初中北师大版6 完全平方公式优秀课后复习题

这是一份初中北师大版6 完全平方公式优秀课后复习题，共17页。

A． B．
C． D．
2．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．18
3．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若，，则的值是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．16
4．（2023上·天津和平·八年级统考期末）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·山东烟台·六年级统考期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A． B．7或 C．或 D．
6．（2021下·安徽合肥·七年级统考期末）如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（ ）
A．20 B．18
C．15 D．12
7．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，由个全等的小长方形与个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·台湾·统考模拟预测）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022上·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022下·福建泉州·九年级泉州五中校考开学考试）已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）．
A． B． C． D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）若，则代数式的值是 ．
12．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）若，，则 ．
13．（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如果（其中a为常数）成立，那么 ．
14．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）已知，则 ．
15．（2023下·江西吉安·七年级校联考期中）若多项式加上一个含字母的单项式，就能变形为一个含x的多项式的平方，则这样的单项式为 ．
16．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ．
17．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）观察下列关于正整数的等式：
①
②
③
……
根据上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第④个等式 ．
（2）直接写出你猜想的第m个等式（用含m的式子表示） ．
18．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角形”，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
（1）（2）
20．（8分）（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：，，求下列各式的值：
（1）；（2）．
21．（10分）（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）已知：，求的值；
（2）已知，求的值．
22．（10分）（2023上·河北唐山·八年级唐山市第九中学校考期末）已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则______；
（2）有同学猜测的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式的值为，求x和n的值．
23．（10分）（2024上·广东珠海·八年级统考期末）【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为，的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）．
（1）猜想：①图3中间小正方形的边长为_______；（用含，的式子表示）
②根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系_______；
（2）应用：若，，求的值；
（3）拓展：若，求的值．
24．（12分）（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
（1）数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知，则 ；
（3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；
【拓展结论】
（4）已知、满足，求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂的乘法运算、完全平方和公式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，根据相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得．
解：，
．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是把转化成，注意整体代入思想．
解：，
，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，利用完全平方公式变形即可．
解：，
，
故选：C．
5．C
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
解：∵，
又∵多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
6．C
【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值．
解：设长方形的长为x，宽为y．
根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68，
所以x+y=8，x2+y2=34．
所以64-2xy=34．
解得：xy=15．
所以长方形ABCD的面积为15．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断，利用数形结合分析问题是解题的关键．
解：、因为正方形图案的面积为，边长为，故，正确；
、由图象可知，即 ，正确；
、由和，可得 ，错误；
、由，，可得 ，正确；
故选：．
8．C
【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
解： A、不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；
B、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；
C、，所以符合题意；
D、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．
9．A
【分析】根据已知算式总结出运算规律，分别判断①②③④⑤即可得知答案．
解： ，故①正确；
，故②错误；
∵，
∴，，
，故③正确；
若，则，
，
，
或，故④错误；
，
同理，
，
…
，
即，故⑤错误；
正确的有①③共2个
故选：A
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算规律．
10．C
【分析】根据题意先将u转化为，然后再根据进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
∵
，
当且仅当，
即，，
或，时，等号成立，
∴的最小值为，
∴最小值为：，
即，
∵
，
当且仅当时，
即，，
或，时等号成立，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
即，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为，再确定的范围．
11．
【分析】此题主要考查了完全平方公式分解因式，代数式的值，正确分解因式是解题关键．先利用完全平方公式变形，进而把已知数据代入求出答案．
解：∵，
∴
．
故答案为:．
12．
【分析】由题意知，，，即，，根据，计算求解即可．
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，代数式求值，完全平方公式的变形．熟练掌握同底数幂的除法，幂的乘方是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解．
解：∵，，
∴，
，
，
解得：；
故答案为．
14．
【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式的灵活运用，解题的关键是根据两数和的完全平方公式将转化为，化简后代入即可求解．
解：∵，
∴
．
故答案为：．
15．，
【分析】本题中，多项式，可把看做是中间项，或是看做第一项，那么，根据完全平方公式可解答．
解：根据完全平方公式定义得，当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为；
当是第一项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为；
当多项式加上的一个单项式是或时，题中所说要成为多项式的完全平方，所以不成立，舍去.
故答案为：、．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使，则称A是完全平方式．注意，即可看做中间项也可看做第三项，解答时，不要遗漏．
16．或
【分析】根据三种卡片的张数可知有和两种情况，进而可得答案．
解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，
∴由可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是的正方形；
由可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是的正方形；
故答案为：或．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握．
17．
【分析】此题考查了数的规律计算，
（1）根据上面的特点：第一个数数序号加3，等式左边是两个数的平方差，直接仿写即可；（2）根据仿写猜想规律式子．
解：（1），
（2），
证明：左边
，
右边，
∴．
故答案为：；．
18．
【分析】此题考查了数字变化规律，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键．仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
解：根据题意得：展开后系数为：，，，，，系数和：；
展开后系数为：，，，，，，系数和：；
展开后系数为：，，，，，，，系数和：，
故答案为：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用．平方差公式和完全平方公式．
（1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；
（2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）5；（2）1
【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算．
（1）根据公式变形计算即可．
（2）根据公式计算即可．
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
解得．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
21．（1）7；（2）16
【分析】本题主要考查完全平方公式及其变形：
（1）利用完全平方公式的变形求解；
（2）令，则，，代入原式求出，即可求解．
解：（1），
；
（2）令，则，，
，
，
，
解得，
．
22．（1）；（2）不正确，理由见分析；（3）
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）把，代入计算即可；
（3）由题意可得，整理后利用非负数的性质求解即可．
解：（1）∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）猜测不正确，理由：
∵，，
∴
，
∵结果含字母n，
∴的结果不是定值；
（3）由题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了完全平方式，以及整式的加减，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式．
23．（1）①；②；（2）41；（3）
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何背景的应用，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用．
（1）①由图形即可得出答案；②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，即可得出答案；
（2）由（1）可得：，代入，，进行计算即可得出答案；
（3）设，，则，，在利用完全平方公式的变形得出，即可得解．
（1）解：①由图3可得：阴影正方形边长为，
故答案为：；
②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，
，
故答案为：
（2）解：由（1）可得：，
，，
，
；
（3）解：设，，
，
，
，
，
，
，
．
24．（1）是；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求；
（3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；
（4）根据条件求出的值，再进行配方求解．
（1）解：∵，
∴是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵
，
为“完美数”，
∴
∴；
（4）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴当，时，的最小值为：．
【点拨】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．