中考数学二轮专题复习课件 专题四　最值问题

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一、“两点一线”型　　条件：如图，定点A，B和定直线l．（定点A，B在直线l的异侧）求：在直线l上求作点P，使PA+PB最小．作法：连接AB，与直线l交于点P，点P即为所求．原理：“两点之间，线段最短”．
题型1利用对称性解决最值问题
【例 1】（2023·广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 　 　． 
二、“一点两线”型　　条件：如图，点P是∠MON内的一定点．求：在OM上找一点A，在ON上找一点B，使得△PAB的周长取得最小值．作法：作点P关于直线OM的对称点P1，作点P关于直线ON的对称点P2，连接P1P2，与OM交于点A，与ON交于点B，连接PA，PB，则PA+AB+PB=P1A+AB+P2B≥P1P2，取等号时△PAB的周长取得最小值，最小值为P1P2的长度．原理：轴对称的性质；“两点之间，线段最短”．
【例 2】已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　 　．  
三、“两点两线”型　　条件：如图，P，Q是∠MON内的两个定点．求：在OM上找一点A，在ON上找一点B，使得四边形PABQ的周长取得最小值．作法：作点P关于直线OM的对称点P1，作点Q关于直线ON的对称点Q1，连接P1Q1，与OM交于点A，与ON交于点B，连接PA，QB，AB，则PA+AB+QB+PQ=P1A+AB+Q1B+PQ≥P1Q1+PQ，取等号时四边形PABQ的周长取得最小值，最小值为P1Q1+PQ．原理：轴对称的性质；“两点之间，线段最短”．
【例 3】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，AE=4，AF=2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为　 　． 
四、“造桥选址问题”条件：如图，已知定点A，B，直线l1∥l2，l1，l2之间的距离为d．求：在 l1，l2上分别找点C，D，使得CD⊥l1，且AC+CD+DB最小．作法：将点A向下平移d个单位长度到点A'，连接A'B，交直线l2于点D，过点D作CD⊥l1于点C，连接AC，此时AC+CD+DB取得最小值，最小值为A'B+d，点C，D即为所求．原理：平移的性质；“两点之间，线段最短”．
【例 4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，点E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为　 　． 
　　通常利用二次函数的性质解决几何最值问题的这类题目，题目不会直接给出二次函数，而是需要根据题目条件，利用勾股定理、全等、相似等建立线段与线段、线段与面积或线段与周长等之间的函数关系，再利用二次函数的性质求解．
题型2利用二次函数的性质解决最值问题
【例 5】（2023·广东广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点M是边AC上一动点，D，E分别是AB，MB的中点，当AM=2.4时，DE的长是　 　．若点N在BC边上，且CN=AM，F，G分别是MN，AN的中点，当AM>2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是　 　． 
【例 6】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=6．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角三角形CDE，且∠DCE=90°，连接AE，则DE2的最小值为　 　 ，△ADE面积的最大值为  　． 
【例 7】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，求△CEF面积的最大值．
解：在BA上截取BM=BE，连接ME．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，BA=BC．∴△BEM为等腰直角三角形．∴∠BME=45°．∴∠AME=135°．∵BA－BM=BC－BE，∴AM=CE．∵CF为正方形的外角平分线，∴∠DCF=45°．∴∠ECF=135°=∠AME．∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）．
【例 8】如图，等边三角形ABC的边长为20，动点Р从点B出发沿BC运动到点C，连接AP，作∠APD=60°，PD交AC于点D，线段CD的最大值为　 　． 
一、定点定长型模型特征：如果平面内一个动点到一个定点的距离为定值，那么这个动点所在的轨迹就是圆．如图，若动点A到定点O的距离为定值，则点A在以O为圆心，OA为半径的圆上．　　依据：在同一平面内，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
题型3利用辅助圆解决最值问题
【例 9】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P是直线AB上的一个动点，AE=2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF，EF，则FC的最小值是　 　，点F到线段BC的最短距离是　 　． 
二、定弦对定角型（90°角）模型特征：存在一条定长的线段所对的角是90°．如图，在△ABC中，若AB的长度是定值，且∠C=90°，则点C在以AB为直径的圆上．　　依据：90°的圆周角所对的弦是直径．
【例 10】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，P是AB左侧一动点，且AP⊥BP，则线段CP长度的最大值是　 　． 
【例 11】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND=∠AMC．（1）∠AEB= 　； （2）连接CE，则CE的最小值为　 　．
【例 12】（2021·广东）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为  　．