沪科版七年级下册6.1 平方根 、立方根课时训练

这是一份沪科版七年级下册6.1 平方根 、立方根课时训练，文件包含专题03立方根重难点题型专训6大题型+15道拓展培优原卷版docx、专题03立方根重难点题型专训6大题型+15道拓展培优解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
题型一 立方根的概念理解
题型二 求一个数的立方根
题型三 已知一个数的立方根，求这个数
题型四 与立方根有关的规律计算
题型五 立方根的实际应用
题型六 平方根与立方根的综合应用
【知识梳理】
知识点一：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
【经典例题一 立方根的概念理解】
【例1】（2023下·河南商丘·七年级统考期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（ ）
A．B．3C．D．不确定
【变式训练】
1．（2022上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．立方根是负数的数一定是负数
B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D．一个数的平方根与立方根不能相等
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000B．1000C．10D．10000
3．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．
（1）求x的值；
（2）求a+1的立方根．
【经典例题二 求一个数的立方根】
【例2】（2023上·浙江宁波·七年级统考期中）已知与互为相反数，则与的积的立方根为（ ）
A．4B．C．8D．
【变式训练】
1、（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，，= ．
3．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：，，且，求的立方根．
【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例3】（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若，，则的值为（ ）
A．2或B．或1C．6或0D．2或
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级校联考期中）若，，则（ ）
A．B．或C．D．5或11
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，且，则的算术平方根是 ．
3．（2022秋·八年级单元测试）已知某正数的平方根是和，的立方根为．
(1)求这个正数的立方根；
(2)求的平方根．
【经典例题四 与立方根有关的规律计算】
【例4】（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1、（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
用字母n表示出一般规律是 ．（n为不小于2的整数）
3．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子：
① ；
② ；
③ ；
④；
……
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．
(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值．
【经典例题五 立方根的实际应用】
【例5】（2023下·河北邯郸·七年级校联考期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（ ）
A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米
【变式训练】
1．（2022上·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20B．200C．40D．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
3．（2023春·全国·七年级专题练习）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ．
【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】
【例6】（2023上·浙江杭州·七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023下·甘肃武威·七年级校考期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4B．4或0C．6或2D．6
2．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是 ．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ；
(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ；
(3)已知则 ， ．
(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？
【拓展培优】
1．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）若，为实数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考阶段练习）下列运算中，错误的是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·河南周口·八年级校考阶段练习）已知的算术平方根是12.3，的立方根是，的平方根是，的立方根是456，则和分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考期中）在实数，，，，，0，，中，无理数有 个．
7．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）已知x满足，则 ．
8．（2022下·福建厦门·七年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的：
①由，，可以确定是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3；
由此求得．
现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ．
9．（2023上·浙江绍兴·七年级新昌县七星中学校考期中）在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：
①任何无理数都是无限不循环小数；
②立方根等于它本身的数是和；
③在和之间的无理数有且只有、、、这个；
④是分数，是有理数；
⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数．
其中正确的有 （填序号）．
10．（2023下·北京·七年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，试确定 是 位数；
（2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ；
（3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ；
（4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ．
11．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
12．（2022下·湖北咸宁·七年级校考期末）阅读下面文字，解答问题．
是无理数，无理数是无限不循环小数，小腾用表示它的小数部分．理由是： 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为 ．参考小腾的做法解答：
(1)如果的整数部分为，小数部分为，则 ．
(2)如果，其中是整数，且，
①写出，的值．
②求的平方根．
13．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）阅读材料，解答问题：
材料：，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求的小数部分；
(2)求的平方根．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）阅读与探究
本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容．
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
(1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ．
(2)探究性质：
①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根．
②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
15．（2023上·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）（1）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
因为，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请利用上述方法比较实数与的大小．
（2）已知的平方根是，的立方根是2，c是的小数部分，求．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
…
…
…
…
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根．
一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根．
运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．
性质
正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法
正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”
一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”．