2023-2024学年江苏省无锡市江阴市文林中学八年级（下）3月月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市文林中学八年级（下）3月月考数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运动属于旋转的是( )
A. 篮球的运动B. 气球升空的运动
C. 钟表钟摆的摆动D. 一个图形沿某直线对折的过程
2.下列事件中，是必然事件的为( )
A. 3天内会下雨B. 打开电视，正在播放广告
C. 367人中至少有2人公历生日相同D. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩
3.下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是( )
A. 邻角相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边相等
4.下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴
D. 对角线互相垂直的平行四边形为菱形
5.式子：12x2y,23x2,34xy2的最简公分母是( )
A. 24x2y2xy B. 24x2y2
C. 12x2y2 D. 6x2y2
6.方程 6x= 2的解为
( )
A. x= 32B. x= 33C. x= 3D. x=2 3
7.如果把2xx2−y2中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值
( )
A. 不变B. 扩大为原来的5倍C. 扩大为原来的10倍D. 缩小为原来的110
8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE/​/BD，DE/​/AC，若AC=12，则四边形CODE的周长为
( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
9.数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45∘的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是( )
A. 甲和乙的折法都正确B. 只有甲的折法正确
C. 只有乙的折法正确D. 甲和乙的折法都不正确
10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S▵AOB=S四边形DEOF，其中正确的有
( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是_______(填“普查”或“抽样调查”)．
12.写出一个能与 3合并的二次根式____．
13.当x______时，分式x2−9x−3的值为零．
14.若a+b=5，ab=3，则ab+ba的值是_．
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则▵ AEF的周长=__cm．
16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH=____．
17.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有_____次．
18.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD是矩形，若▵PCD是等腰三角形，则AP的长______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算：
(1) 12− 3−3+ 32；
(2) 5−22+ 5−3 5+3
20.计算：
(1)4x22x−3+93−2x
(2)1m−1+m+1
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，▵ABC和▵A1B1C1关于点E成中心对称．

(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标______；
(2)画出▵A1B1C1绕点O逆时针旋转90∘后的▵A2B2C2；
(3)画出与▵A1B1C1关于点O成中心对称的▵A3B3C3；
(4)y轴上存在一点P，使▵ACP周长最小，则点P坐标是______．
22.(本小题8分)
为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校1200名学生都参加的“安全知识”考试，考题共10题，考试结束后，学校随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次抽查的样本容量是___；在扇形统计图中，m=___，n=___，“答对10题”所对应扇形的圆心角为___度；
(2)将条形统计图补充完整：
(3)请根据以上调查结果，估算出该校答对超过7题的学生人数．
23.(本小题8分)
按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．
(1)如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺(不带刻度)在边AD上找点F，使DF=BE．
(2)如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺(不带刻度)作出菱形ABCD的边AB上的高DF．
24.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形；
(2)①若四边形AFBD是矩形，则ΔABC必须满足条件_________；
②若四边形AFBD是菱形，则ΔABC必须满足条件_________．
25.(本小题8分)
如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F.连接AF，CE，EF平分∠AEC．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若∠DAC=60°，AC=2，求四边形AFCE的面积．
26.(本小题8分)
如图，直线l1：y=−12x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y=kx6交于点C(4,2)．
(1)点A坐标为( ， )，B为( ， )；
(2)在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：A.篮球的运动不一定是旋转，故A不符合题意；
B.气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故B不符合题意；
C.钟表钟摆的摆动属于旋转，故C符合题意；
D.一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转，故D不符合题意．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【详解】试题分析：必然事件是一定能够发生的事件，选项A、B、D的结果是不确定的，是随机事件；选项C，一年最多有366天，所以367人中至少有2人公历生日相同是确定能够发生的，是必然事件，故答案选C．
考点：必然事件．
3.【答案】A
【解析】【分析】
通过矩形和菱形的性质逐一判断即可．
【详解】∵矩形的性质有：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的两条对角线相互平分且相等；③矩形的两组对角分别相等，矩形四个角都为直角；
菱形的性质有：①菱形的两组对边分别平行，菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线相互平分且垂直，菱形的每一对角线分别平分一组对角；③菱形的两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质为：邻角相等，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定方法以及矩形的性质逐项作出判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误；
C、矩形是轴对称图形，过两组对边中点的直线是它的两条对称轴，故C错误；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它们相乘即可求得．
【详解】式子：12x2y,23x2,34xy2的最简公分母是：12 x2y2．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】两边同时除以 6即可得到方程的解；
【详解】 6x= 2，
x= 2 6，
∴x= 33；
故选B．
7.【答案】D
【解析】【详解】解：把2xx2−y2中的x与y都扩大为原来的10倍可得
2×10x(10x)2−(10y)2=2×10x100x2−100y2=2x10(x2−y2) ，
所以这个代数式的值缩小为原来的110，
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
由CE/​/BD，DE/​/AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=6，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】
解：∵CE//BD，DE/​/AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=12AC=6
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×6=24，故 C正确．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】【分析】
对于甲，根据角平分线的性质即可判断；对于乙，由题意可得AE平分∠BAB′，AF平分∠DAD′，然后根据角的和差和角平分线的性质判断即可．
【详解】对于甲：由题意可得AE平分∠BAD，
因为∠BAD=90∘，
所以∠EAD=12×90∘=45∘，则甲的折法正确．
对于乙：由题意可得AE平分∠BAB′，AF平分∠DAD′，
所以∠EAB′=12∠BAB′,∠FAD′=12∠DAD′，
所以∠EAF=∠EAB′+∠FAD′=12∠BAB′+12∠DAD′=12∠BAB′+∠DAD′=12×90∘=45∘，
则乙的折法也正确；
故选：A．
10.【答案】D
【解析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90∘,AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明▵ABF和▵DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90∘，再得到∠AOB=90∘，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S▵ABF=S▵ADE，然后都减去▵AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．
【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90∘,AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD−DF=CD−CE，
即AF=DE，
在▵ABF和▵DAE中，
AB=AD∠BAF=∠D=90∘AF=DE,
∴▵ABF≅▵DAESAS，
∴AE=BF，故①正确；
∵∠DAE+∠BAO=90∘,∠ABF+∠BAO=90∘，
∴∠ABF=∠DAE，
在▵ABO中，∠AOB=180∘−(∠ABF+∠BAO)=180∘−90∘=90∘，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF(已证)，
∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∵在Rt▵BCE中，BE>BC，
∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵▵ABF≅▵DAE，
∴S▵ABF=S▵DAE，
∴S▵ABF−S▵AOF=S▵DAE−S▵AOF，
即S▵AOB=S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：D．
11.【答案】抽样调查
【解析】【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可．
【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
12.【答案】2 3
【解析】【详解】试题解析：2 3是 3的同类二次根式．
故答案为：2 3．
13.【答案】=−3
【解析】【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【详解】解：根据题意，
∵分式x2−9x−3的值为零，
∴x2−9=0x−3≠0,
∴x=−3；
故答案为：=−3．
14.【答案】193
【解析】【分析】本题需先根据分式的运算顺序和法则进行计算，再把a+b=5，ab=3代入即可求出答案．
【详解】解：ab+ba=(a+b)2−2abab，
当a+b=5，ab=3时，
原式=52−2×33=193，
故答案为：193．
15.【答案】9
【解析】【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC= 62+82=10(cm)，
∴DO=5cm，
∵点E，F分别是AO、AD的中点，
∴EF=12OD=2.5 (cm)，EA=14AC=2.5，AF=12AD=4，
△AEF的周长=EF+AE+AF=9
故答案为：9．
16.【答案】125
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式求解即可得．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴OA=12AC=4，OB=12BD=3，
∴AB= OB2+OA2=5，
∴12×3×4=12×5×OH，
解得OH=125．
故答案为125．
17.【答案】3
【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12，AD // BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．
第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6．
∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3．
18.【答案】4或5或145
【解析】【分析】
先求出AC，再分①当CP=CD，②当PD=PC，③当DP=DC三种情况讨论计算即可得出结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90∘，
∴DC=AB=6，
∴AC= AD2+DC2= 82+62=10，
若▵PCD是等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC−CP=10−6=4；
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90∘，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=12AC=5，
③当DP=DC时，如图：
过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，
∵S▵ADC=12AD⋅DC=12AC⋅DQ，
∴DQ=AD⋅DCAC=8×610=245，
∴CQ= DC2−DQ2= 62−(245)2=185，
∴PC=2CQ=365，
∴AP=AC−PC=10−365=145．
故答案为：4或5或145．
19.【答案】(1)解： 12− 3−3+ 32
=2 3−3− 3+3
=2 3−3+ 3+3
=3 3；
(2)解： 5−22+ 5−3 5+3
=5−4 5+4+5−9
=5−4 5．

【解析】【分析】(1)先化简二次根式，然后计算加减法．
(2)先去利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法．
20.【答案】(1)4x22x−3+93−2x
=4x2−92x−3
=(2x+3)(2x−3)2x−3
=2x+3；
(2)1m−1+m+1
=1+(m+1)(m−1)m−1
=1+m2−1m−1
=m2m−1；

【解析】【分析】(1)原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
(2)原式通分再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
21.【答案】(1)解：如图，点E为所作；点E坐标为−3,−1；

故答案为：−3,−1．
(2)如图，▵A2B2C2为所作；

(3)如图，▵A3B3C3为所作；

(4)如图：作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，与y轴交于点P，根据坐标系各格点特征可知A′3,2，C−2,0，
设直线A′C的解析式为y=kx+b，
将A′3,2，C−2,0代入可得：
2=3k+b0=−2k+b,
解得：k=25b=45,
∴直线A′C的解析式为y=25x+45，
当x=0时，y=45，
∴P0,45．
故答案为：0,45．


【解析】(1)连接AA1、BB1、CC1，它们的交点为E；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；
(3)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后描点即可；
(4)若▵ACP周长最小，即PA+PC最小，根据最短路径即可得到点P，根据相似三角形的判定和性质即可求得．
22.【答案】(1)解：5÷10%=50(人)，
本次抽查的样本容量是50，
850=0.16=16%，1−10%−16%−24%−20%=30%，
即m=16，n=30，
360°×20%=72°，
故答案为：50，16，30，72；
(2)解：答对9题的人数有：50×30%=15(人)，
答对10题的人数有：50×20%=10(人)，
条形图如图所示：；
(3)解：该校答对超过7题的学生有(24%+30%+20%)×1500=1110(人)．
答：该校答对超过7题的学生人数有1110人．

【解析】【分析】(1)先读图，根据图形中的信息逐个求出即可；
(2)求出人数，再画出即可；
(3)根据题意列出算式，再求出即可．
23.【答案】解：(1)如图所示：①连接AC、BD交于O，②连接EO并延长交AD于F点，
(2)如图所示：①连接AC、BD交于点G；②连接DG并延长交AB于点F，由轴对称可知，DF⊥AB，

【解析】【分析】(1)根据平行四边形是中心对称图形，找到对称中心——即对角线的交点，连接EO并延长交边AD于点F即可得DF=BE；
(2)根据菱形是关于对角线对称的轴对称图形，根据轴对称的性质作出线段BF关于AC对称的DF即可．
24.【答案】解：(1)∵E是AD中点
∴AE=DE，
∵AF // BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DEC
∴AF=DC，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
又∵AF // BC，即AF // BD，
∴四边形AFBD是平行四边形；
(2)①当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AFBD是矩形；
理由是：
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴ ∠BDA=90°
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．
故答案为AB=AC
②当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形．
理由是：
∵∠BAC=90°，D是BC中点，
∴AD=12BC=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
故答案为∠BAC=90°

【解析】【分析】(1)先证明△AEF≌△DEC，得出AF=DC，再根据有一组对边平行且相等证明四边形AFBD是平行四边形；
(2))①当△ABC满足条件AB=AC时，可得出∠BDA=90°，则四边形AFBD是矩形；②当∠BAC=90°时，可得出AD=BD，则四边形AFBD是菱形．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AO=CO，
∴∠AEF=∠CFE，
在△AOE和△COF中，
∠AEF=∠CFE∠AOE=∠COFAO=CO,
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OF=OE，
∵AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴平行四边形四边形AFCE是菱形，
∴四边形AFCE是菱形；
(2)解：由(1)得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO=CO=12AC=1，AE=EC,EF=2OE
∴∠AOE=90°，
∵∠DAC=60°，
∴∠AEO=30°，▵AEC是等边三角形，
∴AE=AC=2，
∴OE= AE2−OA2= 3，
∴EF=2OE=2 3，
∴四边形AFCE的面积为：12AC×EF=12×2×2 3=2 3．

【解析】【分析】(1)由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF=OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE=CF，即可得出结论；
(2)利用菱形的性质和勾股定理得出OE= AE2−OA2= 3，则EF=2OE=2 3，由菱形面积公式即可得出答案．
26.【答案】解：(1)将点C(4,2)代入y=−12x+b中，
得：2=−2+b，解得：b=4，
∴直线l1为y=−12x+4．
令y=−12x+4中x=0，则y=4，
∴B(0,4)；
令y=−12x+4中y=0，则x=8，
∴A(8,0)．
(2)∵点C(4,2)是直线l2：y=kx6上的点，
∴2=4k−6，解得：k=2，
∴直线l2为y=2x6．
∵点E的横坐标为m(0≤m≤4)，
∴E(m,−12m+4),F(m,2m−6)，
∴EF=−12m+4−(2m−6)=10−52m．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴BO=EF，即4=10−52m，
解得：m=125．
故当m=125时，四边形OBEF是平行四边形．
(3)假设存在．
以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况：
①以AB为边，如图1所示．
∵点A(8,0)，B(0,4)，
∴AB=4 5．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴AP=AB或BP=BA．
当AP=AB时，P(8−4 5,0)或(8+4 5,0)；
当BP=BA时，点P(−8,0)．
当P(8−4 5,0)时，Q(8−4 5−8,0+4)，即(−4 5,4)；
当P(8+4 5,0)时，Q(8+4 5−8,0+4)，即(4 5,4)；
当P(−8,0)时，Q(−8+8−0,0+0−4)，即(0,−4)．
②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．
∵点A(8,0),B(0,4)，
∴M(4,2),AM=12AB=2 5．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA=∠BOA=90∘，
∴▵AMP∽▵AOB，
∴APAB=AMOA，
∴AP=5，
∴点P(8−5,0)，即(3,0)．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴点Q(8+0−3,0+4−0)，即(5,4)．
综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为−4 5,4、4 5,4、0,−4或5,4．

【解析】【分析】(1)由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式，再分别令直线l1的解析式中x=0、y=0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；
(2)由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
(3)分AB为边和AB为对角线两种情况讨论．当AB为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当AB为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B′处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE,AF折叠，使B，D两点分别落在点B′,D′处，且AB′与AD′在同一直线上，∠EAF即为所求．