1.经历平行四边形性质的发现及证明过程,体会合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论.培养学生的推理能力与严谨的逻辑思维能力.
2.通过平行四边形性质的应用,渗透转化的思想,发展推理能力和几何直观的核心素养.
达成目标1的标志:学生通过画图——观察——猜想——测量验证能得出“对角线互相平分”这一结论,进而找到证明结论的解决方案,并完成证明.
达成目标2的标志:学生通过探究教材中的例1与例2,能顺利寻找解题思路,并完成证明.
学习重点
平行四边形的对角线互相平分及其应用.
学习难点
综合运用平行四边形的性质进行有关论证和计算.
课时活动设计
回忆上一节课的研究过程.
思考:学习了平行四边形的哪些性质?你是怎样发现平行四边形的性质的?你是怎样证明的?
设计意图:通过学生回顾平行四边形性质的发现及证明过程,引导学生学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.
我们上一节课研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质,下面我们来研究平行四边形的对角线有什么性质:作图:画平行四边形ABCD,连接平行四边形的对角线AC,BD,并设它们相交于点O.
问题1:你能发现哪些线段间的关系?请提出猜想,并验证、证明你的猜想.
问题2:通过证明得到OA=OC,OB=OD,你能用数学语言描述这一性质吗?这是对角线之间的数量关系还是位置关系?
如图,四边形ABCD是平行四边形,求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠COD.
∴△AOB≌△COD.
∴OA=OC,OB=OD.
设计意图:引导学生动手操作,猜想并证明平行四边形对角线的性质,培养学生科学的思维方法,发展学生的推理能力.通过提问对角线间的关系,引导学生明确研究图形的性质就是研究组成图形的要素间的数量关系与位置关系,帮助学生梳理研究图形的思路与方向,使学生学会思考,学会学习.
你能用两种语言表达这一性质吗?
1.文字语言:平行四边形的对角线互相平分.
2.符号语言:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
设计意图:引导学生用两种语言表述性质,关注学生的表达过程,提高归纳概括的能力,体会语言之间的相互转化,学会用数学的语言表达现实世界.
例题练习,巩固理解
先独立思考教材第44页例2,然后小组讨论并完成证明,学生代表讲解,全班分享,共同完善修正答案.
例如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长,以及▱ABCD的面积.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理,得AC=AB2-BC2=102-82=6.
又OA=OC,∴OA=12AC=3,S▱ABCD=BC·AC=8×6=48.
设计意图:通过例题可以加深学生对平行四边形对角线互相平分这一性质的理解,此题还涉及勾股定理及平行四边形面积的计算,综合性较强,需要灵活运用所学知识加以解决,本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对性质的理解.
本节课我们研究了平行四边形的角平分线的性质,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)我们从哪些方面研究了平行四边形的性质?分别有哪些性质?
(2)平行四边形的性质是怎样发现并证明的?通过这个探究过程你学到了哪些数学方法?积累了哪些数学活动经验?
(3)根据你的学习经验,请你规划平行四边形后续的研究进程.
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对平行四边形的性质的研究方法和内容的理解,明确平行四边形的定义、性质、判定的逻辑关系,并通过将图形组成要素、要素间关系进行特殊化,得出新的研究对象,为后续研究奠定基础.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第49页习题18.1复习巩固第3题,第51页拓广探索第14题.
2.七彩作业.
教学反思