高考数学一轮复习 考点热身训练 5.2数列综合应用

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 5.2数列综合应用，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn=( )
()(B)
(C)(D)
2．数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，则{an＋bn}的前20项和为( )
()700(B)710(C)720(D)730
3.(易错题)已知数列{an}的通项公式(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn,则使Sn＜-5成立的自然数n( )
（）有最大值63（B）有最小值63
（C）有最大值31（D）有最小值31
4.已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
（）35（B）33（C）31（D）29
5.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1>b1，a1、b1∈N*(n∈N*)，则数列的前10项的和等于( )
（）65（B）75（C）85（D）95
6.已知数列{an}为等差数列，若＜-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为( )
()11(B)19(C)20(D)21
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.设若则n的值为________.
8.设Sn是数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数，则称数列｛an｝为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列{bn}________（填“是”或“不是”）“和等比数列”.
9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（预测题）已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，求数列的前n项和Tn.
11.（预测题）设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列，且公差为d,若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1=4,d=2，求证：该数列是“封闭数列”.
（2）若an=2n-7(n∈N*),试判断数列{an}是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设Sn是数列{an}的前n项和，若公差d=1,a1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由.
【探究创新】
（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案解析
1.【解析】选D.∵数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,
∴.
2．【解题指南】根据等差数列的性质可知，｛｝仍然是等差数列，所以利用等差数列的求和公式求解即可.
【解析】选C.由题意知{}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：
3．【解析】选B.
=
∴∴n+2＞26,∴n＞62.
又n∈N*，∴n有最小值63.
4.【解析】选C.由a2·a3=a1·a4=2a1得a4=2,
又a4+2a7=,∴a7=,
设等比数列{an}的公比为q，则a7=,
∴,∴q=,a1=16,
∴.
5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得
an=a1+n-1,bn=b1+n-1,
∴
,
∴数列也是等差数列，且前10项和为.
【方法技巧】构造等差数列求解
在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.
（1）由递推公式构造等差数列
一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+3·2n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{}.
（2）由前n项和Sn构造等差数列.
（3）由并项、拆项构造等差数列.
6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn＜0的n的最小值.
【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由得.
∵
由Sn=0得n=0或
∵
∴Sn＜0的解集为{n∈N*|}
故使得Sn＜0的n的最小值为20.
方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,
由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.
7.【解析】,
∴
解得n=6.
答案：6
8.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.
【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以
设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列{bn}是“和等比数列”.
答案：是
9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,…,a10,
则
则
即an=2an-1,
因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以
答案：2 046
10.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
则
解得∴an=2n+3.
(2)由bn+1-bn=an,
∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*)，
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2)
当n=1时，b1=3也适合上式,
∴bn=n(n+2)(n∈N*).
∴
.
11.【解析】(1)an=4+(n-1)·2=2n+2,
对任意的m,n∈N*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,
∵m+n+1∈N*于是，令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}.
(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-,所以数列{an}不是封闭数列.
（3）由{an}是“封闭数列”，得：对任意m,n∈N*，必存在p∈N*使a1+(n-1)+a1+(m-1)
=a1+(p-1)成立，于是有a1=p-m-n+1为整数，
又∵a1＞0,∴a1是正整数.
若a1=1,则所以不符合题意，
若a1=2,则所以
=而
所以符合题意，
若a1=3,则所以
=
综上所述，a1=2时存在数列{an}是“封闭数列”，此时an=n+1(n∈N*).
【探究创新】
【解题指南】(1)将点Pn代入函数f(x)后，利用Sn与an的关系，求得an;
(2)先求f(x)在点Pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出Tn.
【解析】
(1)∵点Pn(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n(n∈N*)
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1,
当n=1时，a1=S1=3满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)由f(x)=x2+2x,求导得f′(x)=2x+2.
∵在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn,
∴kn=2n+2,
∴bn=
∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,
用错位相减法可求得
【变式备选】已知等差数列{an}满足：an+1＞an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.
(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn.
(2)设(n∈N*),若＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.
【解析】(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比.
由题意知，a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列{bn}的前三项,
∴(2+d)2=2(4+2d)⇒d=±2.
∵an+1＞an,∴d＞0.
∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*).
由此可得b1=2,b2=4,q=2,[
∴bn=2n(n∈N*).
(2)Tn= ①
当n=1时，当n≥2时， ②
①-②，得.
∴
∴
∵(3-)∈［2,3)，
∴满足条件(c∈Z)恒成立的c的最小整数值为3.