福建省福州教育学院附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 下列说法中错误的是（ ）
A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 零向量的长度为0D. 方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用零向量的定义、向量的共线定义以及向量相等的定义即可求解.
【详解】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；
设方向相反两个非零向量为和，满足 ，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；
对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.
答案选B.
【点睛】本题考查向量的相关定义，属于简单题.
2. 已知|，则的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义计算可得；
【详解】解：因为|
所以|
故选：A
3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.
4. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算律、向量的垂直关系的向量表示可得，，利用夹角公式计算即可求解.
【详解】因为，
所以，
即，
又因为
所以，
所以，
即，
又因为，
所以，
即
设与的夹角为，
所以
因为
所以
故选：A
5. 已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设点D的坐标，由题中条件，且，建立D点横纵坐标的方程，解方程即可求出结果.
【详解】设点,则由题意可得：,解得，所以D点坐标为.
【点睛】本题主要考查平面向量，属于基础题型.
6. 在四边形中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】推出四边形为平行四边形，且，且平分，得到四边形为菱形，且，为等边三角形，，利用，两边平方得到.
【详解】因为，所以且，
故四边形为平行四边形，
设都是单位向量，且，
两边平方得，即，
所以，解得，
故，
又均为单位向量，故，
即，且平分，
故四边形为菱形，且，
故为等边三角形，，
，两边平方得
，
故.
故选：A
7. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则
A. 90B. 60C. 45D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值．
【详解】由正弦定理及得
,因为，所以；
由余弦定理、三角形面积公式及，得,
整理得，又,所以,故.
故选D
【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
8. 已知，，与夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出向量在向量方向上的投影的值，进而可得出在向量上的投影向量.
【详解】，，与的夹角为，
则，
，
所以，向量在向量方向上的投影为，
是与向量方向相同的单位向量，因此，在向量上的投影向量为.
故选：A.
【点睛】本题考查投影向量的计算，涉及向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题.
二、多选题
9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
10. 已知内角所对的边分别为下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形中大边对大角的思想，可知选项中该三角形有两个解，而中可确定三边长度则三角形唯一．
【详解】解：选项，因为，，所以，
根据正弦定理，，即，解得．
，，或，所以该三角形不唯一确定；
选项，因为，，所以，即
根据余弦定理，，三边确定，所以该三角形唯一；
选项，根据题意，可知，根据正弦定理，，即可求得和的值，三边确定，所以该三角形唯一；
选项，根据题意，三边确定，所以该三角形唯一；
故选：．
11. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，由正弦定理可求得的值．
在中可求，可得，在中，由余弦定理即可计算得解的值．
【详解】解：在中，，
由正弦定理得．
在中，
，
，
，
在中，由余弦定理得： ．
．
故选：CD
12. 如图，是边长为的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值可能是（ ）
A. 1B. 10C. 5D. 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据是边长为的等边三角形，算出，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积展开，化简整理得最后研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围．
【详解】解：，
，
是边长为的等边三角形，
向量是与垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点在圆上运动，当与共线同向时，取最大值，且这个最大值为6
当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为
故的最大值为，最小值为．即的取值范围是，
故选：ABC
三、填空题
13. 设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的加法以及共线向量基本定理，求解即可.
【详解】由题意可得.
∵，，三点共线
∴，
∴
∴解得
故答案为：
【点睛】本题考查向量的加法以及共线向量基本定理.属于较易题.
14. 已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因，，
所以，
，所以，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
15. 如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用将用表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组计算即可.
【详解】∵是上的一点，
设，又 ，
则
．
∴，，
解得，．
故答案为：．
16. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积及共线向量，列式求解作答.
【详解】因与是两个互相垂直的单位向量，则，，
又向量与的夹角为锐角，则，且向量与不共线，
由得：，解得，
当向量与共线时，，解得，因此向量与不共线，有且，
所以k的取值范围是且，即.
故答案为：
四、解答题
17. 已知，，在同一平面内，且.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得，即可得解；
（2）由平面向量垂直可得，再由平面向量数量积的运算可得，最后由即可得解.
【详解】（1）设，
因为，，，
所以，解得或，
所以或；
（2）因为，所以，
又，，
所以，所以，
所以.
【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题.
18. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cs B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
【答案】(1) ；（2）4.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据二倍角公式求cs D，再根据平方关系求sin D，最后根据三角形面积公式求求△ACD的面积；（2）根据余弦定理求AC，再根据余弦定理求AB
试题解析：(1)因为∠D＝2∠B，cs B＝，
所以cs D＝cs 2B＝2cs2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，
所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs D＝12，
所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.
19. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

（1）求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得；
（2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
20. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
21. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若a=3，求b+2c的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和与差的正弦公式化简，即得；
（2）由正弦定理及两角和与差的正弦公式和辅助角公式，将边表示成关于的函数，再利用正弦函数的性质即得.
【小问1详解】
∵，
∴
∴，
∴又∴，
∴，又
∴.
【小问2详解】
由正弦定理得，又a=3，，
∴，
∴
其中，
由，存在使得，
∴的最大值为1，
∴的最大值为.