中考数学二轮复习压轴题培优专练专题11 几何压轴中的实践与操作题型（2份打包，原卷版+解析版）

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对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.
图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：
1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．
2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．
3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．
4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．
解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．
（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ______．
问题探究
如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是______．
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的等边三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试猜想 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，将图 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以图 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆柱的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，柱体的高 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
问题探究：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；理由见解析；
实践应用：（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求S4+S5=S6；
实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可证明 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】知识再现 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】知识再现：解： SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
问题探究： SKIPIF 1 < 0 解： SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 解： SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，
在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
实践应用： SKIPIF 1 < 0 证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 、以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 、以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
（2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，重叠部分的面积为__________；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 SKIPIF 1 < 0 与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，试判断重叠部分 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
②如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，求重叠部分四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 SKIPIF 1 < 0 （设 SKIPIF 1 < 0 ），将 SKIPIF 1 < 0 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的两边与正方形 SKIPIF 1 < 0 的边所围成的图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的最小值与最大值（分别用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示），
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积= SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积= SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1= SKIPIF 1 < 0 S．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．
【答案】(1)1,1， SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，理由见解析；② SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积= SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积= SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1= SKIPIF 1 < 0 S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN= SKIPIF 1 < 0 S正方形ABCD，
∴S1= SKIPIF 1 < 0 S．
故答案为：1，1，S1= SKIPIF 1 < 0 S．
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ•tan15°=2- SKIPIF 1 < 0 ，
∴CM=CJ-MJ=1-（2- SKIPIF 1 < 0 ）= SKIPIF 1 < 0 -1，
∴S四边形OMCN=2× SKIPIF 1 < 0 ×CM×OJ= SKIPIF 1 < 0 -1．
（3）如图4，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时则当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 比四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积小，

设 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 最小，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，

SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 BM=CN
SKIPIF 1 < 0 当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan SKIPIF 1 < 0 =tan SKIPIF 1 < 0 ，
∴MN=2MQ=2tan SKIPIF 1 < 0 ，
∴S2=S△OMN= SKIPIF 1 < 0 ×MN×OQ=tan SKIPIF 1 < 0 ．
如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．

SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则△COM≌△CON，
∴∠COM= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°- SKIPIF 1 < 0 ，
QM=OQ•tan（45°- SKIPIF 1 < 0 ）=tan（45°- SKIPIF 1 < 0 ），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°- SKIPIF 1 < 0 ），
∴S2=2S△CMO=2× SKIPIF 1 < 0 ×CM×OQ=1-tan（45°- SKIPIF 1 < 0 ）．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
1．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践
问题情境
在图 SKIPIF 1 < 0 所示的直角三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点．数学老师让同学们将 SKIPIF 1 < 0 绕中点 SKIPIF 1 < 0 做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．
解决问题
（1）“实践小组”的同学们将 SKIPIF 1 < 0 以点 SKIPIF 1 < 0 为中心按逆时针旋转，当点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与它的对应边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．他们发现： SKIPIF 1 < 0 ．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图 SKIPIF 1 < 0 的基础上，“实践小组”的同学们继续将 SKIPIF 1 < 0 以点 SKIPIF 1 < 0 为中心进行逆时针旋转，当 SKIPIF 1 < 0 的对应边 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．他们认为 SKIPIF 1 < 0 ．他们的认识是否正确？请说明理由．
再探发现
（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图 SKIPIF 1 < 0 中连接 SKIPIF 1 < 0 ，他们认为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）
【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等边对等角、旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，根据等腰三角形三线合一可证 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点O作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为N，M，利用“角边角”证明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“角角边”证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而证明四边形 SKIPIF 1 < 0 正方形，通过等量代换可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）利用正方形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合（2）的结论可得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1）证明如下：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）他们的认识正确，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，过点O作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为N，M，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 矩形．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 正方形．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）知四边形 SKIPIF 1 < 0 正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，以 SKIPIF 1 < 0 为直角边在 SKIPIF 1 < 0 边的右侧作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 恰好在射线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上时，那么 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是_________；
探索发现：
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：
(3)如图4，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 的延长线上一动点时，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)成立，证明见解析；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方形的性质和 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，证得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方形的性质和 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，证得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方形的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再证得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可．
【详解】（1）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：
如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图4，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·广东深圳·校考模拟预测）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN SKIPIF 1 < 0 ，求证：M是CD的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．
【答案】(1)12
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）利用旋转的性质结合SAS可以证明△ANM≌△ANE，从而得到DM+BN＝MN，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝x﹣6，DM＝x﹣8，利用勾股定理求得MN=10，从而列得方程求解即可求出正方形边长．
（2）根据设BN＝m，DM＝n，则MN＝m+ n，利用tan∠BAN SKIPIF 1 < 0 ，可得正方形边长为3m，从而得到CM=3m-n，CN＝2m，根据勾股定理得到： SKIPIF 1 < 0 ，代入可得关于m，n得方程，继而得到3m＝2n，最后代入CM=3m-n得到DM＝CM，即M是CD的中点．
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，将图③补充成边长为16的正方形，从而得到与前两问的图形，利用 SKIPIF 1 < 0 可得△ABN∽△APE，继而求出PE的长度，从而利用前面的结论，并利用勾股定理列方程即可求出结果．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
∴MN SKIPIF 1 < 0 10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN SKIPIF 1 < 0 ，
∴tan∠BAN SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴△ABN∽△APE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PE SKIPIF 1 < 0 BN SKIPIF 1 < 0 ，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得：EM＝PE+DM SKIPIF 1 < 0 a，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与实践
如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
实践操作：
将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动．
问题解决：
（1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：MB=MC；
拓展延伸：
（2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为 ；
问题再探：
（3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）由旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，继而证明 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，接着由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由平移的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，接着由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）延长BM交CE于点F，证明 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到MB=MF，再结合直角三角形斜边中线的性质解得即可．
【详解】解：（1）由题意知Rt△ABD≌Rt△ACE
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 旋转
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 M是DE的中点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）由题意，
SKIPIF 1 < 0 平移
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 M是DE的中点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）成立，理由如下，
如图，延长BM交CE于点F，
SKIPIF 1 < 0 平移
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 M是DE的中点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·河南南阳·统考二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时， SKIPIF 1 < 0 交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N， SKIPIF 1 < 0 与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
【引申探究】（3）当点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形 SKIPIF 1 < 0 的对角线MD所在的直线上时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．
【答案】（1）菱形， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可证ME=ED，再证△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，则可知四边形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中， SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，进而求出ED，则菱形的面积可求；
（2）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（3）分两种情况讨论，第一种当 SKIPIF 1 < 0 点在在线段MD上时，第二种情况当 SKIPIF 1 < 0 点在DM的延长线上时，两种情况均是先先利用勾股定理求出MD，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）根据题意有AM=BM= SKIPIF 1 < 0 AB= SKIPIF 1 < 0 DC=DN=NC=3，
∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A，
∵∠BFM=∠NFD，
∴△BFM≌△NFD，
∴MF=FD，
同理可证ME=ED，
∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF，
∴∠AME=∠BMF，
∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM，
∴ME=MF，
∴ME=ED=DF=MF，
∴四边形MEDF是菱形，
∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，
即ED=5-AE=ME，
∴在Rt△AEM中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ED=5-AE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴菱形MEDF的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：菱形， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图，
第一种当 SKIPIF 1 < 0 点在线段MD上时
∵AD=5，AM=3，
∴在Rt△ADM中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC=AD= SKIPIF 1 < 0 =5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
根据矩形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A= SKIPIF 1 < 0 =∠90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
第二种情况当 SKIPIF 1 < 0 点在DM的延长线上时，
如图：
同理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：DG为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·山西大同·统考二模）综合与实践
在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；
第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；
第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．
他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．
(1)试证明上面的结论：
(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：
第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；
第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；
第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．
①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；
②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①画图见解析；②点G是AD边上的一个三等分点，理由见解析
【分析】（1）设正方形的边长为a，BG的长为x，根据轴对称和正方形的性质，推导得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；
（2）①结合题意，根据轴对称的性质作图，即可得到答案；
②根据正方形、相似三角形、矩形的性质，通过证明△AEF∽△CBF、△AFG∽△CFN，从而完成证明．
【详解】（1）设正方形的边长为a，BG的长为x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点E是AD的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵CD翻折至CF，CB翻折至CF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点E，F和G三点共线
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴点G是AB边上的一个三等分点；
（2）①根据题意，折痕和点G和点N的位置如图：
；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴△AEF∽△CBF
∴ SKIPIF 1 < 0
∵点E是AD的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴△AFG∽△CFN
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形AGNB是矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点G是AD边上的一个三等分点．