高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理图片课件ppt

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知识点　两个计数原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
名师点睛处理具体问题时,一是合理分类,准确分步:分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.
过关自诊1.复杂事件在分类时,如何理解“不重不漏”?
提示 分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同;其次,分类时要注意满足一个基本要求:完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案.简单地说,就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.
2.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有(　　)　　　　　　　　　　　　　A.6种B.5种C.4种D.3种
解析 不同的选派情况可分为3类:第1类,若选甲、乙,有2种方法;第2类,若选甲、丙,有1种方法;第3类,若选乙、丙,有1种方法.根据分类加法计数原理知,不同的选派方法有2+1+1=4种.
3.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每项限报1人,则这3名学生的参赛的不同方法有(　　)A.24种B.48种C.64种D.81种
解析 由于每班每项限报1人,故当前面的学生报了某项之后,后面的学生不能再报,由分步乘法计数原理,共有4×3×2=24种不同的参赛方法.
【例1】 用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以组成多少个三位数字的电话号码?(2)可以组成多少个三位数?(3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?
解 (1)三位数字的电话号码,按从左到右的顺序,第1位上的数字可以是0,数字也可以重复,每个位置上的数字都有5种取法,由分步乘法计数原理,可以组成5×5×5=53=125个三位数字的电话号码.(2)三位数的百位上的数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位上的数字的取法,除0外共有4种取法,个、十位上的数字可以取0,由分步乘法计数原理,可以组成4×5×5=100个三位数.(3)被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是个位数字是0,可以组成4×3=12个三位数;另一类是个位数字不是0,则个位上的数字有2种取法,即2或4,再考虑百位上的数字,因为0不能是百位上的数字,所以有3种取法,十位有3种取法,因此有2×3×3=18个三位数.由分类加法计数原理,可以组成的能被2整除的无重复数字的三位数的个数为12+18=30.
变式探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?
解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第1步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去个位中使用的一个数,在剩下的3个数中任取一个,有3种方法;第3步,把剩下的包括0在内的3个数字排百位,有3种方法;第4步,排十位,有2种方法.由分步乘法计数原理知共能组成2×3×3×2=36个无重复数字的四位奇数.
规律方法　对于组数问题应掌握的原则(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(或特殊元素)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
变式训练1我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如1 230,2 022),则首位为3的“六合数”共有(　　)A.18个B.12个C.10个D.7个
解析 首位为3的“六合数”的其他位的3个数字为0,1,2,则这样的首位为3的“六合数”共有3×2×1=6个;首位为3的“六合数”的其他位的3个数字为1,1,1,则这样的首位为3的“六合数”共有1个;首位为3的“六合数”的其他位的3个数字为0,0,3,则这样的首位为3的“六合数”共有3个.由分类加法计数原理,首位为3的“六合数”共有6+1+3=10个,故选C.
探究点二　抽取(分配)问题
【例2】 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有(　　)A.16种B.18种C.37种D.48种
解析 (方法一　直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类.第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂中的一个,其分配方案有3×3=9种;第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级可以在其他三个工厂中选择,其分配方案有3×3×3=27种.综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37种.(方法二　间接法)三个班自由选择去哪个工厂的分配方案共4×4×4=64种;甲工厂无人去的分配方案共3×3×3=27种.故有64-27=37种不同的分配方案.
规律方法　抽取(分配)问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法等.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
变式训练2 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不同的选法?
解 分4类完成:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理,不同的选法种数为N1=3×2=6.第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理,不同的选法种数为N2=3×2=6.
第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理,不同的选法种数为N3=2×2=4.第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,不同的选法种数为N4=2.综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18种.
【例3】 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解 第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180种不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.
变式探究 本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?
解 依题意,可分两类:①④不同色,①④同色. 第1类,①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,可将这件事情分成四步来完成.第1步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂③与第4步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120种.第2类,①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第1步涂①④,有5种涂法;第2步涂②,有4种涂法;第3步涂③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60种.由分类加法计数原理,所求的涂色方法共有120+60=180种.
规律方法　解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.(3)若是空间问题,将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.
变式训练3[2023江苏南通期中]如图,一个地区分为5个区域,现给5个区域涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的涂色方法共有　　　　　种. 
解析 第1步,先给①②③号区域涂色,分别有4种、3种和2种涂色方法.第2步,给④号和⑤号区域涂色,当④号与②号同色时,④号有1种涂色方法,⑤号有2种涂色方法;当④号与②号不同色时,④号有1种涂色方法,⑤号有1种涂色方法.则④号和⑤号共有1×2+1×1=3种涂色方法.由分步乘法计数原理,共有4×3×2×3=72种涂色方法.
1.知识清单:(1)两个计数原理的区别与联系;(2)两个计数原理的应用.2.方法归纳:分类讨论、间接法.3.常见误区:分类标准不明确,出现重复或遗漏问题.
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为(　　)A.30B.20C.10D.6
解析 从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类.第1类,取出的两数都是偶数,共有3种取法;第2类,取出的两数都是奇数,共有3种取法.由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6种取法.
2.某校科技楼共有5层,每层均有两个楼梯,由一楼到五楼的走法有(　　)A.10种B.16种C.25种D.32种
解析 走法共分四步.第1步,一层到二层2种走法;第2步,二层到三层2种走法;第3步,三层到四层2种走法;第4步,四层到五层2种走法.根据分步乘法计数原理知走法一共有24=16种.故选B.
3.如图所示,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂1种颜色,要求相邻的2个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有　　　　　种.(用数字作答) 
解析 首先给最左边的一个格子涂色,有6种选择,左边第二个格子有5种选择,第三个格子有5种选择,第四个格子也有5种选择.根据分步乘法计数原理得,共有6×5×5×5=750种涂色方法.