2022-2023学年江苏省连云港市海州高级高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市海州高级高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.z1，z2互为共轭复数，z1=1−i，则z1⋅z2=( )
A. −2B. 2C. 2−iD. 2+i
2.△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a2+b2−c2=ab，则角C的大小为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
3.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(csθ,−2)，若a//b，则tanθ=( )
A. −12B. −2C. 2D. 12
4.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2 3，则角B的值为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
5.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=( )
A. 34AB+14ADB. 14AB+34ADC. 12AB+ADD. 34AB+12AD
6.已知sinα−csα=43，则sin2α=( )
A. −79B. −29C. 29D. 79
7.设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为π3时，a在e方向上的投影向量为( )
A. − 32eB. −12eC. 12eD. 32e
8.已知函数f(x)=asinx+bcsx(ab≠0)的图象关于x=π4对称，且f(x0)=3 25a，则sin2x0的值是( )
A. −725B. −2425C. 725D. 2425
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A. AB=3ACB. DA=−2CDC. AC+BD=0D. BC=AD
10.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是 3km，那么x的值可能为( )
A. 3B. 2 3C. 6D. 3
11.计算下列各式，结果为 3的是( )
A. 2sin15°+ 2cs15°B. cs215°−sin15°cs75°
C. tan30°1−tan230∘D. 1+tan15°1−tan15∘
12.如图，△ABC中，BD=13BC，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，BF=12BE，则下列说法正确的是( )
A. AD=23AB+13AC
B. |AE|=23|EC|
C. AF+2BF+CF=0
D. S△BFD：S△AFB=1：3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在复平面内，复数z满足z(1+i)=2，则复数z对应的点位于第______象限．
14.若sin(α−π6)=−45，则cs(α+π3)=______．
15.已知e1，e2的两个单位向量，且|e1+e2|= 3，则|e1−e2|=______．
16.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2A，则2c+ba的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
若复数z=(m2+m−6)+(m2−m−2)i，当实数m为何值时：
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
18.(本小题12分)
已知向量m=( 22,− 22)，n=(sinx,csx)，x∈(0,π2)．
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若向量m⋅n=12，求x的值．
19.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，sin2C= 3sinC．
(1)求∠C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
20.(本小题12分)
已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a,OB=b．
(1)用a,b表示向量OC,DC；
(2)若向量OC与OA+kDC共线，求k的值．
21.(本小题12分)
如右下图所示，某人为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个观测点C与D，在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向．
(1)求点D到塔底B的距离BD；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔AB的高．
(注：结果保留根号)
22.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinA−sinB)sinC=3c−2ba+b．
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为163 2；
①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z1，z2互为共轭复数，z1=1−i，
∴z1⋅z2=(1−i)(1+i)=2．
故选：B．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
而C∈(0,π)，
∴C=π3．
故选B．
3.【答案】A
【解析】解：∵a/​/b，∴−2sinθ=csθ，显然csθ≠0，
∴tanθ=−12．
故选：A．
根据向量共线得−2sinθ=csθ，则tanθ=−12．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为在△ABC中，A=60°，AC=b=4，BC=a=2 3，
所以由正定理得：asinA=bsinB⇒sinB=bsinAa=4× 322 3=1，
由于B∈(0,π)，
所以B=π2．
故选：A．
根据正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：AF=12(AC+AE)，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：AF=12(AC+AE)，
又AC=AB+AD，AE=12AB，
所以AF=12(AB+AD+12AB)=34AB+12AD．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式，属于基础题．
由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．
【解答】
解：∵sinα−csα=43，
∴(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=1−sin2α=169，
∴sin2α=−79，
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：由a，e均为单位向量，且a，e的夹角为π3，
则a⋅e=1×1×12=12，
则a在e方向上的投影向量为a⋅e|e|e|e|=12e，
故选：C．
由平面向量数量积运算，结合投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影的运算，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+θ)，其中，csθ=a a2+b2，sinθ=b a2+b2，
由于它的的图象关于x=π4对称，
∴|f(π4)|= a2+b2= 22|a+b|，化简可得a=b，
∴csθ= 22，sinθ= 22，
∴θ=π4，故f(x)= 2asin(x+π4)，
再根据f(x0)=3 25a，可得 2asin(x0+π4)=3 2a5⇒sin(x0+π4)=35，
则cs(2x0+π2)=1−2sin2(x0+π4)=725，故−sin2x0=725⇒sin2x0=−725．
故选：A．
根据辅助角公式以及三角函数的性质可得f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+θ)，根据对称a=b，可得将诱导公式与二倍角公式相结合即可得结果．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
由已知结合向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：由题意得AB=3AC，则AB=3AC，A正确；
DA=2DC，则DA=2DC=−2CD，B正确；
AC+BD=0，C错误；
BC=DA，D错误．
故选AB．
10.【答案】AB
【解析】解：根据题意，作出图象，如下图所示，
由题意得AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°，
由余弦定理得cs30°=x2+9−32×3x= 32，
解得x= 3或2 3．
故选：AB．
根据题意，作出图象，结合余弦定理，即可得答案．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A， 2sin15°+ 2cs15°=2sin(15°+45°)= 3，A正确；
对于B，cs215°−sin15°cs75°=12(1+cs30°)−12sin30°=1− 34，B错误；
对于C，原式=12×2tan30°1−tan230∘=12tan60°= 32，C错误；
对于D，原式=tan(45°+15°)=tan60°= 3，正确．
故选：AD．
对于A，利用辅助角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于B，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于C，利用二倍角的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断；
对于D，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解判断．
本题主要考查了二倍角公式及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为BD=13BC，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，即A正确；
对于B：设AE=λAC，AF=μAD，
由选项A知，AD=23AB+13AC，
所以AF=μAD=2μ3AB+μ3AC=2μ3AB+μ3λAE，
因为BF=12BE，即点F是BE的中点，
所以AF=12AB+12AE，
所以2μ3=12μ3λ=12，解得λ=12，μ=34，
所以AE=12AC，AF=34AD，
所以|AE|=|EC|，即B错误；
对于C：AF=μAD=2μ3AB+μ3AC=12AB+14AC，
BF=AF−AB=12AB+14AC−AB=−12AB+14AC，
CF=AF−AC=12AB+14AC−AC=12AB−34AC，
所以AF+2BF+CF=12AB+14AC+2(14AC−12AB)+12AB−34AC=0，即C正确；
对于D：由上可知，AF=34AD，
所以S△BFD：S△AFB=|FD|：|AF|=1：3，即D正确．
故选：ACD．
选项A，由已知可得BD：DC=1：2，进而得AD=23AB+13AC；选项B，设AE=λAC，AF=μAD，以AB,AE为基底表示AF，可构造关于λ和μ的方程组，解之，即可作出判断；选项C，根据向量的线性运算法则即可判断；选项D，根据AF=34AD，利用三角形面积比即可判断．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】四
【解析】解：由z(1+i)=2，得z=21+i=1−i，
所以复数z对应的点为(1,−1)，该点位于第四象限．
故答案为：四．
根据复数的除法运算化简，再由复数的几何意义，即可得解．
本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】45
【解析】解：∵sin(α−π6)=−45，
∴cs(α+π3)=cs[(α−π6)+π2]=−sin(α−π6)=45．
故答案为：45．
把所求式子中的角度变为α+π3=(α−π6)+π2，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：e1，e2的两个单位向量，且|e1+e2|= 3，
可得e12+2e1⋅e2+e22=3，所以2e1⋅e2=1，
可得|e1−e2|= e12−2e1⋅e2+e22= 2−1=1．
故答案为：1．
利用向量的模求解向量的数量积，然后转化求解|e1−e2|即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
16.【答案】(2 2+1,2 3+2)
【解析】解：因为C=2A，
则sinC=sin2A=2sinAcsA，csC=cs2A=2cs2A−1，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
故由正弦定理可得：2c+ba=sinB+2sinCsinA
=sinAcsC+csAsinC+4sinAcsAsinA
=4csA+csC+csAsinCsinA
=4csA+2cs2A−1+2cs2A
=4cs2A+4csA−1，
又△ABC为锐角三角形，
故可得A∈(0,π2),C=2A∈(0,π2),B=π−3A∈(0,π2)，
解得A∈(π6,π4)，
则csA∈( 22, 32)，
由于y=4cs2A+4csA−1=4(csA+12)2−2，在csA∈( 22, 32)上单调递增，
当csA= 22,y=1+2 2，当csA= 32,y=2+2 3，
故4cs2A+4csA−1∈(2 2+1,2 3+2)，即b+2ca∈(2 2+1,2 3+2)．
故答案为：(2 2+1,2 3+2)．
根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角A的函数关系，再求A的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及余弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为z=(m2+m−6)+(m2−m−2)i，z是实数，
则m2−m−2=0，解得m=−1或m=2；
(2)若z对应的点在第二象限，
则m2+m−60，解得−30，解得c=2 3，
所以△ABC的周长为a+b+c=6 3+6．
【解析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得csC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；
(2)利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC的周长．
本题考查了三角恒等变形及解三角形，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵BA=AC，
∴A为BC的中点，
∴OA=12(OB+OC)，
可得OC=2OA−OB=2a−b，
而DC=OC−OD=OC−23OB=2a−53b．
(2)由(1)，得OA+kDC=(2k+1)a−53kb，
∵OC与OA+kDC共线，
设OC=λ(OA+kDC)，
即2a−b=λ(2k+1)a−53λkb，
根据平面向量基本定理，得2=λ(2k+1)−1=−53λk，
解得k=34．
【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
(1)由A是BC中点，得OA=12(OB+OC)，从而算出OC=2a−b，再由向量减法法则即可得到DC=2a−53b；
(2)根据(1)的结论，可得OA+kDC关于向量a,b的表示式，而OC=2a−b，结合向量共线建立方程组，解之即可得到实数k的值．
21.【答案】解：(1)由题意可得CD=10，∠BCD=45°，∠CDB=105°，可得∠CBD=180°−45°−105°=30°，
由正弦定理可得：CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，即1012=BD 22，
可得BD=10 2；
(2)由(1)可得sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cs45°+cs60°sin45°= 32× 22+12× 22= 6+ 24，
BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，即BC 6+ 24=1012，可得BC=5( 6+ 2)，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
所以AB=BCtan∠ACB=5( 6+ 2)× 3=15 2+5 6．
即铁塔AB的高为15 2+5 6．
【解析】(1)由题意可得CD，∠BCD，∠CDB的值，进而求出∠CBD的大小，由正弦定理可得BD的值；
(2)由(1)及正弦定理可得BC的值，在直角三角形中，由∠ACB的正切值可得AB的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由正弦定理得3(a−b)c=3c−2ba+b，即c2+b2−a2=23bc，
由余弦定理有csA=c2+b2−a22bc=23bc2bc=13，又A∈(0,π)，
所以sinA= 1−cs2A= 1−19=2 23；
(2)①由(1)知sinA=2 23，又△ABC的面积为163 2，
则12bcsinA=163 2，解得bc=16，
也AE=12(AB+AC)，
则AE2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(c2+b2+2bccsA)=14(c2+b2+23bc)
≥14(2bc+23bc)=14×83bc=323，
当且仅当b=c时，等号取得到，
所以|AE|2≥323⇒|AE|≥4 63；
②由题sin∠BAD=sin∠CAD=12A，S△ADB+S△ADC=S△ABC，
所以12|AD|csinA2+12|AD|bsinA2=12bcsinA=bcsinA2csA2，
因为A∈(0,π)，所以sinA2≠0，
所以|AD|(c+b)=2bccsA2，
又csA=2cs2A2−1=13⇒cs2A2=23⇒csA2= 63，bc=16，
故|AD|(c+b)=2bccsA2=2×16× 63=32 63，
由基本不等式b+c≥2 bc=8，当且仅当b=c=4时，等号取得到，
故32 63=|AD|(c+b)≥2 bc|AD|=8|AD|，
故|AD|≤4 63，所以|AD|max=4 63．
【解析】(1)由正弦定理和余弦定理得到csA=13，进而求出sinA；
(2)由面积公式求出bc=16，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值．
本题考查了向量运算和正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．