2024年陕西省宝鸡市中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
2. 一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的展开图，可得答案．
【详解】圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟常见悉图形的展开图是解答本题的关键．
3. 如图，是等腰直角三角形，，若，则∠2的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键．由，，根据平行线的性质，可求得，根据是等腰直角三角形，得出，又由邻补角的定义，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
4. 若点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．根据题意，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，与相交于点O，若小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键．连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，进而可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选D
6. 已知在中，半径，则弦的长度为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质，先由同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出，结合半径相等，得出是等边三角形，即可作答．
【详解】解：连接，如图：
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴
故选：A
7. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，
∴时，y随x增大而减小，
∵C点关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：A．
第二部分 非选择题（共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是___________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据数轴从左到右表示的数越来越大，利用数轴上“左减右加”的平移规律即可得答案．
【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是2，将点A向左移动5个单位长度，得到点B，
∴点B表示的数是2-5＝-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查数轴，明确数轴上右边的数总比左边的数大的性质熟练掌握数轴上“左减右加”的平移规律是解题关键．
9. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：；
故答案为：
10. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，
∴，
∴这块正多边形地砖边数是：，
解得：，
故答案为：．
11. 如图，在矩形中，，，E是上一点，，与交于点F，则的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．利用勾股定理求出，再证明，设中边的高为x，则中边的高为，得出，再求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
设中边的高为x，则中边的高为，
∴，
解得：，
∴面积为，
故答案为：．
12. 若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，适合函数解析式的某点一定在函数的图象上．把P的坐标代入一次函数的解析式求得P的坐标，然后求得关于y轴的对称点，然后代入反比例函数的解析式即可求得答案．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
则P的坐标是：，P关于y轴的对称点是：，．
把代入反比例函数的解析式得：
解得：．
故答案为：．
13. 如图，点P为上一动点，点A为圆内一点，且满足，当最大时，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆的基本性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键，先过作于，，可得最大，则最大，再进一步解题可得答案．
【详解】解：如图，过作于，，
∴，
∴最大，则最大，
∴此时，
∴，
故答案为：
三、解答题（共14小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键．
15. 解不等式，并写出它的所有正整数解．
【答案】，不等式的正整数解为1，2．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，进而确定出正整数解即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号，得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
则不等式的正整数解为1，2．
16. 化简：；
【答案】2
【解析】
【分析】先通分括号内的式子，计算加法，再算括号外的除法即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17. 如图，在中，M为边延长线上一定点，用尺规作图法在边的延长线上求作一点N，使得（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，利用尺规作即可．
【详解】如图，点N即为所求．
18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形性质等知识，由菱形性质结合条件，利用全等三角形的判定与性质即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：在四边形是菱形，，
，
，
在和中，
，
∴．
19. 学校为促进“篮球体育运动社团”的开展，准备添置一批篮球，原计划订购80个，每个售价150元，商店表示：如果多购可以优惠，最后校方买了100个，每个只售140元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价．
【答案】每个篮球的成本价为100元
【解析】
【分析】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答．设每个篮球的成本价为x元，根据“商店所获利润不变”列出方程并解答．
【详解】解：设每个篮球的成本价为x元，
由题意得．
解得．
答：每个篮球的成本价为100元．
20. 如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1、图2），会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留π）
吧
【答案】36πcm3；48πcm3．
【解析】
【详解】分析：绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，从而计算体积即可；绕宽旋转得到的圆柱底面半径为6cm，高为4cm，从而计算体积即可．
详解：如图1，绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，体积=π×32×4=36πcm3；
如图2，绕短边旋转得到的圆柱底面半径为4cm，高为3cm，体积=π×42×3=48πcm3．
故图2的方式得到的几何体的体积大.
点睛：本题考查了点、线、面、体的知识，熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键，另外要掌握圆柱的体积计算公式．
21. 如图，一个可以自由转动的圆形转盘被互相垂直的一条半径和直径分成了3个分别标有数字的扇形区域，转动转盘，待转盘自动停止后指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的边界线，则不计为转动次数，重新转动转盘，直到指针指向扇形内部为止）
（1）转动转盘一次，转出的数字是-1的概率为______．
（2）转动转盘两次，用画树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为负数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）延长竖向的半径，使之分成四种等可能性，-1,1,2,2，计算概率即可；
（2）利用画树状图的方式计算概率即可
【详解】解：（1）根据题意，完善如下：
一共有4种等可能性，-1是一种可能性，
∴转出的数字是-1的概率为；
故答案为：；
（2）根据（1）得,有四种等可能性，画树状图如下：
∵共有16种结果，每种结果出现的可能性相同．
其中，积为负数的结果有6种：分别为，，，，，
∴
∴转动转盘两次，转出数字之积为负数的概率是．
【点睛】本题考查了根据公式计算概率，画树状图法求概率，熟练掌握概率计算的前提条件，灵活选用方法计算概率是解题的关键．
22. 某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表所示：
（1）求表中x的值；
（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可求解；
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树幼苗棵树概率可得出结论．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率；
这种种子在此条件下发芽的概率约为．
【小问3详解】
若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备（粒种子进行发芽培育．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握：频率所求情况数与总情况数之比．
23. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，则，，解，得出，那么，再证明，因此得出，再求出即可.
【详解】如图，过点作于点，则，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
由反射角等于入射角得,
∴,
∴，即，
解得
∴
∴这棵树高18米.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键.
24. 经实验研究表明，女生在一定的成长阶段，身高越高，鞋码就越大，通过测量研究，发现鞋码y（码）是身高的一次函数．已知身高为时，鞋码为32码；身高为时，鞋码为37码．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当在这一成长阶段女生为时，其鞋码是多少？
【答案】（1）
（2）鞋码是码
【解析】
【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
（1）设，利用待定系数法解答即可；
（2）把代入（1）的结论解答即可．
【小问1详解】
解：设，
根据题意，得，
解之，得，
∴；
【小问2详解】
当时，．
∴当在这一成长阶段女生为时，其鞋码是码．
25. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分．
（1）求证：平分，并求的大小；
（2）过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长．
【答案】（1）证明见解析，
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，进而可得，再证，推出是圆的直径，可得；
（2）先证，是等边三角形，进而证明和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，即可求出半径．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是圆的直径，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵平分，
∴．
∵是圆的直径，
∴，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是圆的直径，
∴半径的长为．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质等，解题的关键是推导得出和是含30度角的直角三角形．
26. 如图，抛物线经过点和，与y轴交于点C，它的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点 P、点E的坐标．
【答案】（1）
（2）点或，点或
【解析】
【分析】（1）由题意，利用待定系数法解答；
（2）分别解得A、B、C的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以为顶点的三角形与全等，据此再分两种情况讨论：当点P在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可．
【小问1详解】
解：将点和代入抛物线中，
，
；
【小问2详解】
令y=0，则
令
抛物线的对称轴为直线，且，
当时，以为顶点的三角形与全等，如图，

设
当点P在抛物线对称轴的右侧时，
或
当点P在抛物线对称轴的左侧时，
由抛物线的对称性得，此时点E的坐标同上，
综上所述，点或，点或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，充分利用数形结合与分类讨论的思想方法解题．
27. 【问题提出】
（1）如图1，已知在平面直角坐标系中，点P为x轴正半轴上一动点，，，过点P作x轴垂线交直线于点Q，当周长最小时，求点Q的坐标；
【问题解决】
（2）某实验室的设计平面图建立在平面直角坐标中如图2，已知坐标系中每个单位长度表示为1米，，，且满足，，现在将设计一个温度控制室，点M、N分别建立在y轴与x轴上，米，点P是温度传感收集设备且为线段的中点，线段与是两条线性传感器，由于传感器的价格昂贵，现在要满足设计要求的同时，使得最小，是否有满足条件的P，若有，求出点P坐标并说明理由，求出此时四边形的面积；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）如图，作关于轴的对称点，连接，则，证明当三点共线时，周长最短，再结合一次函数的性质可得答案；
（2）如图，作直线，作关于的对称点，则，可得当三点共线时，，此时最短，过作于，而，，求解，设，，为的中点，，当最短时，，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接，则，
∵，，
∴，，
而，
∴当三点共线时，周长最短，
设为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，则，
∴，
同理可得：直线为，
当时，；
∴．
（2）存在，理由如下：
如图，作直线，作关于的对称点，则，
当三点共线时，，此时最短，
过作于，而，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，为的中点，，
∴，，
∴
，
∵当，，则，且时取等号，
∴当时，取得最小值，
∴此时，
∵，
解得：，
∴，
连接，
∴，
∵
∴；
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，选择合适的方法，作出适当的辅助线是解本题的关键．
试验的种子粒数（n）
500
1000
1500
2000
3000
4000
发芽的种子粒数（m）
471
946
1425
1898
2853
3812
发芽频率
x