北师大版七年级下册第一章 整式的乘除4 整式的乘法精品同步训练题

这是一份北师大版七年级下册第一章 整式的乘除4 整式的乘法精品同步训练题，共25页。
【考点1】单项式相乘； 【考点2】单项式与多项式相乘；
【考点3】多项式相乘； 【考点4】整式相乘中的字母的值；
【考点5】整式相乘中的“不含”、“无关”问题； 【考点6】整式相乘中的几何问题；
【考点7】整式相乘中的规律问题.
选择题
【考点1】单项式相乘；
1．（2023下·全国·七年级专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（ ）
A．30 B．20 C．﹣15 D．15
【考点2】单项式与多项式相乘；
3．（2023下·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023下·全国·七年级专题练习）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．
【考点3】多项式相乘；
5．（2023下·七年级单元测试）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知的计算结果为，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【考点4】整式相乘中的字母的值；
7．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
8．（2023下·七年级课时练习）若，，为正整数，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．25 B．24 C．74 D．8
【考点5】整式相乘中的“不含”、“无关”问题；
9．（2023下·江苏·七年级专题练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
10．（2023下·七年级课时练习）计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
【考点6】整式相乘中的几何问题；
11．（2023下·浙江·七年级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A． B．
C． D．
【考点7】整式相乘中的规律问题.
13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023下·全国·七年级专题练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
11＝a+b
121＝
1331＝
14641＝
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019
填空题
【考点1】单项式相乘；
15．（2023下·全国·七年级专题练习）计算： ．
16．（2023下·浙江·七年级专题练习）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ．
【考点2】单项式与多项式相乘；
17．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： ．
18．（2023下·七年级课时练习）若，求 ．
【考点3】多项式相乘；
19．（2023下·七年级课时练习）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
20．（2023下·七年级单元测试）已知﹐则的值等于 ．
【考点4】整式相乘中的字母的值；
21．（2023下·七年级课时练习）若，则的值为 ．
22．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）下列说法：
①若，则；
②若满足，则一定不是负数；
③已知，为有理数，若，则是负数；
④多项式合并同类项后不含项，则的值是，其中一定正确的结论是 （只填序号）．
【考点5】整式相乘中的“不含”、“无关”问题；
23．（2023下·七年级课时练习）关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为 ．
24．（2023下·浙江温州·七年级温州育英国际实验学校校考期中）若（x－1）（x2＋ax＋2）的展开式中不含x2项，则a的值是
【考点6】整式相乘中的几何问题；
25．（2023下·七年级课时练习）如图，将边长为的小正方形与边长为的大正方形放在一起，则的面积是 ．
26．（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要 张C类卡片．

【考点7】整式相乘中的规律问题.
27．（2023下·七年级课时练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 ．
28．（2023·湖北随州·统考一模）设，可以这样求和的值：令，则；令，则，这种求代数值的方法叫“赋值法”．运用这种方法，可求得式子的值为 ．
解答题题
【考点1】单项式相乘；
29．（2023下·全国·七年级专题练习）计算下列各式
（1）（2）
【考点2】单项式与多项式相乘；
30．（2023下·全国·七年级专题练习）计算：
（1）；（2）．
【考点3】多项式相乘；
31．（2023上·安徽淮南·八年级校联考期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算的结果．
【考点4】整式相乘中的字母的值；
32．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得：，则，
∴，解得：，．
∴另一个因式为，m的值为－21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）二次三项式有一个因式是，求p的值；
（2）已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值．
【考点5】整式相乘中的“不含”、“无关”问题；
33．（2023上·贵州安顺·八年级校联考期末）已知代数式化简后，不含有项和常数项．
（1）求，的值．
（2）求的值．
【考点6】整式相乘中的几何问题；
34．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知的值与x无关，求y的值；
（3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点7】整式相乘中的规律问题.
35．（2023下·全国·七年级专题练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．
（3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和．
（4）利用上面的规律计算：
．
参考答案：
1．C
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可得出结果．
解：，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．
2．B
【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可．
解：×3xy＝＝，
∴a+1＝5，b+1＝6，
解得a＝4，b＝5，
∴ab＝4×5＝20，
故选：B．
【点拨】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．
3．B
【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
解：
．
故选B
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．
4．A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
解：∵左边
．
右边，
∴□内上应填写．
故选：A．
【点拨】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
5．C
【分析】将等号右侧展开得，根据对应项系数相等列等式计算求解即可．
解：∵
∴，
解得，
故选C．
【点拨】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式．
6．A
【分析】将展开，再根据题意即可得出关于a的等式，求出a即可．
解：∵，
∴，
解得：
故选A．
【点拨】本题考查多项式乘多项式．掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．
7．B
【分析】根据多项式乘多项式的计算法则计算出，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
8．A
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
解：，
∵，
∴p＋q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p＋q＝13，
36＝1×36，则p＋q＝37，
36＝2×18，则p＋q＝20，
36＝3×12，则p＋q＝15，
36＝6×6，则p＋q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12．
其差为25，
故选：A．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式的法则的应用，解答的关键是理解清楚题意，求得m与p＋q，pq的关系．
9．B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
解：
∵结果中不含x的五次项，
∴，
解得：．
故选：B
【点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
10．B
【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案．
解：
=
=
展开后多项式不含x、y的一次项，
，
，
，
故选B．
【点拨】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键．
11．B
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故选：B．
【点拨】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
12．B
【分析】根据长方形的面积公式分别计算出大长方形、小长方形的面积，再进行相减即可得出答案．
解：
，
故剩余部分面积是，
故选B．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算，解题的关键是掌握长方形的面积公式．
13．C
【分析】先分别求出前三项以及，，，从而得出规律为第项为，，据此求解即可．
解：第1项为，，
∴第2项为，，
∴第3项为，，
∴可以推出第项为，，
∴第5项为，，故结论①、②正确；
∵第2023项为，，
∴，
∴，
∴，
∴或1
当时，
当时，，
∴若第2023项的值为0，则或0，故结论③错误；
同理可得：第m项为，
∴当时，第m项的值为，故结论④正确，
综上可得：结论正确的个数为3个．
故选：C
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．
14．B
【分析】先确定是展开式的第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
解：展开式中含项的系数，
由：＝…，
可知，展开式中第二项为，
∴的展开式中含项的系数是4042．
故选：B．
【点拨】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法可以解答本题．
解：
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
16．18
【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．
解：∵代数式的值是7，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
17．/
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、单项式乘单项式运算法则求解即可．
解：=，
故答案为：．
【点拨】本题考查单项式乘多项式、单项式乘单项式，算熟练掌握运算法则是解答的关键．
18．/0.4
【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解．
解：，
，
，
，
．
故答案为．
【点拨】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键．
19．2
【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
解：（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
20．
【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．
21．/0.5
【分析】根据单项式乘以单项式法则计算，得出，进而得出和的值即可得答案．
解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
22．①②④
【分析】根据除法运算法则、绝对值的性质、通过举例和有理数的混合运算、合并同类项法则和解方程等知识，逐项进行判断即可．
解：∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，即a的绝对值等于它本身，
∴a是非负数，一定不是负数；故②正确；
取，，满足，此时，故③不一定正确，
∵中不含项，
∴，解得,故④正确，
故答案为：①②④
【点拨】本题主要考查了合并同类项、绝对值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是掌握相应的运算法则．
23．2
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出m的值即可．
解：，
由结果不含x的一次项，得到，
解得：．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．1
【分析】根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值．
解：（x－1）（x2＋ax＋2）
=x3+ax2+2x-x2-ax-2
=x3+（a-1）x2+（2-a）x-2，
∵展开式中不含x2项，
∴a-1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了整式的乘法—多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0．
25．
【分析】根据 即可求解．
解：由题意知，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了多项式的乘法与图形面积，数形结合是解题的关键．
26．7
【分析】用长乘以宽，列出算式，根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
解：∵（3a+b）（a+2b）
＝3a2+6ab+ab+2b2
＝3a2+7ab+2b2，
∴若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类3张，B类2张，C类7张．
故答案为：7．
【点拨】此题利用图形的变换结合长方形的面积考查多项式的乘法，难度一般．
27．20a3b3
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．
解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，
故答案为：20a3b3．
【点拨】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．
28．
【分析】根据题意可知，令，可求出，由此即可求解．
解：令，则，
令，则，
∴令，则，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查赋值法求代数式的值，理解题意，掌握赋值法的计算方法，整式的运算法则是解题的关键．
29．（1）；（2）
【分析】（1）先算积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，最后进行整式的加减运算；
（2）按照单项式的乘法进行运算即可．
（1）解：原式=；
（2）解：原式=，
=
【点拨】此题考查了整式的混合的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（1）；（2）
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘多项式即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．
解：（1）
=-8a6b3⋅（3b2-4a+6）
=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；
（2）
【点拨】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
31．（1），；（2）
【分析】（1）根据题意可得出，，求出a、b的值即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可．
（1）解：根据题意得：，
，
所以，，，
解得：，；
（2）解：把，代入，得
．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
32．（1）p的值为6；（2）另一个因式是，；（3）
【分析】本题主要考查了整式的乘法；
（1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可；
（2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可；
（3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可．
（1）解：设二次三项式的另一个因式为，
则，
即，
∴，
解得，
答：p的值为6；
（2）设关于x的多项式的另一个因式是，
则，
即，
∴，
解得，
∴关于x的多项式的另一个因式是，；
（3）设关于x的多项式的另一个因式为，
则，
即，
∴，
∴，
即．
33．（1）0.5；；（2）
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
（1）解：
，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
34．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
（2）令
，
原式=
，
的值与无关，
，
解得；
（3）解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点拨】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
35．（1）5；；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4，3，2，1，0，根据杨辉三角形的规律确定各项的系数即可；
（2）先计算的展开式，后将a,b的值特殊化计算即可；
（3）猜想指数为0，为1，为2，为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律；
（4）逆向使用公式求解即可．
解：（1）由杨辉三角的系数规律可得，
，
展开式共有5项，第三项是．
（2），
当，时，
原式
，
．
（3）第一行各项系数和为，即的各项系数和为，
第二行各项系数和为，即的各项系数和为，
第三行各项系数和为，即的各项系数和为，
第三行各项系数和为，即的各项系数和为，
…
由此可得的各项系数和为，
．
（4）由杨辉三角可知，
原式
．
【点拨】本题考查了杨辉三角形，二项式的展开，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是解题的关键．