数学七年级下册6.1 平方根 、立方根课时训练

这是一份数学七年级下册6.1 平方根 、立方根课时训练，文件包含专题02平方根重难点题型专训9大题型+15道拓展培优原卷版docx、专题02平方根重难点题型专训9大题型+15道拓展培优解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
题型一 平方根与算术平方根概念理解
题型二 求一个数的算术平方根
题型三 利用算术平方根的非负性解题
题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分
题型五 与算术平方根有关的规律探索题
题型六 求一个数的平方根
题型七 已知一个数的平方根，求这个数
题型八 利用平方根解方程
题型九 平方根的应用
【知识梳理】
知识点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质


知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】
【例1】（2023上·山东青岛·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.2是的算术平方根B．是25的平方根
C．的算术平方根是9D．16的平方根是4
【答案】B
【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【详解】0.2是0.04的算术平方根，则A不符合题意；
是25的平方根，则B符合题意；
，其算术平方根是3，则C不符合题意；
16的平方根是，则D不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（2022下·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的概念可得，，求解可得，，然后带入原方程，利用平方根解方程即可．
【详解】解：根据题意，3既是的平方根，也是的立方根，
可得，，
解得，，
则关于的方程即为，
∴，
∴，
解得 或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．
2．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）若2023的两个平方根是和，则的值是（ ）
A．0B．2023C．D．4046
【答案】C
【分析】根据平方根的意义可得，然后代入式子进行计算即可得到答案．
【详解】解：2023的两个平方根是和，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是它本身，负数没有平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2022秋·浙江·七年级期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵x是最大的负整数，
∴，
∵y是最小的正整数，
∴，
∵z是平方根等于本身的数，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0．
4．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）阅读与理解
阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值．
我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一节课的探究学习片断：
步骤一：再探公式，猜想规律
，，．
发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存在“知二求三”的一般性规律呢？
步骤二：推导变形，得出公式
由可得，．
由也可得______，______．
综合这两个公式还可得出：______，______．
进一步综合变形推导可得：或（依据是______）或，
同理可得：求的公式为______．
步骤三：迁移运用，提升能力
若，，请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求，，的值．
【答案】步骤二：；；；；平方根的意义；或或；步骤三：，，
【分析】根据完全平方公式、平方差公式等结构特点进行变形求值即可．
【详解】解：步骤二：，
，
，．
依据是：平方根的意义，
，
故答案为：；；；；平方根的意义；或或；
步骤三：
∵，，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形，平方差公式，平方根等知识点，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
【经典例题二 求一个数的算术平方根】
【例2】（2023下·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．25的算术平方根是5
C．的平方根是±9D．－36的算术平方根是6
【答案】B
【变式训练】
1．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．
【详解】当时，算术平方根是，它是有理数，
再取算术平方根是，它还是有理数，
再取算术平方根是，它是无理数，
故输出的结果是，
故选：．
2．（2023春·湖南湘西·七年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是2B．的算术平方根是2
C．1的平方根是1D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、是负数，没有平方根，则此项错误，不符合题意；
B、是负数，没有算术平方根，则此项错误，不符合题意；
C、1的平方根是，则此项错误，不符合题意；
D、0的平方根与算术平方根都是0，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0；负数没有平方根和算术平方根．
3．（2023春·山西吕梁·七年级校考期中）若与的和是单项式，则的算术平方根是 ．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义解得的值，即可求得的值，然后求其算术平方根即可．
【详解】解：若与的和是单项式，即与为同类项，
则有，
∴，
∵，
∴的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．（2023春·重庆巴南·七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中为有理数，求和的值；
(2)如果，其中为有理数，求的立方根；
(3)若均为有理数，且，求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)的立方根为2
(3)的算术平方根为或
【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；
（2）先根据题干提供的方法列出m和n的方程组求解，然后代入计算即可；
（3）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解．
【详解】（1）∵，其中为有理数，
∴，；
∴，．
（2）∵，
∴，
∵m、n为有理数，
∴
解得
∴，
∴的立方根为2．
（3）∵，
，
∵m、n为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，，的算术平方根为；
当，时，，的算术平方根为；
综上所述，的算术平方根为或．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，算术平方根的意义等知识，掌握题目介绍的解题方法是解答本题的关键．
【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】
【例3】（2024下·全国·八年级假期作业）若a，b为实数，且，则的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．
【答案】B
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知非零实数a，b，满足，则等于( )
A．﹣1B．9C．1D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得的值．
【详解】解∶根据题意得∶，
∴，
∴原等式可化为
即，
∴且，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．（2022春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）若，则的算术平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方与算术平方根的和为，可得平方与算术平方根同时为，可得出二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法，可得答案．
【详解】∵，
∴，解得：，
∴，
∴的算术平方根为，
故选：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题关键熟记平方与算术平方根的和为，可得平方与算术平方根同时为．
3．（2023秋·八年级课时练习）若，则分式的值为 ．
【答案】
【分析】由算术平方根，偶次方的非负性可得，再利用加减法可得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
得：即，
得：即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练的利用整体代入法求值是解本题的关键．
【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】
【例4】（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
【变式训练】
8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
2．（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
3．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
【答案】
【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．
【详解】解：，
，
则．
故答案是：3，．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 .
【答案】1
【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴，
∴
∴的整数部分为10，的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12023
=1
【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.
【经典例题五 与算术平方根有关的规律探索题】
【例5】（2022下·贵州遵义·七年级统考期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·北京门头沟·八年级大峪中学校考期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（ ）
A．179B．109C．210D．104
【答案】B
【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则．
【详解】解：，可得；
，可得；
，则，，
则，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（ ）
A．179B．109C．210D．104
【答案】B
【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则．
【详解】解：，可得；
，可得；
，则，，
则，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键．
3．（2023春·北京丰台·七年级北京丰台二中校考期中）数学解密：若第一个式子是 ， 第二个式子是， 第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是 ．
【答案】
【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子是，进而写出第五个式子即可。
【详解】解：∵，即，
，即，
，即，
，即，
∴第五个式子为，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了算术平方根，是个找规律的题目，难度中等，分析题意，找出规律是解题的关键．
【经典例题六 求一个数的平方根】
【例6】1（2023上·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）若满足，则的平方根是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，平方根的定义；
根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n，再计算出的值，然后根据平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·四川达州·八年级校考期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（ ）
A．①②③B．④⑤⑥C．③④D．②⑤
【答案】C
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义；
根据平方根和算术平方根的概念逐项判断即可．
【详解】解：①，表示16的平方根是，不符合题意；
②，表示的算术平方根的相反数，不符合题意；
③，表示25的算术平方根是5，符合题意；
④，表示36的算术平方根是6，符合题意；
⑤，结果应该是，不符合题意；
⑥，表示是16的一个平方根，不符合题意；
综上，其中表示一个数的算术平方根的是③④，
故选：C．
2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）若则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将两边同时平方，求出，可凑出，再开方即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和开平方的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
3．（2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据根式的非负性可求出，的值，进而可求出答案．
【详解】解：∵，且根号下不能为负，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．
【经典例题七 已知一个数的平方根，求这个数】
【例7】（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3B．64C．3或D．64或
【答案】D
【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值．
【详解】解：I．当和相等时， ，
解得：，
，
；
II．当和互为相反数时，，解得：，
，
；
综上所述：a的值是64或．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
【变式训练】
1．（2022下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ．
【答案】1
【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数
【详解】由题意可知：
∴这个正数的两个平方根分别是
∴这个正数是1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与．
(1)求这个正数m；
(2)求关于x的方程的解．
【答案】(1)49
(2)
【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解；
（2）将代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
；
（2）当时，，
，
．
【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．
【经典例题八 利用平方根解方程】
【例8】（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解．
【详解】解：∵
∴都小于1且大于0
（负值舍去）
故选D
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？
对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：
嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出①
琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片②
嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路．
琪琪：设长是，宽是，
则：，
，
，
，舍去
长是，宽是③
嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为．
，，，又不能拼接，所以裁不出④
对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( )
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】A
【分析】由题意求出要裁出的长方形纸片的长与宽，比较长方形的长与正方形的边长的大小，即可得到答案．
【详解】解：由于嘉嘉和琪琪的对话知正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为，而要裁出的长方形纸片的长与宽分别是，．
，，
，
所以裁不出符合要求的长方形．
正确的是．
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，关键是列出方程由算术平方根的定义求出长方形的长与宽．
2．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（ ）
A．0B．2C．3D．2或3
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
【详解】

故选：D
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键.
3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
……
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：
(3)运用：若与的差为2525．求的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案；
（2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可；
（3）由与的差为2525，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：，
证明如下：
，
；
（3）解： 与的差为2525，
整理得：，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键．
【经典例题九 平方根的应用】
【例9】17．（2023下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（ ）
A．6B．C．4D．
【答案】D
【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为x，
由题意得：，
（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（ ）
A．2.4AB．C．4.8AD．
【答案】B
【分析】将所给数据代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∴，
∴（负值不符合实际情况，舍去）
∴电流的值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键
2．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（ ）．
A．1倍B．倍C．－1倍D．2倍
【答案】B
【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
刹车距离s与车速v的关系式是：（其中），
所以，
当刹车距离增加一倍时，即：
即车速增加倍，
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题．
3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为 ．
【答案】4
【分析】设乙的边长为2a，根据，，可以推出从而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积列出方程求解即可
【详解】解：设乙的边长为2a，
∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
∵，，
∴，，
∴，
∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意表示出两个大正方形的边长是解题的关键．
【拓展培优】
1．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：阴影部分，
它的边长是．
故选C．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
3．（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的性质及二元一次方程组的解法，熟练掌握非负数的性质，正确求出，的值是解答本题的关键．
根据非负数的性质，得到，求出，的值，代入，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
，
解得：，
，
故选：．
4．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．或B．或5C．或1D．1或5
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据确定a，b的值，再代入求解即可．
【详解】解：，，
，，
，
，或，
当，时，，
当，时，，
的值为或，
故选A．
5．（2023下·湖北恩施·七年级统考期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，
当，，
当，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考阶段练习）已知实数满足，且,则的值为 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值，根据非负数性质求出a，b，c的值，代入得，再把变形代入求值即可
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
代入，得，
∴，
∴
故答案为：14
7．（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）最强大脑的幻圆项目充分体现了数学的魅力，如图，这是一个二阶幻圆的模型，规则：
①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；
②外圆两直径上的四个数字之和相等，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组求出a、b值，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：，
∴
∴的平方根．
故答案为：．
8．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.
下面有四个推断：
①
②一定有个整数的算术平方根在之间
③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于
④比大
所有合理推断的序号是 .
【答案】D
【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】解：根据表格中的信息知：
，故①正确；
根据表格中的信息知：，
∴正整数或或，
∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确；
∵由题意设且，

由，，
∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确；
∵，，，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
9．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）中国古代有一种求算数平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设N为被开方数，a为首根，b为次根，若将根记为，则．以为例：
（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；（2）估首根a：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；（3）估次根b：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；（4）重复如上操作．
则的算术平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．
【详解】解：（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得37，57，69；
（2）估首根a：考虑被开方数的首节37，由于，故首根为6，由于，故继续开方；
（3）估次根b：考虑余数的第一、二节157，考虑，尝试估出次根；
（4）考虑榆树的第二、三节，考虑，，
综上：的算术平方根为；
10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形．
（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 ．
（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 ．
【答案】 71 或
【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图2大正方形的面积，即可；
（2）设小正方形的面积为，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．
【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为，
∴四个完全相同的直角三角形的面积和为，
由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积，
∴图2中8个完全相同的直角三角形的面积和为，
∴大正方形的面积为；
故答案为：71；
（2）设阴影小正方形的面积为，
则大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∵大正方形的边长为正整数，且边长大于图1中的大正方形的边长，即边长大于6，且，
∴或，
或，
∴阴影小正方形的边长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，翻折的性质，算术平方根，找到翻折后的大正方形的面积与原来的正方形的面积关系式是解题的关键．
11．（2023上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）(1)计算：．
(2)求的值：．
【答案】(1)2
(2)，
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根的定义求解一元二次方程．
（1）先求立方根、算术平方根，然后进行加减运算即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
∴或，
解得，，．
12．（2023上·浙江衢州·七年级校联考期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，．
(1)请根据这种新运算定义计算：________，________．
(2)若实数a，b满足．
①请直接写出a，b的值．
②求的值．
【答案】(1)，
(2)①，②
【分析】（1）根据题意代入计算即可；
（2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到．
此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，；
∴，
当时，．
∴，
故答案为：，
（2）①∵．，
∴，
∴，
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A、B、C、D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为

(1)请计算；
(2)列式计算经过顺序的运算结果；
(3)若数x经过顺序的运算，结果是12．则求初始数字x是多少？
【答案】(1)53
(2)13
(3)初始数字x是5或1
【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；
（2）根据题意可以列出算式，计算即可；
（3）根据题意可以得到，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：由题意得：
解得：
∴初始数字x是5或1．
【点睛】此题考查了有理数的运算、利用平方根解方程，理解题目提示的运算顺序是解题的关键．
14．（2023上·河北沧州·八年级校联考期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题：
①，则
②
发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位；
（2）应用：①已知________，________；
②已知，则________；
（3）拓展：已知，计算和的值．
【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ．
【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键．
（1）根据题干中的例子总结规律即可；
（2）根据总结的规律即可求得答案；
（3）将原式变形后根据规律计算即可．
【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：右，1；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位，
故答案为：左，1；
（2）①根据总结的规律可得：，，
故答案为：1.732，17.32；
②根据总结的规律可得：，
，
故答案为：；
（3），
，．
15．（2022上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散：
(1)完成下列填空
①______，②______，③______，
④______，⑤______，⑥______；
(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；
(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．
【答案】(1)3，0.5，6，0，，
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
(4)
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；
（4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：①，②，③，
④，⑤，⑥．
故答案为：3，0.5，6,0，，；
（2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
（3）若，则，
所以．
故答案为：；
（4）由在数轴上的位置可知，
，且，
所以
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791