2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数3+i2−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.sin71°cs26°−cs71°sin26°的值为( )
A. 12B. 1C. − 22D. 22
3.已知向量a=(6,3)，b=(2,x)，若a/​/b，则a−b=( )
A. (8,−1)B. (−4,2)C. (8,4)D. (4,2)
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若C=30°，b= 6，B=45°，则c的值为( )
A. 3B. 2C. 2D. 32
5.一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如图所示是此正方体的两种不同放置，则与E面相对的面上的字母是( )
A. AB. DC. D或AD. D或F
6.如图所示，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′=A′B′=2 2，则△OAB的面积为( )
A. 8 2
B. 8
C. 4 2
D. 4
7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 3π4
8.△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2(B+C2)>b+cc，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 直角或钝角三角形D. 锐角三角形
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z满足2−i1+2i⋅z−i=2，则下列说法正确的是( )
A. z的实部为1B. z的虚部为2C. z−=−1+2iD. |z|= 5
10.下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是( )
A. e1=(1,2)，e2=(−2,4)B. e1=(1,2)，e2=(2,4)
C. e1=(0,1)，e2=(−2,0)D. e1=(3,1)，e2=(5,53)
11.设函数f(x)=2 3cs2x+sin2x− 3，则下列结论错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=π6对称
C. f(x)的一个零点为x=−π6D. f(x)的最大值为 3+1
12.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有( )
A. AB⋅AC=3B. b2+c2=10
C. 35≤csA<1D. ∠BAD的最大值为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知(x+y−3)+(x−2)i=0(x,y∈R)，则x−y=______．
14.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为 2，正六棱柱的高为2，则此组合体的体积为______．
15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2π3,a=7,b=3，则S△ABC= ______．
16.在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD=6，∠ABC=60°，P为BC的中点，点Q是边AB上一个动点，则PQ⋅(PA+PD)的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=a−i(i为虚数单位，a∈R)，且z(1+i)是纯虚数．
(1)求复数z；
(2)在复平面内，若复数(z−mi)2(m∈R)对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知平面向量a，b的夹角为150°，且|a|= 3，|b|=4．
(1)求a在b上的投影向量；
(2)若a+b与a−kb垂直，求实数k的值．
19.(本小题12分)
已知向量a=(csx,csx)，b=( 3sinx,−csx)，函数f(x)=a⋅b+1．
(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间；
(2)当f(α)=−310，且−π6<α<π3时，求sin(4α−π3)的值．
20.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD中，BM=2MC．
(1)若AN=3NB，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；
(2)若∠DAB=60°,AB⋅AD=1，求|AM|的最小值，以及此时|AD|的值．
21.(本小题12分)
已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcsC+ 3bsinC−a−c=0．
(1)求B；
(2)若b=2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6−1+5i5=1+i对应的点(1,1)位于第一象限．
故选：A．
利用共轭复数的性质、复数的四则运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了共轭复数的性质、复数的四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：sin71°cs26°−cs71°sin26°=sin(71°−26°)=sin45°= 22，
故选：D．
逆用两角差的正弦公式即可求得答案．
本题考查两角差的正弦，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为a=(6,3)，b=(2,x)且a/​/b，所以6x=3×2，解得x=1，
所以b=(2,1)，从而a−b=(6,3)−(2,1)=(4,2)．
故选：D．
根据向量共线的坐标表示求出参数x的值，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据正弦定理csinC=bsinB，得csin30∘= 6sin45°，所以c= 3．
故选：A．
利用正弦定理可得csin30∘= 6sin45°，即求．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，
如图所示是此正方体的两种不同放置，
根据两个不同放置的图形，可知E的对面不是B，C，
若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时D面位置与第一种放置矛盾；
若E面与F面相对，则A面与C面相对，或C面与D面相对，
这时与第一种放置矛盾，
故与E面相对的是A面．
故选：A．
利用正方体的结构特征直接求解．
本题考查正方体的结构特征等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据斜二测画法还原平面图，如图，
因为O′A′=A′B′=2 2，∠A′O′B′=45°，所以∠A′B′O′=45°，则∠O′A′B′=90°，
则OB=O′B′= 2O′A′=4，OA=2O′A′=4 2，
所以S△OAB=12×4×4 2=8 2．
故选：A．
根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得．
本题主要考查平面图形的直观图，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，
所以|2a−b|2=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4a⋅b=2，
所以a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|= 22，
又〈a,b〉∈[0,π]，所以〈a,b〉=π4．
故选：B．
将|2a−b|= 2两边平方，根据向量数量积的运算律可求得a⋅b的值，再由向量的夹角公式，求解即可．
本题考查平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由2sin2(B+C2)>b+cc得1−cs(B+C)>sinB+sinCsinC，
即1+csA>sinB+sinCsinC，
因为C∈(0,π)，所以sinC>0，则sinC+csAsinC>sinB+sinC，
csAsinC>sinB，
csAsinC>sin(A+C)，
csAsinC>sinAcsC+csAsinC，
0>sinAcsC，
又A∈(0,π)，所以sinA>0，csC<0，所以角C为钝角，△ABC为钝角三角形．
故选：B．
利用二倍角公式、正弦定理和和差公式化简可得0>sinAcsC，然后根据角的范围判断三角形形状即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：∵2−i1+2i⋅z−i=2，
∴z=(2+i)(1+2i)2−i=5i2−i=5i(2+i)(2+i)(2−i)=−1+2i，
z的实部为−1，故A错误，
z的虚部为2，故B正确，
z−=−1−2i，故C错误，
|z|= (−1)2+22= 5，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，先对z化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为1×4−2×(−2)=8≠0，所以e1=(1,2)，e2=(−2,4)不共线，可以作为一组基底，故A错误；
对于B，因为1×4−2×2=0，所以e1=(1,2)，e2=(2,4)共线，不能作为一组基底，故B正确；
对于C，因为0×0−1×(−2)=2≠0，所以e1=(0,1)，e2=(−2,0)不共线，可以作为一组基底，故C错误；
对于D，因为3×53−1×5=0，所以e1=(3,1)，e2=(5,53)共线，不能作为一组基底，故D正确．
故选：BD．
根据坐标判断两向量是否共线即可得到答案．
本题考查平面向量基底的定义和平面共线的坐标表示，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)=2 3×1+cs2x2+sin2x− 3=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)．
对于A，f(x)的最小正周期为2π2=π，故A正确；
对于B，f(π6)=2sin(2×π6+π3)= 3，所以f(x)的图象不关于直线x=π6对称，故B错误；
对于C，f(−π6)=2sin(−2×π6+π3)=0，所以x=−π6是f(x)的一个零点，故C正确；
对于D，函数f(x)=2sin(2x+π3)，则f(x)的最大值为2，故D错误．
故选：BD．
根据辅助角公式化简函数，再结合三角函数图象相关知识逐一判断即可．
本题考查了二倍角的余弦公式，正弦函数性质的应用，函数最值的求解，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：∵△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，BC边上的中线AD=2，
对于A选项，AB⋅AC=(AD+DB)⋅(AD−DB)=AD2−DB2=4−1=3.A正确；
对于B选项，cs∠ADC=−cs∠ADB，
b2+c2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cs∠ADC+AD2+DB2−2AD⋅DB⋅cs∠ADB=2AD2+DB2+DC2=2×22+1+1=10，故B正确；
对于C选项，csA=b2+c2−42bc≥2bc−42bc=1−2bc(当且仅当b=c时，=成立)，
结合A选项知bccsA=3，
∴csA≥1−23csA=1−2csA3，解得csA≥35，故C正确；
对于D选项，cs∠BAD=c2+22−124c=c2+34c≥2 3c4c= 32(当且仅当c= 3时，“=“成立)，
∵∠BAD<∠ABD，∴∠BAD∈(0,π2)，
又cs∠BAD≥ 32，
∴∠BAD的最大值30°，D选项错误．
故选：ABC．
根据已知条件结合向量的数量积以及余弦定理，基本不等式的应用即可分别判断四个选项．
本题考查了利用余弦定理解三角形，平面向量数量积的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：∵x，y∈R，(x+y−3)+(x−2)i=0，
∴x+y−3=0x−2=0，解得x=2y=1．
故x−y=2−1=1．
故答案为：1．
根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
14.【答案】7 32
【解析】解：由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正六棱锥的侧棱长为 2，
所以正六棱锥的高为 2−1=1，所以底面正六边形的面积为6× 34×12=3 32，
此组合体的体积为3 32×2+13×3 32×1=7 32．
故答案为：7 32．
根据棱柱与棱锥的体积公式即可解出．
本题考查了棱柱与棱锥的体积公式，属于基础题．
15.【答案】15 34
【解析】解：∵A=2π3,a=7,b=3，
∴csA=b2+c2−a22bc=9+c2−496c=−12，解得c=5，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3×5× 32=15 34．
故答案为：15 34．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理，属于基础题．
16.【答案】−274
【解析】解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0,0),B(6,0),C(92,3 32),D(32,3 32),P(214,3 34)，
设Q(a,0)，a∈[0,6]，
可得PA=(−214,−3 34),PD=(−154,3 34),PQ=(a−214,−3 34)，则PA+PD=(−9,0)，
所以PQ⋅(PA+PD)=−9(a−214)≥−274，当且仅当a=6时，等号成立，可得PQ⋅(PA+PD)的最小值为−274．
故答案为：−274．
根据题意，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设Q(a,0)，a∈[0,6]，利用平面向量数量积的坐标运算法则，推导出PQ⋅(PA+PD)=−9(a−214)，进而算出本题答案．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、一次函数的值域与最值等知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵z=a−i(a∈R)，且z(1+i)是纯虚数，
∴(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i是纯虚数，
则a+1=0a−1≠0，即a=−1．
∴z=−1−i；
(2)(z−mi)2=[−1−(m+1)i]2=1−(m+1)2+2(m+1)i，
由题意可得1−(m+1)2<02(m+1)<0，解得m<−2．
∴实数m的取值范围是(−∞,−2)．
【解析】(1)把z=a−i(a∈R)代入z(1+i)，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a值，则z可求，再由复数模的计算公式求|z|；
(2)把z=a−i(a∈R)代入(z−mi)2(m∈R)，展开后由实部小于0且虚部小于0列不等式组求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18.【答案】解：(1)根据平面向量投影向量的定义得a在b上的投影向量为：|a|⋅cs⋅b|b|= 3×cs150°×b4=−38b；
(2)由题意得：a⋅b= 3×4×cs150°=−6，
因为a+b与a−kb垂直，所以(a+b)⋅(a−kb)=0，
所以|a|2−ka⋅b+a⋅b−k|b|2=0，
即( 3)2−k×(−6)+(−6)−k×42=0，解得k=−310．
【解析】(1)根据平面向量投影向量的定义求解；
(2)由两向量垂直建立方程求解．
本题考查平面向量投影向量的定义，向量垂直，方程思想，属基础题．
19.【答案】解：(1)∵a=(csx,csx)，b=( 3sinx,−csx)，
∴f(x)=a⋅b+1= 3sinxcsx−cs2x+1
= 32sin2x−12cs2x+12=sin(2x−π6)+12，
当2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，即x=kπ+π3,k∈Z时，f(x)取到最大值32；
当2x−π6=2kπ−π2,k∈Z，即x=kπ−π6,k∈Z时，f(x)取到最小值−12．
∴函数f(x)的值域是[−12,32]；
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z．
(2)∵f(α)=sin(2α−π6)+12=−310，∴sin(2α−π6)=−45，
由−π6<α<π3，得−π2<2α−π6<π2，
可得cs(2α−π6)= 1−sin2(2α−π6)=35，
∴sin(4α−π3)=sin[2(2α−π6)]=2sin(2α−π6)cs(2α−π6)=−2×45×35=−2425．
【解析】(1)根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得f(x)=sin(2x−π6)+12，进而结合三角函数性质运算求解；
(2)根据题意可得sin(2α−π6)=−45，结合倍角公式运算求解．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】(1)证明：DE=DA+AE=DA+12AM=DA+12(AB+23BC)=12AB−23AD，(2分)
DN=DA+AN=DA+34AB=34AB−AD，(3分)
所以DN=23DE，(5分)
所以D，E，N三点共线． (6分)
(2)解：AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23AD，(7分)
设|AD|=t(t>0)，
因为AB⋅AD=|AB|⋅|AD|×12=1，
所以|AB|=2|AD|=2t，(9分)
|AM|2=(AB+23AD)2=AB2+49AD2+43AB⋅AD=4t2+49t2+43|AM|2=4t2+49t2+43≥2 4t2⋅49t2+43=83+43=4，
所以|AM|≥2，(11分)
当4t2=49t2，即t= 3=|AD|时，|AM|取得最小值2. (12分)
【解析】(1)根据已知条件求得DN=23DE，即可得到结论，
(2)把所求向量进行转化，再利用基本不等式可解决此问题．
本题考查平面向量数量积性质及运算、基本不等式、向量的线性运算，考查数学运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由bcsC+ 3bsinC−a−c=0
可得：sinBcsC+ 3sinBsinC−sinA−sinC=0
⇒sinBcsC+ 3sinBsinC−sinBcsC−csBsinC−sinC=0
⇒ 3sinBsinC−csBsinC−sinC=0
⇒ 3sinB−csB=1,(sinC≠0)
⇒sin(B−π6)=12,B∈(0,π2)，
所以B=π3，
(2)因为B=π3,b=2，
利用正弦定理得：asinA=csinC=bsinB=2sinπ3=4 3，
所以a=4 3sinA,c=4 3sinC，
所以l=a+b+c=2+4 3(sinA+sinC)，
所以l=2+4 3[sinA+sin(A+π3)]=2+4sin(A+π6)，
因为△ABC是锐角三角形，所以0π2，
所以π6所以sin(A+π6)∈( 32,1],
所以2+2 3<2+4sin(A+π6)≤6，
所以三角形周长的范围为(2+2 3,6]．
【解析】(1)利用正弦定理化边为角，根据角的三角函数值再结合角的取值范围定出角的大小；
(2)利用正弦定理化边为角，将周长l表示为角A的函数，求其值域．
本题考查正弦定理及解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．