沪科版七年级下册6.2 实数精品课后练习题

这是一份沪科版七年级下册6.2 实数精品课后练习题，文件包含专题04实数重难点题型专训11大题型+15道拓展培优原卷版docx、专题04实数重难点题型专训11大题型+15道拓展培优解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
题型一 实数概念理解
题型二 实数的分类
题型三 实数的性质
题型四 实数的大小比较
题型五 无理数的估算
题型六 无理数整数部分的有关计算
题型七 实数的混合运算
题型八 程序设计与实数运算
题型九 新定义下的实数运算
题型十 实数运算的实际应用
题型十一 与实数运算相关的规律题
【知识梳理】
知识点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
知识点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【经典例题一 实数概念理解】
【例1】（2023上·安徽·八年级校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示D．分数可能是无理数
【答案】C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021下·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．
【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ．
【答案】256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．
【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，
∴符合题意，
故答案为：256．
【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，．
(1)有理数集合：{________________…}；
(2)负无理数集合：{______________…}；
(3)正实数集合：{________________…}．
【答案】(1)，，0，，
(2)，
(3)，，
【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解；
（2）根据负无理数的定义，即可求解；
（3）根据正实数的定义，即可求解．
【详解】（1）解：，
有理数集合：{，，0，，，……}；
故答案为：，，0，，；
（2）解：负无理数集合：{，，……}；
故答案为：，；
（3）解：正实数集合：{，，，……}．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数．
【经典例题二 实数的分类】
【例2】（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数x的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数． 其中正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查的是实数的分类，实数与数轴，有理数的加法与乘法运算，近似数的精确值的范围，绝对值的含义，本题根据定义与对应的运算法则逐一分析判断即可．
【详解】解：实数包括无理数和有理数；故①符合题意；
数轴上的点与实数一一对应；故②不符合题意；
如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；故③符合题意；
近似数所表示的准确数x的范围是：；故④不符合题意；
绝对值等于本身的数是正数或0，故⑤不符合题意；
故选A
【变式训练】
1．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数B．是分数
C．数轴上的点表示的数都是有理数D．是5的平方根
【答案】D
【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
【详解】解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意；
B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意；
故选：D
2．（2023春·七年级单元测试）将下列各数进行分类（填序号即可）
①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“．
正整数： ；
分数： ；
无理数： ．
【答案】①⑤；④⑥；②⑦
【分析】根据实数的分类即可解答．
【详解】解：，
为正整数．
正整数为：①⑤；
分数为：④⑥；
无理数为：②⑦．
故答案为：①⑤；④⑥；②⑦．
【点睛】本题考查了实数的分类，化简绝对值和求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解决本题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．
，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，
(2)，，
(3)，，，，
(4)，，
【分析】（1）先化简，，再根据有理数的含义作答即可；
（2）根据无理数的概念作答即可；
（3）根据正实数包括正有理数与正无理数作答即可；
（4）根据负实数包括负有理数与负无理数作答即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴有理数集合：{ ，，，，，…}
（2）无理数集合：{，，，…}
（3）正实数集合：{ ，，，，，…}
（4）负实数集合：{，，，…}
【点睛】本题考查的是实数的分类，立方根与算术平方根的含义，熟记实数的分类是解本题的关键．
【经典例题三 实数的性质】
【例3】（2021上·河北保定·七年级校考期中）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据数轴的性质可得，由此可判断①；根据数轴可得，由此可判断②；根据数轴可得，根据乘法法则可判断③；根据数轴可得，根据加法法则可判断④；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑤；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑥．
【详解】解：由数轴可知，，
则四个数中最小的是，结论①正确；
由数轴可知，，结论②正确；
由数轴可知，，
则，结论③正确；
由数轴可知，，
则，结论④正确；
由数轴可知，，
则，结论⑤错误；
由数轴可知，，
则，结论⑥错误；
综上，结论正确的个数是4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、实数的运算等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022下·安徽安庆·七年级统考期中）下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】根据无理数的定义、实数的运算、立方根与平方根、倒数的定义逐个判断即可得．
【详解】解：一个无理数的相反数一定是无理数，则说法①正确；
一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如，则说法②错误；
一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，则说法③正确；
实数的倒数是，则说法④错误；
综上，正确的说法有①③，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根、倒数，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
2．（2023春·湖北黄石·七年级统考期末）已知，为实数，且，则的绝对值为 ．
【答案】/
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值即可求解．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)实数的值是______；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)0
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
故答案为：；
（2）解：由数轴可知：，
，，
原式
；
（3）解：与互为相反数，
，
，，
，，
，，



，
∵8的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【经典例题四 实数的大小比较】
【例4】（2024下·全国·七年级假期作业）已知，设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·七年级泉州七中校考阶段练习） ，，，，且 a、b、c、d 为正数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，又由，则，，从而得，，又，则，由，则，从而得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，a为正数，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题比较实数的大小，熟练掌握实数的大小比较汉则是解题的关键．
2、（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）比较大小 ．（填“>”或“
【分析】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答．
3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）．
【答案】
【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
【经典例题五 无理数的估算】
【例5】（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）与实数最接近的整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算的取值范围，然后进行计算比较即可，能够掌握无理数估算的方法，正确估算出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴最接近的整数，
故选：．
【变式训练】
1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（ ）
A．3B．±3C．5D．±5
【答案】D
【分析】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵a是的整数部分，b是的小数部分
∴，
∴
∴的平方根
故选：D．
2．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）整数，满足，则 ．
【答案】2或3
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值．
【详解】解：，，而整数，满足，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提．
3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）已知，且，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意得出，再根据完全平方公式计算，得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，无理数的估算．正确变形是解题的关键．
【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】
【例6】（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算．
先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴．
故选：B
【变式训练】
1．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴的整数部分为8，的整数部分为1，
∵的小数部分为，的小数部分为，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
2．（2023春·重庆綦江·七年级校联考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中为连续正整数），我们则称无理数m的“雅区间”为，例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，则p＝ ．
【答案】127
【分析】先利用“雅区间”满足求得连续正整数的值，再利用是正整数和找出符合要求的正整数的值计算即可．
【详解】解：∵，为连续正整数，
∴或或或或或或或，
∵，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，
∴，且是正整数，
∴，
∴．
故答案为：127．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二元一次方程的解，抓住为连续正整数和是正整数是解题的关键．
3．（2023春·河北保定·七年级统考期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
【答案】
【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值．
【详解】解：，，且，是整数，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键．
【经典例题七 实数的混合运算】
【例7】（2021上·湖南邵阳·九年级武冈市第二中学校考开学考试）计算的结果是（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【分析】根据平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式＝
＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂，属于基础题，熟练掌握相关概念及性质是解决本题的关键．
【变式训练】
1、（2023下·山东聊城·八年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．0C．D．-8
【答案】C
【分析】根据题目，先去绝对值符号，再计算出负整数指数冥，从而依次计算即可得出结果．
【详解】
=
=，
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，其中先去绝对值符号以及正确计算负整数指数冥是解题的关键．
2．（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）计算：
【答案】
【分析】根据算术平方根以及实数的运算进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键．
3．（2023春·重庆开州·七年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据算术平方根，乘方，立方根等知识将原式进行化简，进而得出答案；
（2）根据实数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
【经典例题八 程序设计与实数运算】
【例8】（2023上·河南商丘·七年级统考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】根据程序框图的运算规则依次运算找到规律即可解答．
【详解】解：由于开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，
第次输出的结果是，
第次输出的结果是，
第次输出的结果是，
第次输出的结果是，
故从第3次开始，3次一个循环，分别是，
，
第2023次输出的结果是2．
故选C．
【点睛】本题考查了代数式求值在程序框图的应用，知道运算规则是解题的关键．
【变式训练】
46．（2023下·贵州黔西·七年级校考期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（ ）

A．B．3C．9D．
【答案】A
【分析】根据流程图进行求解即可．
【详解】解：当时：，是有理数，继续输入，得到，是有理数，继续输入，得到，是无理数，输出，
∴输出的y值是；
故选A．
【点睛】本题考查流程图和求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算式平方根的定义，正确的计算．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为2或4；
②当输入值x为9时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中正确的是 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=1时判断④．
【详解】解：①当时，，，2取算术平方根为，输出值y为，则输入值x为2或4或等，故①不符合题意；
②，取算术平方根为，输出值y为，故②符合题意；
③如x=π2时，是正无理数不是正整数，输出值y为π是正无理数，故③不符合题意；
④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键．
3．（2023春·北京东城·七年级统考期末）一个数值转换器如图所示：

(1)当输入的值为16时，输出的值是______；
(2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______；
(3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值．
【答案】(1)
(2)0，1
(3)，
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
故答案为：；
（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；
故答案为：0，1；
（3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
【经典例题九 新定义下的实数运算】
【例9】（2023上·甘肃定西·九年级统考阶段练习）定义一种运算“※”：（其中x，y为任意实数）．当时，则的值为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解新定义的运算，整体代入是解题的关键．
由题意知 ，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知 ，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了新定义下实数的混合运算，先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出的最大值即可．
【详解】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，
，
，
；
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，都是正整数，
最大为6时，最大，
此时，
故选：B．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1．
【答案】4
【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．
3．（2023春·福建福州·七年级校考期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根；
(3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根．
【答案】(1)，3
(2)3
(3)或
【分析】（1）根据已知可得，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答；
（3）根据已知可得，从而可得，进而可得，然后分两种情况进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴，
∴的算术平方根是3；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴，
∴，
∴当时，的立方根为；
当时，的立方根为；
∴综上所述：的立方根为或．
【点睛】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【经典例题十 实数运算的实际应用】
【例10】（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
【详解】较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点睛】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（ ）
A．（1）和（2）B．（3）和（4）C．（2）和（3）D．（1）和（4）
【答案】C
【分析】由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可
【详解】解：若原点在第③部分，则a＜0，b＜0，c＞0，a＜b＜0＜c，
（1）∵a＜0，b＜0，
∴
故（1）错误；
（2）∵a＜0，b＜0，
∴
故（2）正确；
（3）∵a＜0，c＞0，
∴
故（3）正确；
（4）∵a＜b＜0，
∴
故（4）错误；
故选：C
【点睛】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
【答案】-1.
【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
3．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
【经典例题十一 与实数运算相关的规律题】
【例11】（2023上·四川南充·七年级四川省南部中学校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①如果则
②若是四次三项式，则
③若，则
④，，，，，，，则的末位数字是9
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①根据等式的性质求解；
②根据四次三项式的定义列方程求解；
③根据有理数的乘法得出、的关系，再求解；
④根3的幂的个位数找出规律，再计算求解．
【详解】解：①，
，
故①是错误的；
②若是四次三项式，
则，且，
解得：，
②是错误的；
③若，则异号，
则，
③是正确的；
④，，，，，，
，
，
的末位数字是9，故④是正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的意义，四次三项式的定义，数字规律，有理数加法，掌握相关概念以及规律是解题的关键．
【变式训练】
1、（2023下·重庆巴南·八年级统考期中）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论：
；
时，的值有个；
；
；
当时，的值为．
以上结论中正确的结论有个（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题．
【详解】解：表示距离最近的正整数，
，所以正确；
当时，为，，，，，一共有个，
所以错误；
，，，，，，，，，，，，
，
所以正确；
由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个，
所以；
故正确；
，
，
所以正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是 ．
【答案】
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：∵，
，
，
…，
，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数类的规律探寻，正确找到规律是解题的关键．
3．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列二次根式的化简：
；
；
；
则 ．
【答案】
【分析】根据规律确定，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题．解题的关键在于根据题意推导出．
【拓展培优】
1．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④．
【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确；
②当时，无意义，故若互为相反数，则说法错误；
③若a为任意有理数，则，正确；
④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误．
综上可知正确的有①③共两个．
故选B．
【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键．
2．（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）已知的小数部分为A，的小数部分是B，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，先确定，进而求出A，B，代入求值即可．
【详解】解：，
，
的小数部分为：，
的小数部分为：，
的小数部分为：，
故选A．
3．（2023上·重庆江津·七年级校联考阶段练习）我们把不超过有理数的最大整数称为有理数的整数部分，记为，又把称为的小数部分，记为，则有＝．如：，，；又如：，，；下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
② ；
③ 若，且，则或；
④ 方程的解是或
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算，方程解，先根据新定义判断①和②，再求出或时判断③，然后将代入，得到关系式，进而得出和的取值范围，再讨论得出答案．
【详解】因为，所以①正确；
因为，所以②正确；
当时，，
当时，．
故③不正确；
因为，，
∴，
即．
因为，
所以．
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时．
所以或或或．
所以④不正确．
可知正确的有2个．
故选：B．
4．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点 AB．点 BC．点 CD．点 D
【答案】B
【分析】由可得，再根据数轴上点的位置即可解答；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在数轴上表示实数 的点可能是点 B．
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，正确计算是解题的关键．
5．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）如果函数满足关系式，并且要求表示当时的值，即，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，，⋯，，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
⋯，
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，理解题意得出，，⋯，是解题的关键．
6．（2023上·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，估算出的范围是解决问题的关键．
【详解】解：，
，即，
的整数部分为，小数部分为，
，
，
故答案为：；．
7．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则点E对应的数为 ．

【答案】
【分析】本题考查数轴和无理数．先根据正方形有面积求出，从而求得，再根据点E在负半轴上，即可求解．
【详解】解：如图，设原点为，

∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
∵点A对应的数为1，
∴，
∴，
∵点E在负半轴上，
∴点E对应的数为．
故答案为：．
8．（2023下·七年级课时练习）已知，，，，…，．
定义：，，
，…，按此规律类推，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ ．
【答案】
【解析】略
9．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ．
【答案】 4 8
【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可．
【详解】，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
所以的最小值为8，
故答案为：4，8
10．（2023上·重庆江津·九年级重庆市江津中学校校考期中）一个十位数字不为0的三位数m，若将m的百位数字与十位数字相加，所得和的个位数字放在m的个位数字右边，与m一起组成一个新的四位数，则把这个新四位数称为m的“生成数”．若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉，可以得到四个三位数，则把这四个三位数之和记为．例如：，∵，∴558的“生成数”是5580，将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：580，580，550，558，则．
（1）的值为 ；
（2）设（x，y为整数，，），若m的“生成数”能被17整除，则的最大值为 ．
【答案】 612 3360
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．
（1）先根据“生成数”的定义，求出123的“生成数”，再找出得到四个三位数，相加即可；
（2）先根据已知条件，求出m的“生成数”，从而求出x，y，即可求出的最大值．
【详解】解：（1），
∴123的“生成数”为1233，将1233的任意一个数位上的数字去掉后得到四个三位数为：233，133，123，123，
，
故答案为：612；
（2）由题意得：，
m的百位数字与十位数字的和为，
，
，
∴m的“生成数”是：

，
m的“生成数”能被17整除，
一定能被17整除，
，，
，则，即，
y为整数，且，
，即，
，或，
∴m的值为或，
当时，
，
m的“生成数”为，
将8755的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：875，875，855，755，
的值为：，
当时，
，
m的“生成数”为，
将7956的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：956，756，796，795，
的值为：，
的最大值为：3360，
故答案为：3360．
11．（2024上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）计算题
(1)
(2)解方程
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用负整数幂、平方根、立方根、绝对值法则进行计算即可；
（2）利用平方根解方程即可；
此题考查了实数混合运算和利用平方根解方程，熟练掌握运算法则和平方根是解题的关键．
【详解】（1）
（2）
整理得，
开平方得，，
则或，
解得，
12．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【详解】（1）∵，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为；
（2）∵、分别是的整数部分、小数部分，
∴，，
∴
，
，
，
．
13．（2023上·新疆自治区直辖县级单位·八年级校考阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：；
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及正确理解题目所给的复数的定义．
（1）把代入即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据计算即可；
（3）先归纳出每4个数为一组，每组按照的顺序排列，即可进行计算．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：，1；
（2）解：
，
；
（3）解：根据题意可得：
∵i，，，，，，，……
∴每4个数为一组，每组按照的顺序排列；
，
∴
．
14．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)2022
(2)
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
．
又,
，
，
．
15．（2023上·山东济南·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键．
（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，．