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初中21.5 一次函数与二元一次方程的关系第1课时教学设计及反思
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这是一份初中21.5 一次函数与二元一次方程的关系第1课时教学设计及反思，共5页。
课时目标
(一)教学知识点
1.体会一次函数与二元一次方程的关系.
2.学会利用函数图像解二元一次方程组.
(二)能力训练目标
1.尝试从不同角度看问题、分析问题、解决问题,进一步体会“数”与“形”结合的魅力.
2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.
学习重点
用图像法解二元一次方程(组)的具体方法.
学习难点
从函数角度看问题,用函数解方程(组).
课时活动设计
情境导入
1.二元一次方程x+y=1中有无数组解.
(1)你能列举出几组?(提示:最好是整数解).
解:x=-2,y=3,x=-1,y=2,x=0,y=1,x=1,y=0,x=2,y=-1,x=3,y=-2.(答案不唯一)
(2)以这些解为点的坐标,在直角坐标系中描点.
解:如图所示.
(3)观察这些点在一条直线上吗?(在一条直线上.)
(4)如果在一条直线上,它们在哪条直线上?(y=-x+1)
2.如图,在直角坐标系中,设点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(3,-2),经过点A,B画直线.直线AB上的点C(x0,y0)中,
(1)x0,y0之间有怎样的数量关系?
(2)x=x0,y=y0是不是方程x+y=1的一组解?请说明理由.
一起讨论归纳总结:
一般地,如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标,在直角坐标系中画点,那么这些点在一条直线上.反过来,如果取定这个方程的两组解,那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线,此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.
因此,以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上.
设计意图:目的是引导学生体会以二元一次方程的所有的解为坐标对应的点集,是坐标系里的一条直线,这条直线是一个一次函数的图像,从形的角度显示一次函数与二元一次方程的统一性.
一起探究
1.一次函数y=kx+b图像上的一个点的坐标是不是二元一次方程kx-y=-b的一组解?请说明理由.
2.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数y=-abx+cb的图像?请说明理由.
3.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?与同学交流你的看法.
事实上,我们把二元一次方程ax+by=c变形为y=-abx+cb后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x,y表示未知数时,ax+by=c就是二元一次方程;当x,y表示变量时,y=-abx+cb就是一次函数.并且,有如下结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
设计意图:目的是使学生搞清楚——第一,从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性;第二,从图像和解集对应的点集的重合,认识一次函数与二元一次方程的一致性.
做一做
1.方程2x+3y=5有多少组解?请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出各点.
2.在上题直角坐标系中画出函数y=-23x+53的图像.
3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数y=-23x+53的图像上?为什么?
是.理由:二元一次方程2x+3y=5的任意一个解,都满足一次函数y=-23x+53.
设计意图:从不同角度看问题,体会数与形的完美结合.让学生通过活动体会——二元一次方程与对应的一次函数,从坐标系里的图形角度看,是完全一致的.
练习
1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式,并画出这个一次函数的图像.
解:方程2x-3y=4的一次函数形式为y=23x-43.
画图像如图.
2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解,以方程的解为坐标在直角坐标系中画点,这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上?
解:x=0,y=-1,x=1,y=1,x=2,y=3.(答案不唯一)
画图像如图.
这些点都在一次函数y=2x-1的图像上.
设计意图:经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用.
思考
已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1,2).
(1)直接写出方程组ax-y=-5,y+x=b的解.x=1,y=2
(2)求a,b的值.(a=-3,b=3)
设计意图:通过这个活动,熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法,进一步提高学生多种角度解决数学问题的能力.
学以致用
直线y=-x+3与y=mx+n的图像的交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组x+y=3,-mx+y=n的解为 x=1,y=2 .
设计意图:让学生能快速识图,体会图像法解方程组的便捷性和优越性.
课堂小结
本节课从一元一次方程、二元一次方程与一次函数关联谈起,得出利用函数图像解决二元一次方程、二元一次方程(组)的具体方法及步骤,并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系,且通过函数观点把它们统一起来,根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用,为我们解决有关实际问题提供了更大的便利.
设计意图:在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂8分钟.
1.教材第108页习题A组第2题;B组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 一次函数与二元一次方程
1.一次函数与二元一次方程组.
2.图像法解二元一次方程组.
3.数学思想:数形结合.
教学反思
x
…
-2
-1
0
1
2
2.5
…
…
3
73
53
1
13
0
…
x
0
2
y
-43
0
课时目标
(一)教学知识点
1.体会一次函数与二元一次方程的关系.
2.学会利用函数图像解二元一次方程组.
(二)能力训练目标
1.尝试从不同角度看问题、分析问题、解决问题,进一步体会“数”与“形”结合的魅力.
2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.
学习重点
用图像法解二元一次方程(组)的具体方法.
学习难点
从函数角度看问题,用函数解方程(组).
课时活动设计
情境导入
1.二元一次方程x+y=1中有无数组解.
(1)你能列举出几组?(提示:最好是整数解).
解:x=-2,y=3,x=-1,y=2,x=0,y=1,x=1,y=0,x=2,y=-1,x=3,y=-2.(答案不唯一)
(2)以这些解为点的坐标,在直角坐标系中描点.
解:如图所示.
(3)观察这些点在一条直线上吗?(在一条直线上.)
(4)如果在一条直线上,它们在哪条直线上?(y=-x+1)
2.如图,在直角坐标系中,设点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(3,-2),经过点A,B画直线.直线AB上的点C(x0,y0)中,
(1)x0,y0之间有怎样的数量关系?
(2)x=x0,y=y0是不是方程x+y=1的一组解?请说明理由.
一起讨论归纳总结:
一般地,如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标,在直角坐标系中画点,那么这些点在一条直线上.反过来,如果取定这个方程的两组解,那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线,此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.
因此,以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上.
设计意图:目的是引导学生体会以二元一次方程的所有的解为坐标对应的点集,是坐标系里的一条直线,这条直线是一个一次函数的图像,从形的角度显示一次函数与二元一次方程的统一性.
一起探究
1.一次函数y=kx+b图像上的一个点的坐标是不是二元一次方程kx-y=-b的一组解?请说明理由.
2.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数y=-abx+cb的图像?请说明理由.
3.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?与同学交流你的看法.
事实上,我们把二元一次方程ax+by=c变形为y=-abx+cb后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x,y表示未知数时,ax+by=c就是二元一次方程;当x,y表示变量时,y=-abx+cb就是一次函数.并且,有如下结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
设计意图:目的是使学生搞清楚——第一,从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性;第二,从图像和解集对应的点集的重合,认识一次函数与二元一次方程的一致性.
做一做
1.方程2x+3y=5有多少组解?请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出各点.
2.在上题直角坐标系中画出函数y=-23x+53的图像.
3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数y=-23x+53的图像上?为什么?
是.理由:二元一次方程2x+3y=5的任意一个解,都满足一次函数y=-23x+53.
设计意图:从不同角度看问题,体会数与形的完美结合.让学生通过活动体会——二元一次方程与对应的一次函数,从坐标系里的图形角度看,是完全一致的.
练习
1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式,并画出这个一次函数的图像.
解:方程2x-3y=4的一次函数形式为y=23x-43.
画图像如图.
2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解,以方程的解为坐标在直角坐标系中画点,这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上?
解:x=0,y=-1,x=1,y=1,x=2,y=3.(答案不唯一)
画图像如图.
这些点都在一次函数y=2x-1的图像上.
设计意图:经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用.
思考
已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1,2).
(1)直接写出方程组ax-y=-5,y+x=b的解.x=1,y=2
(2)求a,b的值.(a=-3,b=3)
设计意图:通过这个活动,熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法,进一步提高学生多种角度解决数学问题的能力.
学以致用
直线y=-x+3与y=mx+n的图像的交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组x+y=3,-mx+y=n的解为 x=1,y=2 .
设计意图:让学生能快速识图,体会图像法解方程组的便捷性和优越性.
课堂小结
本节课从一元一次方程、二元一次方程与一次函数关联谈起,得出利用函数图像解决二元一次方程、二元一次方程(组)的具体方法及步骤,并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系,且通过函数观点把它们统一起来,根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用,为我们解决有关实际问题提供了更大的便利.
设计意图:在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂8分钟.
1.教材第108页习题A组第2题;B组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 一次函数与二元一次方程
1.一次函数与二元一次方程组.
2.图像法解二元一次方程组.
3.数学思想:数形结合.
教学反思
x
…
-2
-1
0
1
2
2.5
…
…
3
73
53
1
13
0
…
x
0
2
y
-43
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