专题01 平方根、立方根和实数相关计算与规律探究题重难点题型专训（6大题型）-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

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专题01 平方根、立方根和实数相关规律探究题重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一 利用平方根、立方根解方程题型二 平方根相关的计算题型三 立方根相关的计算题型四 实数的混合运算题型五 实数相关的规律探究题题型六 新定义的实数计算【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】1．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键；（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解．【详解】（1）解得；（2）解得；（3）或解得，．2．（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或．【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力．（1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可；（2）运用平方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：，整理，得，开平方，得；（2）解：，开平方，得，解得或．3．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）求x值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或【分析】本题考查了利用平方根解方程，立方根．熟练掌握利用平方根解方程，立方根是解题的关键．（1）根据立方根解方程即可；（2）根据平方根解方程即可．【详解】（1）解：，，，解得，；（2）解：，，解得，或．4．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）求满足下列各式的未知数的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）先化为，再依据平方根的性质即可得到 的值；（）先依据立方根的性质得到 ，然后解关于的方程即可；本题主要考查的是平方根、立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，，；（2），，，．5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）解方程．(1)(2)【答案】(1)或；(2)【分析】（1）先移项，再在方程两边同除以2，再开平方，求出解即可；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出解．【详解】（1）∴或；（2）∴【点睛】本题主要考查了利用立方根及平方根解方程，解题的关键是熟记开立方及开平方的定义．6．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的x．(1)(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；（2）根据平方根的定义求解即可．【详解】（1）解：，∴，∴；（2）解：，移项得，，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．7．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）解方程(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）先移项，开平方根即可；（2）先移项，然后化为整式，再开立方根即可．【详解】（1）解：，移项可得：，开平方得：或，解得：；（2）解：，移项得：，同乘3可得：，开立方根得：，解得：．【点睛】本题考查了开平方根、立方根，正确解方程是解题的关键．8．（2023上·河南平顶山·八年级校考阶段练习）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）化成的形式，则，即可求解；（2）化成（），则，即可求解．【详解】（1）解：，，解得：．（2）解：，，或，，．【点睛】本题考查了利用立方根和平方根的定义解方程，理解定义，掌握解法是解题的关键．9．（2023上·全国·八年级专题练习）计算求下列各式中的x(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题主要考查平方根和立方根的定义，掌握相关知识是解题的关键．10．（2023下·河南周口·七年级期中）求下列各式中的的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等式的性质方程两边同时除以，再由平方根的定义问题可解．（2）方程可先去分母，得，再根据立方根定义可求解．【详解】（1）解：方程两边同时除以得，开平方得；（2）解：去分母得，开立方根得，移项得．【点睛】本题考查用平方根，立方根定义法解方程，理解平方根，立方根定义是解题的关键．【经典例题二 平方根相关的计算】11．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）已知正数的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的平方根．【答案】【分析】本题考查平方根，算术平方根，相反数的概念，由正数的两个平方根互为相反数，得，由与互为相反数，得，即可求解．【详解】正数的两个平方根分别是和，，，，与互为相反数，，，，的算术平方根是．12．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期中）已知实数，满足，求的平方根．【答案】【分析】首先根据非负数的性质解得，的值，再代入并求值，然后根据平方根的定义求解即可．【详解】解：由题意，，又∵，，∴，，解得，，∴，∴的平方根，即4的平方根为．【点睛】本题主要考查了绝对值非负性质、算术平方根非负性质、代数式求值以及平方根等知识，利用非负数的性质解得的值是解题关键．13．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知：，求：的平方根．【答案】【分析】由，可得，解得，，则，，根据的平方根为，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，解得，，∴，，∴的平方根为，∴的平方根为．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根．解题的关键在于熟练掌握的平方根为．14．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）解答题．(1)一个正数a的平方根是与，则a是多少？(2)已知a、b满足，求的平方根【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，进而求出a的值；（2）根据非负性，求出的值，再进行计算即可．【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，∴；（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键．15．（2022上·黑龙江绥化·七年级校考期中）已知，．(1)当时，求和的值(2)当，求的值．【答案】(1)的值为1或，的值为(2)或【分析】（1）先由已知可得出，，因为，所以、同号，所以可得出、的值即可得出答案；（2）根据绝对值化简可知，，即可确定、的值，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∵，．，，，或，，，或，，或当时，的值为1或，的值为．（2）解：，，又∵，，，当，时，，当，时， ，当时，的值为或．【点睛】本题主要考查了代数式求值及绝对值的化简，求平方根，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．16．（2023下·福建福州·七年级校考期中）已知一个正数的平方根是和．(1)求出的值；(2)求这个正数；(3)求的平方根．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据平方根的特征得出，进行计算即可得到答案；（2）先求出的值，再平方即可得到答案；（3）先计算出的值，再求出的平方根即可．【详解】（1）解：∵一个正数的平方根是和，∴，∴；（2）解：，这个正数为；（3）解：，，∴的平方根是．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平方根、算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．17．（2023下·河南开封·七年级统考期末）已知实数x，y满足．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解．【详解】（1）由题意得：，，解得：，（2）由（1）得：，，∴，∴的平方根【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质．解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值．18．（2023上·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与．(1)求这个正数m；(2)求关于x的方程的解．【答案】(1)49(2)【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解；（2）将代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，解得，；（2）当时，，，．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．19．（2023下·四川广安·七年级校考期中）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．【答案】．【分析】利用平方根求出和的值，确定出的值，即可确定出平方根．【详解】解：∵的平方根是，的平方根是，∴，，解得：，，∴，∴的平方根为．【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．20．（2023下·福建福州·七年级校联考期中）（1）已知与互为相反数．①求的平方根；②解关于x的方程．（2）已知正实数y的平方根是m和．①当时，求m.②若，求y的值．③在②条件下，k是的小数部分，求的值．（备注：一个数的小数部分是指这个数减去不超过该数的最大整数）【答案】（1）①；②；（2）①；②；③9．【分析】（1）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得，的值，再代入①②进行运算即可；（2）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可；③先求出k的值，再代入求值即可．【详解】解：（1）与互为相反数，，则，，解得：，，①当，时，，16的平方根为：；②，，解得：；（2）正实数的平方根是和，，得：，①当时，，解得：；②， ，，，则，解得：，是正实数，．③当时， ，∴∴【点睛】本题主要考查非负数性质：绝对值，平方根，解答的关键是掌握平方根的性质和定义．【经典例题三 立方根相关的计算】21．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如果一个正数m的两个平方根分别是和，n是的立方根．(1)求m和n的值；(2)求的算术平方根【答案】(1)， (2)2【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根．（1）根据正数的两个平方根互为相反数，得到关于的方程，求出的值，进而求出的值，根据立方根的定义，求出的值；（2）将m和n的值代入代数式，求出算术平方根即可．掌握平方根，立方根和算术平方根的定义，是解题的关键．【详解】（1）解：由题意，得：，，∴，∴；（2）∵， ，∴．22．（2023上·福建泉州·八年级校联考阶段练习）已知：和是的两个不同的平方根，是的立方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据一个数的两个不同的平方根互为相反数得到，求出，得到，再结合立方根定义求出的值；（2）根据平方根定义求出答案．【详解】（1）解： 和是的两个不同的平方根，，解得：，所以，；又是的立方根，，，即，，；（2）由（1）知：，所以，，所以，，即：的平方根为．【点睛】此题考查了求一个数的平方根，平方根的性质，求一个数的立方根，正确理解平方根的性质是解题的关键．23．（2023下·吉林松原·七年级校考阶段练习）一个正数的两个平方根是和，则这个正数的立方根是多少？【答案】【分析】分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得x的值，从而可求出这个正数；然后根据立方根的定义可得答案．【详解】解：由题意得：，，，，∴，∴9的立方根是．【点睛】本题考查平方根和立方根，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．24．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的定义得出，，，即可求解；（2）把a、b、c的值代入计算，再求其算术平方根即可．【详解】（1）解：∵的立方根是3，∴，∴，∵的算术平方根是2，∴，∴，∵c的平方根是它本身，∴，∴，，；（2）解：当，，时，，∴的算术平方根为9．【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点并熟练运用．25．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）根据已知条件求值：(1)已知实数、、在数轴上的位置如图所示，试化简：．(2)已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值．(3)若9的平方根是，的绝对值是4，求的值？(4)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的平方根．(5)若、、满足，求代数式的值．【答案】(1)(2)0(3)的值为或1或或7(4)(5)【分析】（1）根据实数、、在数轴上的位置得出，，，，然后进行化简即可；（2）根据倒数，相反数的定义得出，，然后代入求值即可；（3）根据平方根定义和绝对值意义求出a、b的值，然后代入求值即可；（4）的平方根为，的算术平方根为4求出a、b的值，然后代入求值即可；（5）根据非负数的性质求出、、的值，然后再代入求值即可．【详解】（1）解：根据实数、、在数轴上的位置可知，，，，，∴；（2）解：∵、互为倒数，、互为相反数，∴，，∴；（3）解：∵9的平方根是，的绝对值是4，∴，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上分析可知，的值为或1或或7．（4）解：∵的平方根为，的算术平方根为4，∴，，解得：，，∴，∴的平方根为；（5）解：∵，∴，，，解得：，，，∴．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根定义，非负数的性质，绝对值的意义，解题的关键是理解相关的定义和性质，准确计算．26．（2023下·湖北鄂州·七年级校考阶段练习）回答下列问题：(1)若一个数的平方根是和，求的值，并求出该数；(2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．【答案】(1)，这个数是196(2)【分析】（1）根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程即可求解；（2）首先根据的平方根是，即可求得x的值，再根据的立方根是，即可求得y的值，据此即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得，解得，，．即的值是，这个数是；（2）解：的平方根是，的立方根是，，，，，，的平方根为，的平方根是．【点睛】本题考查了平方根与立方根的定义，两个平方根之间的关系，熟练掌握和运用平方根与立方根的定义是解决本题的关键．27．（2022下·福建厦门·七年级统考期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000∴，即59319的立方根是一个两位数．第二步：∵59319的个位数字是9，而．∴能确定的个位数字是9．第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．∴，可得．∴59319的立方根的十位数字是3．∴59319的立方根是39．根据上面的材料解答下面的问题：(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．【答案】(1)两；2(2)a=54【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.【详解】（1）解：∵，，且1000＜1728＜1000000∴，即1728的立方根是一个两位数．∵1728的个位数字是8，而，∴能确定的个位数字是2.故答案为：两，2（2）解：∵，，且1000＜157464＜1000000∴，即157464的立方根是一个两位数．∵157464的个位数字是4，而，∴能确定的个位数字是4.如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．∴，可得．∴157464的立方根的十位数字是5．∴157464的立方根是54．即a=54经过验证【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，能够读懂材料并能熟练计算1-10的立方是解题的关键.28．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．(1)求出这个铁块的棱长．(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长．【答案】(1)厘米；(2)厘米．【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答；（）根据题意列出式子再进行计算即可；本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键．【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米），答：这个铁块的棱长为厘米；（2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，∴，，解得：， 答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米．29．（2023下·广东惠州·七年级校考阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答：（一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题：(1)解方程：(2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ）A．1    B．    C．    D．（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：(4)填空题：若，则x的值是________．【答案】(1)(2)D(3)(4)或【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可；（3）根据立方根的定义解方程即可；（4）根据得出，即，解关于x的方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：要使式子有意义，则，∴，∵，∴a的取值可以是，故D正确．故选：D．（3）解：∵，∴，即，解得：．（4）解：∵，∴，即，解得：，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．30．（2023下·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子：① ；② ；③ ；④；……根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)（或互为相反数）(3)9【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可；（2）观察规律若，则；（3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可．【详解】（1）解：，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律，若，则，故答案为：（或a，b互为相反数）；（3）解：与的值互为相反数，，，，，，．【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键．【经典例题四 实数的混合运算】31．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)4(3)(4)(5)【分析】本题主要考查了有理数混合运算、实数混合运算；解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（4）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（5）根据立方根定义，绝对值意义，乘方运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．32．（2023上·浙江宁波·七年级宁波市第七中学校考期中）计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）根据有理数加法计算法则求解即可；（2）根据有理数乘法分配律求解即可；（3）先计算乘方，再计算乘除法即可；（4）先计算算术平方根，再计算乘方和绝对值，接着计算乘法，最后计算加减法即可；（5）先计算算术平方根和绝对值，再计算加减法即可；（6）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解；原式；（6）解；原式．33．（2023下·七年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】略34．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)16(2)(3)(4)【分析】（1）从左向右依次计算，求出算式的值即可；（2）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后计算减法，求出算式的值即可；（3）根据乘法分配律，求出算式的值即可；（4）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】（1）．（2）（3）（4）【点睛】此题考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．35．（2023上·浙江湖州·七年级统考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)2(2)(3)(4)【分析】此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（3）直接利用乘法分配律计算得出答案；（4）直接利用有理数的混合运算法则和实数运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式（4）原式36．（2023上·浙江绍兴·七年级新昌县七星中学校考期中）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)31(4)【分析】本题考查实数的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则和运算顺序：（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；（2）利用乘法分配律展开求解即可；（3）根据先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序求解即可；（4）先立方根、算术平方根、绝对值运算，再加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．37．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）计算或者解方程(1)(2)．(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查实数的混合运算以及解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）依次算出立方根，分母有理化，负指数幂，绝对值的计算即可得到答案；（2）根据平方根，负指数幂，绝对值的计算即可得到答案；（3）直接开平方即可得到答案；（4）直接开立方即可得到答案；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：解得；（4）解：解得．38．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）计算：(1)(2)(3)(4)（，结果精确到0.01）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了实数的混合运算，（1）先化简符号，再作加减法；（2）先计算乘法，再作加减法；（3）利用乘法分配律展开计算，同时计算乘方，最后计算加减法；（4）先算开方，去括号，再合并，将的近似值代入计算，并精确．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．39．（2023上·河南周口·八年级统考期中）计算．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先算开方，再算乘法，然后算加减；（2）先算绝对值，乘方和开方，除法，再算乘法，后算加减即可．【详解】（1）（2）40．（2023上·浙江宁波·七年级统考期中）计算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)7(5)1．53(6)【分析】此题主要考查了有理数的混合运算和实数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算．应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号要先做括号内的运算；（1）计算绝对值，利用减法的运算法则可计算；（2）根据平方根计算即可；（3）利用乘法的分配律，进行计算即可；（4）利用有理数的混合运算的运算顺序和运算法则进行计算；（5）利用乘法的分配律逆运算，进行计算即可；（6）利用实数的混合运算的运算顺序和运算法则进行计算；【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【经典例题五 新定义的实数计算】41．（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数和，规定，例如：．(1)求的值．(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式．（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得，整理，得，解得．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键．42．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题．如果，其中是整数，且，那么，．(1)如果，其中是整数，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整数，且，那么______，______；(3)已知，其中是整数，且，求的值；(4)在上述条件下，求的立方根．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）估算出，即可确定，的值；（2）估算出，可得，即可确定，的值；（3）根据题意确定出，的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．【详解】（1）解：，其中a是整数，且，又，，，故答案为：，；（2）解：，其中是整数，且，又，，，故答案为：，；（3）解：，其中是整数，且，，，；（4）解：，的立方根为：．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．43．（2023春·山东济宁·七年级统考期中）【阅读理解】对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．【问题解答】(1)直接写出的值为______；(2)对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1；(3)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)；(2)三(3)，【分析】（1）先确定的取值范围，再根据定义求解即可；（2）根据题中的步骤，对依次进行运算，求解即可；（3）根据整式的加减运算进行化简，再求得的值，代入求解即可．【详解】（1）解：∵∴根据题中的定义，可得故答案为：（2）解：，对进行三次操作后可变为1故答案为：三（3）解：，∵∴∴将代入得，原式【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法．44．（2021春·广东广州·七年级校考阶段练习）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，例如，．(1)填空（直接写出结果）：__________，__________，__________．(2)计算：．【答案】(1)1，，(2)【分析】（1）定义等于不超过实数x的最大整数，定义，依此即可求解；（2）根据与求值后，再计算加减法即可求解．【详解】（1）．故答案为：1，，（2）；故答案为：．【点睛】此题考查新定义，无理数的估算，实数的混合运算，注意的应用．45．（2021春·广东汕头·七年级校考期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．(1)请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______．(2)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．(3)已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值．【答案】(1)不是(2)4，12(3)81【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐组合”的定义求解即可；（3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∵，不是整数，∴3，12，32不是“和谐组合”；故答案为：不是；（2）证明：∵，，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（3）分三种情况：①当时，得：（舍去）②当时，，得：（舍去）③当时，．得：．综上所述，a的值为81．【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则．46．（2023春·广西玉林·七年级统考期中）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分可用表示；再如，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到一个真命题．如果，其中是整数，且，那么，．(1)如果，其中是整数，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整数，且，那么______，______；(3)已知，其中是整数，且，求的值；(4)在上述条件下，求的立方根．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）估算出，即可确定，的值；（2）估算出，可得，即可确定，的值；（3）根据题意确定出，的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．【详解】（1）解：，其中a是整数，且，又，，，故答案为：，；（2），其中是整数，且，又，，，故答案为：，；（3），其中是整数，且，，，；（4），的立方根为：．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．47．（2023秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料，并完成问题解答：（一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题：(1)解方程：(2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ）A．1    B．    C．    D．（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：(4)填空题：若，则x的值是________．【答案】(1)(2)D(3)(4)或【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可；（3）根据立方根的定义解方程即可；（4）根据得出，即，解关于x的方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：要使式子有意义，则，∴，∵，∴a的取值可以是，故D正确．故选：D．（3）解：∵，∴，即，解得：．（4）解：∵，∴，即，解得：，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．48．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，将与称为数对的一对“对称数对”．例如：当，时，，，数对的一对“对称数对”为与．(1)数对的一对“对称数对”是______ 与______ ；(2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？(3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用对称数对”的规定解答即可；（2）利用对称数对”的定义列出关于的等式解答即可；（3）利用对称数对”的定义列出关于的等式解答即可．【详解】（1），，数对的一对“对称数对”是与 故答案为：；．（2）数对的一对“对称数”相同，，．（3）数对的一个“对称数对”是，，．【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．49．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“近整区间”为，如，所以的“近整区间”为．(1)无理数的“近整区间”是_________；无理数的“近整区间”是_________；(2)实数x，y满足关系式：，求的算术平方根的“近整区间”．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根据“近整区间”的定义，确定和介于哪两个整数之间，即可得到答案；（2）根据算术平方根被开方数大于等于0，求得，，进而得到的算术平方根为，即可求出其“近整区间”．【详解】（1）解：，，无理数的“近整区间”是；，，，无理数的“近整区间”是，故答案为：；；（2）解：，，，，，的算术平方根为，，，的算术平方根的“近整区间”是．【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法，正确理解“近整区间”的定义是解题关键．50．（2023春·湖南长沙·七年级统考期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“show点”．如：，故点是“show点”．(1)点，点，点中，是“show点”的是______；(2)若点是“show点”，求的值；(3)是否存在点，使点是“show点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)；(3)的值为0或．【分析】（1）根据“show点”的定义，计算即可判断；（2）根据“show点”的定义，列出方程，解方程即可求解；（3）根据“show点”的定义，求得m的值，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：点，，，故点不是“show点”；点，，，故点是“show点”；点，，，故点不是“show点”；故答案为：；（2）解：∵点是“show点”，∴，整理得，解得；（3）解：∵点是“show点”，∴，整理得，∴或，当时，；当时，．综上，的值为0或．【点睛】本题考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“show点”的定义是解题的关键．【经典例题六 实数相关的规律探究题】51．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：(1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数）(2) ， (3)338.56的平方根是 ．【答案】(1)18.6,18.8(2)18.7，1.89(3)【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解；（2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；（3）根据平方根的定义即可求解．【详解】（1）解：∵ ，，，∴在18.7和18.8之间，故答案为：18.7,18.8；（2）解：∵，，∴在18.6和18.7之间，∴，∵，∴，故答案为：18.7，1.89；（3）解：∵,∴338.56的平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．52．（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______．(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______．【答案】(1)，(2)（n为正整数），见解析【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可；（2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可．【详解】（1）解：第1个等式为：；第2个等式为；第3个等式为：；所以猜想第4个等式为：；……，第9个等式为：，即；故答案为：，；（2）第个等式所反映的规律为：；证明：∵n为正整数，；∴（n为正整数）．【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键．53．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：(1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍；(2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________；(3)已知，，，则________，________；(4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________．【答案】(1)10(2)；(3)；(4)【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律；（2）利用（1）中的规律进行求解；（3）利用（1）中的规律进行求解；（4）类比（1）的规律，求解即可．【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，故答案为：10；（2），，故答案为：；（3），，，，，故答案为：；（4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，若，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键．54．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）（1）计算：（2）求中的x的值．（3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且设，画出如下示意图．  由面积公式，可得 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到），即 ．【答案】（1）；（2）或．（3）；；；【分析】（1）先计算算术平方根，绝对值，再合并即可；（2）利用平方根的含义可得或，再解两个一次方程即可；（3）由，设， 由面积公式，可得因为x值很小，所以更小，略去，得方程，再解方程可得答案．【详解】解：（1）；（2），∴或，解得：或．（3）∵，设，画出如下示意图．  由面积公式，可得因为x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到），即．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，无理数的估算，完全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键．55．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”．(1)最小的和谐数是___________，最大的和谐数是___________．(2)观察下列各式：，，，，请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．(3)已知（，，且，均为整数），是一个“和数”求的值．【答案】(1)①；②(2)证明见解析；(3)或或【分析】（1）根据“和数”和“谐数”的概念即可解答；（2）设“谐数”的百位数字为(，十位数字为,个位数字为即可解答；（3）先判断，，再利用“和数”的概念即可解答．【详解】（1）解：∵这个数是三位数，∴百位上为最小的自然数，∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，∴十位数字与个位数字为和，∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，∴十位数字为，个位数字为，∴最小的“和谐数”为，故答案为；∵这个数是三位数，∴百位上为最大的自然数，∵“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，∴十位数字与个位数字为和，和，和，和，∵“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，∴十位数字为，个位数字为，∴最大的“和谐数”为，故答案为；（2）解：设“谐数”的百位数字为(，十位数字为,个位数字为，∴，∴,∵，是奇偶性相同，∴，必然是一奇一偶，∴必然是偶数，∴任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∵为和数，∴，即，∴或或，∴或或．【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，不等式的性质，理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键．56．（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，(1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？(2)①已知，则______；②已知，则______；(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示．【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位；(2)①0.447；②36800；(3)．【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；（2）根据规律即可得出答案；（3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题．【详解】（1）∵，∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；（2）①∵，∴；②∵，，∴．故答案为：①0.447；②36800；（3）∵，∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；∵，∴．【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键．57．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题：因为，且，所以的整数部分为；因为，且，所以的整数部分为；因为，且，所以的整数部分为；(1)以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为______，请说明理由．(2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的值．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）比较被开方数与所给数值的大小，可发现：；故的整数部分为．（2）先根据的整数部分为，得到，，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：整数部分是．理由：∵为正整数，∴，∴，∴，即，∴（为正整数）的整数部分为．（2）解：∵∴的整数部分为∴∵∴的整数部分为∴∴【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．58．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：(1)表格中　 　，　 　；　 　；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则　 　；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　；(3)试比较与a的大小．当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②(3)；或0；【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．【详解】（1），，．故答案为：0.1；10，100；（2）①∵，∴．②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴．故答案为：31.6；；（3）由表格中数据可知：当时，；当或0时，；当时，，故答案为：；或0；．【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．59．（2022秋·四川成都·七年级石室中学校考期中）观察算式：①；②；③；④．根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第5个算式：　 　；(2)写出第n个算式：　 　；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意找出规律：等式左边第一个数为一系列正整数，第二个数比第一个数大2，再加上1，等式右边是左边积中两个因数和的一半的平方，从而可得答案；（2）根据（1）中的规律，写出第n个算式即可；（3）利用（1）中的规律进行计算即可．【详解】（1）解：由题意得：第5个算式为：；（2）解：由题意得：第n个算式为： ；（3）解：；【点睛】题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键．60．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：(1)表格中　 　，　 　．(2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①已知，则　 　．②已知，若，则a＝　 　．【答案】(1)；10(2)①；②25600【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．【详解】（1）解：∵，∴，．故答案为：；10．（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知，则，故答案为：；②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知，则，∵，∴． 故答案为：25600．【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．x18.318.418.518.618.718.818.919x²334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361．．．．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…a…0.00010.01110010000… …x1y100…