四川省德阳外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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出题人：高一数学组 考试时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义求解即可.
【详解】依题意，.
故选：D
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.
【详解】先证：
因为，所以，，故，即，故；
再证：
因为，所以，即，故；
综上：“”是“”的充分必要条件.
故选：C
4. 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据终边相同的角判断即可.
【详解】且角是第二象限角，
角的终边在第二象限.
故选：B
5. 设函数的零点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解.
【详解】由题意函数与函数均单调递增，所以函数也单调递增，且，
所以由零点存在定理可知函数的零点.
故选：B.
6. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
7. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据时的函数值确定出正确选项.
【详解】因为，且定义域为关于原点对称，
所以函数为偶函数，所以排除C，D；
又因为当时，，所以排除A.
故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8. 函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数是定义在上的增函数，
则由，得，
解得，即，
故选：D
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 单位向量的模都相等
B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.
故选：AD.
10. （多选题）下列诱导公式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解.
【详解】对于A，，故A项错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
11. 要得到的图象，可以（ ）
A. 将曲线上所有的点向右平移个单位长度
B. 将曲线上所有的点向右平移个单位长度
C. 将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，即可得出结论．
【详解】要得到的图象，可以将曲线上所有的点向右平移个单位长度，故选项A错误，选项B正确，
又的图象也可将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，
所以选项C错误，选项D正确，
故选：BD.
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 关于点中心对称
C. 最大值为D. 在区间上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】，
所以函数的最小正周期，故A正确；
由于，故函数图象关于点中心对称，故B正确；
由，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：ABC
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案.
【详解】设圆心角为，则，解得.
故答案为：
14. 函数的最小正周期是________．
【答案】
【解析】
【分析】由正切函数周期的定义直接计算即可.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
15. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有______个.

【答案】3
【解析】
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
16. 若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简解析式，根据三角函数对称轴和对称中心的知识和定义域列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由题意，得，
令，解得，
令，得；
令，解得，
令，得.
根据题意，得,解得.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；
（2）按照向量的运算法则依次计算即可.
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
原式
18. 已知向量与满足，，与的夹角为．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据数量积的计算公式，结合已知条件，计算即可；
（2）根据模长计算公式，结合（1）中所求数量积，计算即可.
【小问1详解】
设与的夹角为，
则；
【小问2详解】
.
19. 已知角的终边经过，
（1）求的值；
（2）求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求解；
（2）分子分母同时除以求解.
【小问1详解】
解：因为角的终边经过，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以
20. 已知角是第二象限角，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由平方关系以及两角和的正弦公式即可得解.
（2）由切弦互换以及正切的二倍角公式即可得解.
【小问1详解】
因为角是第二象限角，，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
.
21. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最小值；最大值1
【解析】
【分析】（1）根据题意结合五点法求函数解析式；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【小问1详解】
由图可知：，且，
因，所以.
又因为，即，
则，即.
且，可知，所以.
【小问2详解】
由的图象向右平移个单位长度后得，
因为，令，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1.
22. 对于函数，称为函数的“特征数对”，同时称为的“特征函数”，记的特征函数为；
（1）求函数的特征数对；
（2）若的图象向左平移个单位长度，得到的图象，解关于的不等式
【答案】（1）；（2），；
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式将函数化简，根据题意即可求出函数的特征数对．
（2）依题意表示出、，利用辅助角公式将函数化简即可求出，则不等式等价于，用两角和的余弦公式及三角函数的性质解答．
【详解】（1）
依题意，的“特征数对”为
（2）依题意，函数为
函数为
其中
依题意，，
即
解得，
即不等式的解集为：，
【点睛】本题考查三角恒等变换，三角不等式的求解，属于中档题．