2024届安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无数．
3．考试后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
5. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A. 11B. 15C. 19D. 21
6 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（ ）
A. 数据，，，，的方差为
B. 数据，，，，平均数大于0
C. 数据的方差大于
D. 数据的平均数大于
10. 如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在单调递减D. 为奇函数
11. 在棱长为1的正方体中，以A，为焦点的椭圆，绕着轴旋转180°得到的旋转体称为椭球，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球的长轴长为2，则下列结论中正确的是（ ）
A. 椭球的表面与正方体的六个面都有交线
B. 在正方体的所有棱中，只有六条棱与椭球的表面相交
C. 若椭球的表面与正方体的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点
D. 椭球的表面与正方体的一个面的交线是椭圆的一段
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数是______．
13. 已知数列满足，若，则前20项和______．
14. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N．若，则点A的横坐标为______．
四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
16. 2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．
（1）求点H到平面ABCD的距离；
（2）求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．
17. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
（1）求E的方程；
（2）若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
18. 某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.
（1）求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式；
（ⅱ）若，求n的最小值．
19. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求解析式；
（2）证明：，．
参考数据：．