交叉相乘作为比例基本性质的应用。
【典型例题】
解比例。
＝
解析：
＝
解：42%x＝6.3×0.9
0.42x＝5.67
0.42x÷0.42＝5.67÷0.42
x＝13.5
【对应练习1】
解比例。
解析：
解：
【对应练习2】
解比例。
＝
解析：
＝
解：7.2x＝1.8×8
7.2x＝14.4
x＝14.4÷7.2
x＝2
【对应练习3】
解比例。
＝∶
解析：
＝∶
解：∶2＝∶
＝2×
＝
÷＝÷
＝×
＝
【考点十】解比例方程其三：混合式。
【方法点拨】
比例式与分数式方程的混合，先统一形式，再按照解比例方程的方法进行求解。
【典型例题】
解比例。
=12:x
解析：x=
【对应练习1】
解比例。
解析：x＝56
【对应练习2】
解比例。
＝∶2
解析：
【对应练习3】
解比例。
＝（8－x）∶
解析：x＝
【考点十一】解比例方程其四：复杂的比例方程。
【方法点拨】
复杂的比例方程，仍然按照解比例方程的基本方法求解，但要注意括号和符号的变化。
【典型例题】
解比例。
（5x+4）:（9x-6）=4:5
解析：x=4
【对应练习1】
解比例。
（3x+2）:5=2x:3
解析：x=6
【对应练习2】
解比例。
x:2.7=（16-x）:0.9
解析：12
【对应练习3】
解比例。
（x+0.5）：2=（x﹣4）：，
解析：4.5
【对应练习4】
解比例。
：=：（4﹣x）
解析：3
【对应练习5】
解比例。
解析：1.5
【考点十二】配比例。
【方法点拨】
如果使配上的这个数最大，只要用给出的三个数中较大的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最小的数和要求的这个数就做比例的两个内项或外项；如果使配上的这个数最小，只要用给出的三个数中较小的两个数做这个比例的两个外项或内项，那么最大的数和要求的这个数就作为做比例的两个内项或外项，然后再根据比例的性质求解。
【典型例题】
有三个数、8、，再配上一个数就可以组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。
解析：
最大：8×÷
＝4÷
＝40
最小：×÷8
＝×
＝
【对应练习1】
用0.5、4、6三个数与另外一个数组成一个比例，这个数最大是( )，最小是( )。
解析：
最大：4×6÷0.5＝48
最小：0.5×4÷6＝
【对应练习2】
若8、5、4和能组成比例，则最大是( )。
解析：10
【对应练习3】
用、2和再配上一个数可以组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。
解析： 5