初中人教版19.2.3一次函数与方程、不等式教案

这是一份初中人教版19.2.3一次函数与方程、不等式教案，共4页。

(一)教学知识点
1.学会利用函数图象解二元一次方程组.
2.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性.
(二)能力训练目标
1.尝试从不同角度看问题、分析问题、解决问题,进一步体会“数”与“形”结合的魅力.
2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.
学习重点
归纳图象法解二元一次方程组的具体方法.
学习难点
从函数角度看问题,用函数解方程组.
课时活动设计
情境导入
1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)与上升时间x(单位:min)的函数关系.
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度? 如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?
解:(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球,y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球,y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值(0≤x≤60),函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y,则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组y=x+5,y=0.5x+15,即x-y=-5,0.5x-y=-15.解得x=20,y=25.
这就是说,当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.
我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答.如图,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20,25),这样说明当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.
设计意图:为学生创造一个问题氛围,让学生带着疑问走进新课的学习.
利用图象求方程6x-3=x+2的解,并笔算检验.
由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点(1,3),所以x=1.
设计意图:帮助学生构建函数模型,用函数的观点求解.
例 解二元一次方程组3x+5y=8,2x-y=1.
教师引导:我们知道,方程3x+5y=8可以转化为y=-35x+85,并且直线y=-35x+85上每个点的坐标(x,y)都是方程3x+5y=8的解.
因为任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线.
那么解二元一次方程组3x+5y=8,2x-y=1可否看作是求两个一次函数y=-35x+85与y=2x-1图象的交点坐标呢?如果可以,我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢?(学生自己尝试完成)
设计意图:让学生体会从函数的角度看方程组,体会函数与方程组的联系和不同.
活动内容设计:一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式.方式A,以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;方式B,除收月租费20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算.如何选择收费方式能使上网者更合算?
教师活动:引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并运用所学方法求解.
学生活动:在教师引导下建立两种计费方式的函数模型,然后比较求解.
活动过程及结论:
设上网时间为x分钟,所需费用为y元.若按方式A收费,则y=0.1x;若按方式B收费,则y=0.05x+20.如图,在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象.
解方程组y=0.1x,y=0.05x+20,得x=400,y=40.
从图象上可以看出两函数图象交于点(400,40),
当0 当x=400时,0.1x=0.05x+20,
当x>400时,0.1x>0.05x+20.
因此,当一个月内上网时间少于400分钟时,选择方式A省钱;当上网时间等于400分钟时,选择方式A,B没有区别;当上网时间多于400分钟时,选择方式B省钱.
设计意图:通过这个活动,熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法,进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力.
学以致用
如图,直线y=-x+3与y=mx+n交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组x+y=3,-mx+y=n的解为 x=1,y=2 .
设计意图:学以致用,让学生能快速识图,体会图象法解方程组的便捷性和优越性.
课堂小结
本节课从一元一次方程、二元一次方程与一次函数的关联谈起,得出利用函数图象解决二元一次方程、二元一次方程(组)的具体方法及步骤,并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系,且通过函数观点把它们统一起来,根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用,为我们解决有关实际问题提供了更大的便利.
设计意图:引导学生对所学的知识进行总结和归纳,引领学生得到解题方法的提升是学习的关键.
课堂8分钟.
1.教材第99页习题19.2复习巩固第8题、综合运用第13题.
2.七彩作业.
第2课时 一次函数与二元一次方程组
1.一次函数与二元一次方程组.
2.图象法解二元一次方程组.
3.数学思想:数形结合.
教学反思