2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中不正确的是( )
A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
2.已知复数z在复平面上对应的点为(2,−1)，则( )
A. z的虚部为−iB. |z|=5C. z−=−2−iD. z−2是纯虚数
3.已知函数f(x)=2cs(ωx−π3)+1，(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是( )
A. (0,53]B. (23,53]C. [76,53)D. [53,+∞)
4.已知tanθ=−3，则sin2θ−cs2θ=( )
A. 1310B. 32C. 85D. 1710
5.若A(1,m)，B(m+1,3)，C(1−m,7)三点共线，则m=( )
A. −5B. 5C. 0或−5D. 0或5
6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A. 2+2 2B. 4+2 2C. 4+4 2D. 8+4 2
7.如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB=35，则cs∠DNC的值为( )
A. 24 3+750B. 24 3−750C. 7 3+2450D. 7 3−2450
8.已知向量a−b与向量b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. −12aB. 32bC. −12bD. 32a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(2π3)是f(x)的最小值
C. f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,32]
D. 把函数y=f(x)的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数y=3sin2x的图象
10.下列命题中正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11.已知z1，z2∈C，下列说法正确的是( )
A. |z1|∈RB. |z1+z2|=|z1|+|z2|
C. |z1z2|=|z1||z2|D. |z1|=|z1−|
12.已知向量a，b满足a⋅b=1，|b|=1，且|a+b|= 7，则( )
A. |a|=2B. a⊥(a−b)
C. a与b的夹角为π3D. a与b的夹角为π6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z=1+i2023(其中i是虚数单位)的虚部是 ．
14.如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是______．
15.下列四个命题中：①已知sin(π−α)+cs(α−2π)sinα+cs(π+α)=12，则tanα=−1；
②tan(−300)=−tan30°=− 33；
③若sinα=− 32，则cs2α=−12；
④在锐角△ABC中，已知sinA=725,csB=35，则sinC=119125.其中真命题的编号有______．
16.已知a=(sinα,csα)(α∈R)，b=( 3,3)，当α= ______时，向量a，b不能作为平面向量的一组基底．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，其中i为虚数单位，m∈R．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
设x，y∈R，向量a=(x,2)，b=(4,y)，c=(1,−2)，且a⊥c，b/​/c．
(1)求x，y的值；
(2)求|a+b|的值．
19.(本小题12分)
已知锐角α，β，满足csα=15，cs(α+β)=−1665，求sinβ．
20.(本小题12分)
欧拉(1707−1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=csθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ，解决以下问题：
(1)将复数eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式；
(2)求|eπ2i+eθi|(θ∈R)的最大值．
21.(本小题12分)
已知向量m=(csx,sin2x),n=(2csx,−1),f(x)=m⋅n．
(1)求函数f(x)的最小正周期和严格增区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2−b2=2 33acsinB．
(1)求角B的大小；
(2)若b= 3，且A∈(π6,π2)，求边长c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故A错误；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B正确；
用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：A．
由正四棱锥的概念判断A；由旋转体的结构特征判断BCD．
本题考查多面体与旋转体的结构特征，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：A：因为复数z在复平面上对应的点为(2,−1)，
则z=2−i，所以复数z的虚部为−1，故A错误；
B：|z|= 22+(−1)2= 5，故B错误；
C：z−=2+i，故C错误；
D：z−2=2−i−2=−i，为纯虚数，故D正确．
故选：D．
根据题意得z=2−i，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=2cs(ωx−π3)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴，
∴ωx−π3∈(−π3,2ωπ−π3)，∴2ωπ−π3≤3π，∴ω≤53．
故选：A．
由题意，根据余弦函数图象的对称轴，求得ω的取值范围．
本题主要考余弦函数图象的对称轴，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为tanθ=−3，
所以sin2θ−cs2θ=2sin2θ−cs2θ=2sin2θ−cs2θsin2θ+cs2θ
=2tan2θ−1tan2θ+1=2×(−3)2−1(−3)2+1=1710．
故选：D．
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为AB=(m,3−m),BC=(−2m,4)，
若A(1,m)，B(m+1,3)，C(1−m,7)三点共线，则AB//BC，
所以4m=−2m(3−m)，
解得m=0或5．
故选：D．
由题意可得AB//BC，再利用向量共线求解即可．
本题考查向量共线相关知识，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图：
则O′A′= 2+1+ 2=2 2+1，
则把直观图还原为平面图形如下图：
这个平面图形的面积为4×(1+2 2+1)2=4+4 2．
故选：C．
由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可．
本题考查的知识点是斜二测画法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：两个半圆的面积之比为3，则半径之比为 3，
即tan∠BAC= 33，∠BAC∈(0,π2)，
故∠BAC=π6，sin∠DAB=35，∠DAB∈(0,π2)，
故cs∠DAB= 1−sin2∠DAB=45，cs∠DAN=cs(∠DAB−π6)= 32cs∠DAB+12sin∠DAB=2 35+310，
所以cs∠DNC=cs2∠DAN=2cs2∠DAN−1=2(2 35+310)2−1=24 3+750．
故选：A．
根据面积比得到∠BAC=π6，确定cs∠DAB=45，cs∠DAN=2 35+310，再根据cs∠DNC=cs2∠DAN计算得到答案．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵(a−b)⋅b=1×1×12=12，∴a⋅b−b2=12，
则a⋅b=32，
故向量a在向量b上的投影向量为|a|cs〈a,b〉b|b|=|a|⋅a⋅b|a||b|⋅b|b|=32b．
故选：B．
由已知条件求出a⋅b，再由投影向量公式计算即可求出答案．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A项，由图象可知，34T=1112π−π6=34π，所以T=π，故A正确；
对于B项，因为T=π，所以ω=2ππ=2，所以f(x)=3sin(2x+φ)．
因为f(π6)=3sin(π3+φ)=3，所以π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，
所以φ=π6+2kπ,k∈Z．
取φ=π6，则f(x)=3sin(2x+π6)，
所以f(2π3)=3sin(2×2π3+π6)=−3是f(x)的最小值，故B正确；
对于C项，因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，
根据正弦函数的图象可知，
当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数有最小值为3sin7π6=−32；
当2x+π6=π2，即x=π6时，函数有最大值为3sinπ2=3，故C错误；
对于D项，把函数y=f(x)的图象上所有点向右平移π12个单位长度，得到的函数解析式为y=3sin[2(x−π12)+π6]=3sin2x，故D正确．
故选：ABD．
由图象可推出T=π；然后求出ω=2ππ=2，根据f(π6)=3，可推得φ=π6+2kπ,k∈Z.取φ=π6，则f(x)=3sin(2x+π6)，代入x=2π3，可得出B项；求出π6≤2x+π6≤7π6，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出D项．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；
由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；
一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°n<360°，即n<6，故C正确；
一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误．
故选：BC．
依据棱柱定义判断选项A、B；一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°n<360°可以判断C；根据正棱锥定义即可判断D．
本题主要考查棱柱的结构特征，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，|z1|≥0，
则|z1|∈R，故A正确；
对于B，z1=i，z2=−i，
则|z1+z2|≠|z1|+|z2|，故B错误；
对于C，设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i，
|z1⋅z2|= (ac−bd)2+(ad+bc)2= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，
|z1|= a2+b2，|z2|= c2+d2，
故|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|，故C正确；
对于D，设z1=x+yi(x,y∈R)，
则z1−=x−yi，
故|z1|=|z1−|= x2+y2，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合复数模公式，以及特殊值法，即可依次求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：∵a⋅b=1，|b|=1，且|a+b|= 7，
∴a2+2a⋅b+b2=7，即|a|2+2+1=7，即|a|=2，故A正确；
∵a⋅(a−b)=a2−a⋅b=3，∴a与a−b不垂直，故B错误；
cs=a⋅b|a||b|=12，且∈[0,π]，∴a与b的夹角为π3，故C正确，D错误．
故选：AC．
由已知求得|a|判断A；再由数量积是否为0判断B；由数量积求两个向量的夹角判断C与D．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：z=1+i2023=1+(i4)505⋅i3=1−i，
则z的虚部为−1．
故答案案为：−1．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】2 π2+1
【解析】解：沿母线AB把圆柱展开，可得它的侧面展开图为矩形，此矩形的边长分别为2π，2，
则蚂蚁爬行的最短距离等于此矩形的对角线长，等于 (2π)2+22=2 π2+1．
故答案为：2 π2+1．
根据题意可得，蚂蚁爬行的最短距离等于圆柱侧面展开图构成的矩形的对角线长，利用勾股定理，即可求出蚂蚁爬行的最短距离．
本题主要考查圆柱的侧面展开图的性质，属于基础题．
15.【答案】②③
【解析】解：对于①：因为sin(π−α)+cs(α−2π)sinα+cs(π+α)=12，所以sinα+csαsinα−csα=12，所以sinαcsα+1sinαcsα−1=12，即tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，故①不正确；
对于②：由诱导公式知tan(−30°)=−tan30°=−33，故②正确；
对于③：因为sinα=− 32，所以由二倍角的余弦公式有：cs2α=1−2sin2α=1−2×(− 32)2=−12，故③正确；
对于④：因为在锐角△ABC中，sinA=725,csB=35，所以0所以csA= 1−sin2A=2425,sinB= 1−sin2B=45，
所以sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=725×35+2425×45=117125，故④不正确．
故答案为：②③．
利用诱导公式和三角恒等变换知识逐一判定各命题的真假即可．
本题考查诱导公式和三角恒等变换，属于中档题．
16.【答案】kπ+π6(k∈Z)
【解析】解：要使向量a，b不能作为平面向量的一组基底，则向量a，b共线，
∵a=(sinα,csα)(α∈R)，b=( 3,3)
∴3sinα− 3csα=0，
∴tanα= 33，
∴α=kπ+π6(k∈Z)，
即当α=kπ+π6(k∈Z)时，向量a，b不能作为平面向量的一组基底．
故答案为：α=kπ+π6(k∈Z)．
利用向量共线即可求出结果．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若z是纯虚数，
则2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−12；
(2)z在复平面内对应的点在第二象限，
则2m2−3m−2<0m2−3m+2>0，解得−12故m的取值范围为(−12,1)．
【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解 (1)由a⊥c得a⋅c=0
即x⋅1+2⋅(−2)=0，所以x=4. …(2分)
由b/​/c得4×(−2)−y×1=0，
所以y=−8. …(4分)
(2)因为a=(4,2)，b=(4,−8)，
所以a+b=(8,−6)，…(6分)
所以|a+b|=10. …(8分)
【解析】(1)由a⊥c得a⋅c=0，利用向量的数量积的坐标表示可求x；由b/​/c结合向量平行的坐标表示可求y
(2)由a=(4,2)，b=(4,−8)，可求a+b，进而可求|a+b|
本题主要考查了向量的基本运算的坐标表示，向量的数量积的性质的坐标表示，属于基础试题
19.【答案】解：0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+β<π，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=6365，sinα= 1−cs2α=2 65，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]
=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
=6365×15−(−1665)×2 65=63+32 6325．
【解析】利用同角三角函数平方关系可求得sin(α+β)和sinα，由sinβ=sin[(α+β)−α]，利用两角和差正弦公式可求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵eiθ=csθ+isinθ，
∴eπ3i+eπi=csπ3+isinπ3+csπ+isinπ=12+ 32i−1=−12+ 32i；
(2)∵eπ2i+eθi=csπ2+isinπ2+csθ+isinθ=csθ+(sinθ+1)i，
∴|eπ2i+eθi|= cs2θ+(sinθ+1)2= 2+2sinθ≤ 2+2=2．
即|eπ2i+eθi|(θ∈R)的最大值为2．
【解析】(1)由已知结合复数代数形式的加减运算得答案；
(2)由已知结合复数模的定义求解．
本题考查复数的指数形式，考查复数代数形式的加减运算及复数模的求法，是基础题．
21.【答案】解：(1)已知向量m=(csx,sin2x)，n=(2csx,−1)，
所以f(x)=m⋅n=2cs2x−sin2x=1+cs2x−sin2x= 2cs(2x+π4)+1．
故函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π；
由2kπ−π≤2x+π4≤2kπ，解得：kπ−5π8≤x≤kπ−π8，k∈Z，
故函数f(x)的严格增区间为[kπ−5π8,kπ−π8](k∈Z)．
(2)由于x∈[−π8,π2]，得2x+π4∈[0,5π4]．
故当2x+π4=0，即x=−π8时，f(x)取得最大值，最大值为 2+1；
当2x+π4=π，即x=3π8时，f(x)取得最小值，最小值为− 2+1．
【解析】(1)首先根据平面向量数量积运算公式求出f(x)的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间．
(2)直接根据三角函数的图像及其性质求解[−π8,π2]上的最大值与最小值即可．
本题考查了平面向量数量积运算公式，三角函数的图像和性质，是中档题．
22.【答案】解：(1)在△ABC中，根据余弦定理a2+c2−b2=2accsB，且a2+c2−b2=2 33acsinB，
∴2accsB=2 33acsinB，
∴tanB= 3，
又∵0∴B=π3；
(2)∵A+B+C=π，
∴C=π−A−B=2π3−A，
由正弦定理，得csinC=bsinB= 3sinπ3=2，
∴c=2sinC=2sin(2π3−A)，
∵π6∴π6<2π3−A<π2．
∴12∴c∈(1,2)．
【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．
(1)利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出tanB的值，根据B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；
(2)由三角形内角和定理列出关系式，将B度数代入表示出C，根据b与sinB的值，利用正弦定理表示出c，根据A的范围利用正弦函数值域即可确定出c的范围．