课时目标
1.经历实验操作、猜想、证明的探索勾股定理的逆定理的过程,体会“同一法”证明数学命题的基本思想.
2.经历探究勾股定理逆命题为真命题的过程,知道互逆命题与互逆定理.
学习重点
探索勾股定理逆定理.
学习难点
勾股定理逆定理的证明.
课时活动设计
知识回顾
回顾勾股定理的内容,并指出定理中的条件和结论.
如果直角三角形的两条直角边为a,b,斜边为c,那么a,b,c满足a2+b2=c2.
情境导入
工人师傅想要检测一扇小门两边AB,CD是否垂直于底边BC和门的上边AD,但他只带了一把卷尺,你能替工人师傅想办法完成任务吗?
设计意图:带着实际问题走入数学课堂,既激发学生的学习兴趣,又有助于形成实事求是的科学态度,为新课内容埋下伏笔.
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:
把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长.用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
三角形的三边3,4,5满足怎样的数量关系?
解:三角形的三边3,4,5满足32+42=52.
设计意图:介绍前人经验,启发思考情境中所蕴含的数学规律,经历数学的“再发现”过程.
画一个△ABC,使它的三边长分别为:
(1)6 cm,8 cm,10 cm;
(2)5 cm,12 cm,13 cm.
度量最长边所对的角的大小,并提出你的猜想.
设计意图:经历画三角形,测量最大角的过程得出猜想,这种操作、测量、猜想的过程是几何探索的一般方法.
例证明如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
如图,已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,求证:△ABC是直角三角形.
证明:如图,作Rt△A'B'C',使∠C'=90°,A'C'=b,B'C'=a,
则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2.
因为a2+b2=c2,所以A'B'2=c2.所以取正值得A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中,A'C'=AC,B'C'=BC,A'B'=AB,
所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C=∠C'=90°
∴△ABC是直角三角形.
设计意图:此问题中,难以证明△ABC是直角三角形,联想三角形全等这一工具,通过构造直角三角形,证明当前三角形与一个直角三角形全等,从而证明当前三角形是直角三角形,让学生体会“同一法”证明思路的合理性,帮助学生突破难点.
勾股定理与逆定理的题设和结论有什么关系?
设计意图:再次复习命题的题设和结论,认识定理与逆定理的区别与联系,为互逆命题与互逆定理的理解奠定基础.
初步应用
1.写出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?
(1)对顶角相等.
解:逆命题为相等的角是对顶角.(不成立)
(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.
解:逆命题为如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等.(不成立)
(3)全等三角形的对应角相等.
解:逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形.(不成立)
(4)角平分线上的点到角两边的距离相等.
解:逆命题为到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.(成立)
2.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形?
(1)a=15,b=17,c=8;(2)a=13,b=15,c=14
解:(1)最长的边为17.
因为152+82=225+64=289,172=289,
所以152+82=172.
所以以15,8,17为边长的三角形是直角三角形.
(2)最长的边为15.
因为132+142=169+196=365,152=225,
所以132+142≠152.
所以以13,15,14为边长的三角形不是直角三角形.
拓展提升
若一个三角形的三边长的平方分别为32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是 25或7 .
设计意图:进一步加强学生对所学知识的掌握和解决数学问题的信心,提升学生对知识灵活运用的能力.
课堂8分钟.
1.教材第34页习题17.2复习巩固第1,2题,综合运用第4题.
2.七彩作业.
第1课时勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:如图,三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
例题.
教学反思