高考数学一轮复习 考点热身训练 2.7幂函数

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 2.7幂函数，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2013·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点(2,2)，则幂函数的解析式为
( )
()y=2 ()y=
()y= ()y=
2.函数y=-x2的图象关于( )
()y轴对称 ()直线y=-x对称
()坐标原点对称 ()直线y=x对称
3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是( )
()(0，+∞) ()(1，+∞)
()(0，1) ()(-∞,0)
4.已知幂函数f(x)=xm的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )
(){x|0(){x|－≤x≤} (){x|－4≤x≤4}
5.设函数f(x)=若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
()(-∞,-3)
()(1，+∞)
()(-3，1)
()(-∞,-3)∪(1,+∞)
6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x3,若0≤θ≤时，f(mcsθ)+f(1-m)＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
()(-∞,1) ()(-∞, ) ()(-∞,0) ()(0,1)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=xa的图象在直线y=x的上方，则实数a的取值范围是__________.
8.已知幂函数f(x)= ，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.
9.当0三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知函数f(x)=xm-且f(4)= .
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.
11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(，4)在幂函数g(x)的图象上.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);
②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).
【探究创新】
(16分)已知幂函数y=f(x)= (p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.
(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.
试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.
答案解析
1.【解析】选.设y=xα,则由已知得，2=2α,
即=2α,∴α=,∴f(x)= .
2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x≠0}，令y=f(x)= -x2,
则f(-x)= -(-x)2=-x2=f(x),
∴f(x)为偶函数，故选.
3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1,
1.30.7＞1.30=1,
∴0＜0.71.3＜
又(0.71.3)m＜(1.30.7)m,
∴函数y=xm在(0,+∞)上为增函数，故m＞0.
4.【解题指南】由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.
【解析】选.由()m=，得m=，∴f(x)=
∴f(|x|)=,
又∵f(|x|)≤2，∴≤2，即|x|≤4,
∴－4≤x≤4．
5.【解题指南】分a＜0,a≥0两种情况分类求解.
【解析】选.当a＜0时，()a-7＜1,
即2-a＜23,
∴a＞-3,∴-3＜a＜0.
当a≥0时，＜1,∴0≤a＜1,
综上可得:-3＜a＜1.
6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x3为奇函数，且在R上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m与csθ的不等式恒成立求解.
【解析】选.因为f(x)=x3为奇函数且在R上为单调增函数，
∴f(mcsθ)+f(1-m)＞0⇒
f(mcsθ)＞f(m-1)⇒
mcsθ＞m-1⇒
mcsθ-m+1＞0恒成立，
令g(csθ)=mcsθ-m+1,
又0≤θ≤,∴0≤csθ≤1,
则有：即解得：m＜1.
7.【解析】由幂函数的图象知a∈(-∞,1).
答案：(-∞,1)
8.【解析】由于f(x)= 在(0，+∞)上为减函数
且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得
解得：3＜a＜5.
答案：(3,5)
9.【解题指南】在同一坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解.
【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)10.【解析】(1)因为f(4)= ,所以4m-=.所以m=1.
(2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称,
又f(-x)=-x- =-(x-)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.
(3)方法一：设x1＞x2＞0，则f(x1)-f(x2)=
x1--(x2-)=(x1-x2)(1+),
因为x1＞x2＞0,所以x1-x2＞0,1+＞0.
所以f(x1)＞f(x2).
所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
方法二：∵f(x)=x-,
∴f′(x)=1+ ＞0在(0,+∞)上恒成立，
∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
11.【解析】(1)设f(x)=xα,
∵点(2，4)在f(x)的图象上，
∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x2.
设g(x)=xβ,∵点(，4)在g(x)的图象上，
∴4=()β，∴β=-2，即g(x)=x-2
(2)∵f(x)-g(x)=x2-x-2=x2-
= (*)
∴当-1＜x＜1且x≠0时，(*)式小于零，
即f(x)＜g(x)；
当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；
当x＞1或x＜-1时，(*)式大于零，即f(x)＞g(x).
因此，①当x＞1或x＜-1时，f(x)＞g(x)；
②当x=±1时，f(x)=g(x)；
③当-1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).
【误区警示】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x≠0}而失误.失误原因：将分式转化为关于x的不等式时，忽视了等价性而致误.
【探究创新】
【解析】(1)∵幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,
∴-p2+p+＞0,即p2-2p-3＜0,解得-1＜p＜3，又p∈Z,∴p=0,1,2.
当p=0时，y=不是偶函数；
当p=1时,f(x)=x2是偶函数；
当p=2时,f(x)=不是偶函数，
∴p=1，此时f(x)=x2.
(2)由(1)得g(x)=-qx4+(2q-1)x2+1,设x1＜x2,则g(x1)-g(x2)=q()+(2q-1)·()=()[q()-(2q-1)].
若x1＜x2≤-4,则＜0且＞32,
要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，
必须且只需q()-(2q-1)＜0恒成立.
即2q-1＞q()恒成立.
由＞32且q＜0，
得q()＜32q，
只需2q-1≥32q成立，
则2q-1＞q()恒成立.
∴当q≤-时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证
当q≥-时,g(x)在(-4,0)上是增函数,
∴当q=-时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.
x
1
f(x)
1