江苏省南京市秦淮区钟英中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 为了解某校2500名师生员工的新冠病毒感染情况，抽查了其中500名人员进行核酸检测．下面叙述正确的是（ ）
A. 2500名人员是总体B. 500名人员的核酸检测情况是总体的一个样本
C. 每名人员是总体的一个个体D. 以上调查是全面调查
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可．
【详解】2500名师生员工的新冠病毒感染情况是总体，A错误；
500名人员的核酸检测情况是总体的一个样本，B正确；
每名人员新冠病毒感染情况是总体的一个个体，C错误；
以上调查是抽样调查，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、以及普查和抽样调查，理解总体、个体、样本的意义是判断的关键．
3. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C. 如果，那么
D. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形是随机事件；
C、如果a2=b2，那么a=b是随机事件；
D、13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月是必然事件；
故选D．
【点睛】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 如图，在中，、交于点，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质首先求得和的长，然后在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】在中，、交于点，，，
，．
在中，，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，以及勾股定理，掌握定理是解题的关键．
5. 下列调查中，更适合普查的是（ ）
A. 某本书的印刷错误B. 某产品的使用寿命
C. 某条河中鱼的种类D. 大众对某电视节目的喜好程度
【答案】A
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．某本书的印刷错误，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
B．某产品的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C．某条河中鱼的种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
D．大众对某电视节目的喜好程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 如图①，四边形中，若，，四边形称为筝形．根据我们已经知道四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图②所示，则在图②中用圆形阴影画出筝形的大致区域正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据筝形定义，再根据与平行不平行进行分类讨论，得出结论即可．
【详解】解：当与不平行时，筝形为一般的四边形；
当时，
连接，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
同理，
因为，
所以，
所以，
筝形为菱形，若，此时筝形为正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形和正方形的判定，解题关键是熟练利用特殊平行四边形的判定定理进行证明．
二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7. 某小区要了解成年居民的学历情况，应采用_____方式进行调查．
【答案】全面调查
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的区别即可求解．
【详解】解：某小区要了解成年居民的学历情况，应采用全面调查方式进行调查，
故答案为：全面调查．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查的判断，熟练掌握全面调查与抽样调查的区别是解题的关键．
8. 一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是_____________事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
【答案】必然.
【解析】
【详解】解：从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是必然事件
故答案为：必然．
【点睛】本题考查随机事件．
9. 在整数 20230327 中，数字“0”出现的频率是______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据频率的计算公式：频率频数除以总数进行计算即可．
【详解】解：数字“0”出现的频率是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算方法．
10. 一个不透明的袋中装有3个红球，2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球至少有1个红球”是__事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】必然
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】∵红球和黑球除颜色外其余都相同且黑球只有2个，
∴从中任意摸出3球，至少有一个为红球，
即事件“摸出的球至少有1个红球”是必然事件，
故答案为：必然．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题关键．
11. 如图是某冷饮店一天售出各种口味蛋糕数量的扇形统计图，其中售出奶油口味的雪糕150支，那么售出红豆口味雪糕的数量是_____支．
【答案】200
【解析】
【分析】根据扇形统计图中的数据，可以求得售出红豆口味雪糕的数量．
【详解】解：由题意可得，
售出红豆口味雪糕的数量是：150÷30%×40%＝200（支），
故答案为200．
【点睛】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12. 某学校为了解ZS中学4000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_______人．
【答案】1360
【解析】
【分析】用2000乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解：，
所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有1360人．
故答案为：1360．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．
13. 如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，进而得出，，根据已知条件，等边对等角，等量代换可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14. 如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得的长，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，记对角线的交点为O，
∵四边形是菱形，对角线，的长分别是，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出的长是解题关键．
15. 如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，设与交于点，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质得出，在直角中，由勾股定理得出的长即可求解．
【详解】解：如图，连接，设与交于点，

，平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
直角中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
16. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为_____．
【答案】或9
【解析】
【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=15，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点 A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=9，可计算出CF=6，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时四边形ABEF为正方形，易得BE．
【详解】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
∴AC==15，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=9，
∴CF=15-9=6，
设BE=x，则EF=x，CE=12-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+62=（12-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=9．
综上所述，BE的长为或9．
故答案为或9．
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三．解答题（ 共68分）
17. 如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．
【答案】（1）答案见解析；（2）如：，等．
【解析】
【分析】（1）连接，再分别作的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，可得出结论．
【详解】解：（1）如下图所示，点即为所求．
（2）如：，等．
【点睛】本题考查知识点是作图中的旋转变换，掌握作旋转变换图形的一般步骤是解此题的关键．
18. 为增强学生环保意识，科学实施理类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”．首轮每位学生答题39题，随机抽取了部分学生竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的_______，_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形图中A所对的圆心角的度数是_______；
（4）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于32个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛全校顺利进入第二轮的学生人数有多少个？
【答案】（1）30，20
（2）见解析 （3）
（4）全校顺利进入第二轮的学生大约有300人
【解析】
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出调查总数，进而求出组、组的频数，即可得到答案；
（2）根据频数补全条形统计图即可；
（3）根据组所占百分比乘以即可得到答案；
（4）求出答题正确个数不少于32个的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
调查总数为：
（人），
（人），（人），
故答案为：30，20；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如下：
；
【小问3详解】
解：根据题意可得：
，
扇形图中A所对的圆心角的度数是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：根据题意可得：
（人），
答：全校顺利进入第二轮的学生大约有300人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
19. 在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）学生利用数学实验分组做摸球试验：现将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
（1）按表格数据格式，表中的__________，__________；
（2）请推算：摸到红球的概率是__________（精确到0.1）；
（3）试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【答案】（1）126，0.406
（2）0.6 （3）15
【解析】
【分析】（1）用摸球的次数乘以频率求出频数a，用摸到的频数除以摸球的次数得到频率b；
（2）利用频率估计摸到白球的概率即可得到答案；
（3）根据题意列方程求解即可．
【小问1详解】
，；
故答案为：126，0.406；
【小问2详解】
当次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.40,
∴摸到红球的概率是，
故答案为：0.6；
【小问3详解】
根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，频数与总数、摸到的次数的关系，列分式方程解决实际问题，正确理解频率与概率的关系是解题的关键．
20. 如图，平行四边形中，、分别是边、的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明四边形是平行四边形即可作答．
【详解】解：在中，，，
∵、分别是边、的中点，
∴，
∴结合，可得四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于基础题型
21. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
22. 如图，点在直线外，点在直线上．在上求作一点，在外求作一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形．（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）

【答案】见解析
【解析】
【分析】结合菱形的性质，分别画出以，，为对角线时的菱形即可．
【详解】解：当画以为对角线的菱形时，
如图，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交点右侧的直线于点，
再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可，
；
当画以为对角线的菱形时，
如图，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交点右侧的直线于点，
再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即可，
；
当画以为对角线的菱形时，
如图，连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，
再以点为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，连接，，即可，
；
综上所述：如图均为所求的菱形．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
23. 如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，和分别为、的中点，连接、、、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？给出你的结论并证明；
（3）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，若，，，则的面积______（请直接写出结果）．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由中位线定理，可得，，且都等于边长的一半．分析到此，此题证明即可；
（2）当时，由证明≌，得出，证出，即可得出四边形是矩形；
（3）根据三角形的中线的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：边、上的中线、相交于点，、分别是、的中点，
且，且，
且，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：当时，四边形为矩形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，，，
，
四边形是矩形；
【小问3详解】
解：，，分别为中点，设图中各小三角形的面积分别为，，，

由于等积，得，
，同理可得，
，
，延长到，
可得，，
，
是直角三角形，且面积为，
，
的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
24. 利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在中，是中线．
求证：___________．
证明：
【答案】求证：；证明见解析
【解析】
【分析】延长CO至点E，使CO=OE，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得
【详解】求证：；
证明：延长至使得，连接，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形为矩形，
，
即．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
25. 如图，在中，E、F分别是的中点，的角平分线交于点M，的角平分线交于点N，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当时，四边形是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到根据线段的中点的定义得到由角平分线的定义得到．根据全等三角形的性质得到．于是得到结论；
（2）根据证明四边形是矩形的判定定理逐步分析即可解答．
【小问1详解】
证明：在中，，,
∵E、F分别是的中点，
∴,
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵平分，平分．
∴．
∵．
∴，
在和中,，
∴
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：由（1）知四边形是平行四边形．要证是矩形，只要证．由已知条件知，故只要证．易证，故只要证，即证，故只要证．易证，所以 当时，四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、角平分线的定义，平行四边形的判定定理，根据题意得出证明矩形的方法是解题关键．每周课外阅读时间x（小时）
人数
7
10
14
19
组别
正确个数
人数
10
15
25
摸球的次数
150
300
600
900
1260
1500
摸到白球的频数
60
247
365
484
609
摸到白球的频率
0.400
0.42
0.412
0.406
0.403
由（1）知四边形是平行四边形．要证是矩形，只要证．由已知条件知，故只要证．易证 ，故只要证，即证，故只要证 ．易证，即可得证．