中考数学二轮复习压轴题培优专练专题17 多函数综合问题（2份打包，原卷版+解析版）

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多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问题、线段和差的最值问题以及角度的问题。在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的前提。
（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线AB与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．经过原点O的抛物线 SKIPIF 1 < 0 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 SKIPIF 1 < 0 轴且 SKIPIF 1 < 0 时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分当M在N点上方时， SKIPIF 1 < 0 ．和当M在N点下方时， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线AB的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线AB经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
当M在N点上方时， SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
当M在N点下方时， SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 与点D重合．
当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
∵ SKIPIF 1 < 0 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行且过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与拋物线 SKIPIF 1 < 0 的交点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
∵ SKIPIF 1 < 0 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当 SKIPIF 1 < 0 时．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为H，过点C作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为K．
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵点P不与点A，C重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴如图，满足条件的点P有两个．即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
∵ SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
∵ SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，满足条件的点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．
（2022·山西·中考真题）综合与探究
如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，作直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（1）令 SKIPIF 1 < 0 中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；
（2）过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点G，易证四边形CODG是矩形，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰三角形三线合一的性质可以得出 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，由P点在抛物线上可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；
（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在；m的值为4或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由 SKIPIF 1 < 0 得，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线BC的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线BC的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ﹒
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，
∴点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点G，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形CODG是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ﹒
∴点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：存在；m的值为4或 SKIPIF 1 < 0 ．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，
∵过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点F，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ．
根据勾股定理，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上，m的值为4或 SKIPIF 1 < 0
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．
（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交反比例函数图象于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴分成长度比为 SKIPIF 1 < 0 的两部分时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设 SKIPIF 1 < 0 是第三象限内的反比例函数图象上一点， SKIPIF 1 < 0 是平面内一点，当四边形 SKIPIF 1 < 0 是完美筝形时，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标．
(1)首先把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；
(3)方法一：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的另一支于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，建立方程组，即可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得k=4，
故反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故点A的坐标为(1,4)，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，
得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，
故此时点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上，BC的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的另一支于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
则点 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （在直线 SKIPIF 1 < 0 上，舍去）
SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线BD的解析式；
(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时C″的坐标．
2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝ SKIPIF 1 < 0 S△ABC，求点D的坐标．
3．（2022·江苏南通·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称点M，N互为正等距点， SKIPIF 1 < 0 叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0.例如，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)判断反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上是否存在点A的正等距点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求k的值；
(3)若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1，请直接写出a的取值范围．
4．（2022·江苏盐城·校联考一模）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着原点O顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（1，2）．
(1)点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 ；
(2)若点P′的运动轨迹经过点P2′（1，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
(3)如图2，设α＝45°，点P是反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 （x>0且k>0）的图象上的动点，当动点P′运动到直线y= SKIPIF 1 < 0 上时，恰好有OP′= SKIPIF 1 < 0 ，求出k的值.
【灵活运用】
(4)如图3，设α＝90°，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是二次函数图象上的动点，过P′作直线AC的垂线段P′H，试探究P′H是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
5．（2021·浙江金华·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 图象的顶点为C，其中 SKIPIF 1 < 0 ，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过原点，求a的值．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求m的取值范围．
6．（2021·河北·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线于点N．设线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．
7．（2020·山东泰安·统考一模）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；
(2)如图2，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 (k＜0)上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；
(3)如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为(3，1)，AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．
8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）如果三角形的两个内角 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
(1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形（ ）；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形（ ）；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形（ ）；
(2)如图1，点A在双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点D为y轴负半轴上一点，若∠OAB=90°．
①求k的值并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（ SKIPIF 1 < 0 ，0），记BE=t，过A，E作抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ= SKIPIF 1 < 0 ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的解析式．