江苏省泰州市姜堰区第四中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学考试试题（原卷版+解析版）

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1. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项合题意；
B、既不是轴对称图形, 也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 如果向东走7步记作步，那么向西走5步记作（ ）
A. 步B. 步C. 步D. 步
【答案】A
【解析】
【分析】据正负数表示相反的意义可得答案．
【详解】解：如果向东走7步记作步，那么向向西走5步记作步．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A、D选项是二次根式的加减运算，需要看是否是同类二次根式，即可判断；B、C选项是二次根式的乘除运算，只需要按二次根式的乘除运算的法则进行运算即可．
【详解】A． 和 不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算法则，解题的关键是牢记二次根式的加减乘除运算法则，并能灵活应用．
4. 第七次全国人口普查数据显示，新昌县常住人口约为人，这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
5. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
6. 二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③方程有两个不相等的实数根；
④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数与x轴交于，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，即，故①正确；
∵当时，，
∴，故②错误；
∵二次函数开口向上，
∴，
由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴当时，有，
∴，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 单项式的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用单项式系数的定义分析得出答案．
【详解】解：单项式的系数是
故答案为：
【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
8. 因式分解：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为：．
9. 不等式组：的解集是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
10. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：；
∵分式方程有增根，
∴，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11. 已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的侧面展开图的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解题的关键，根据圆锥的侧面积公式：，即可得圆锥的侧面展开图的面积．
【详解】解：∵圆锥的侧面展开图的扇形，
∴，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为，
故答案为：．
12. 小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡度，根据题意画图，过点作于点，由坡度得到，再利用勾股定理即可求解，熟练掌握坡度及勾股定理．
【详解】如图，过点作于点，则由题意得米，
∵坡度 ，
∴，即，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴米，即他距离地面的垂直高度上升了米，
故答案为：．
13. 是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
∴
故答案为：
14. 已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的图像可得，再代入解不等式即可得．
【详解】解：由一次函数的图像得：，即，
代入得：，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．
15. 在反比例函数中，已知四边形与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，则点，点，由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于的二元二次方程组，解之取均为正值的解即可．
【详解】解：设，则点，点，
∵反比例函数的图像过点，
∴，
解得：或（舍去）
或（舍去）或（舍去）
∴，，
故点C的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及解二元二次方程组，根据反比例函数图像上点的坐标特征找出关于的二元二次方程组是解题的关键．
16. 如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
将代入可得，原式．
【点睛】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
18. 某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息：
女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11；
男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8．
通过以上数据得到如下不完整的统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩），据此他判断20名参赛同学得分的中位数，你认为他的判断正确吗？并说明理由；
（3）若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）8，20
（2）小强的判断是错误的，理由见解析
（3）变大
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数，方差的意义：
（1）根据众数的定义，即可求解；
（2）根据众数的定义，即可求解；
（3）根据题意可得改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分，
设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h，分别求出原来的方差，改变规则后10名女生成绩的方差，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：男生组中8分出现的次数最多，
∴，
根据题意得：，
即；
故答案为：8；20
【小问2详解】
解：小强的判断是错误的，理由如下：
根据题意得：女生组参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数为10，
∴，
∴，
根据题意得：这20名参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数均为9，
∴这20名参赛同学得分的中位数为，
∴小强的判断是错误的；
【小问3详解】
解：根据题意得：每个人成绩均变为原来的2倍，
∴改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分，
设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h，
原来的方差为
改变规则后10名女生成绩的方差为
，
∴10名女生成绩的方差将变大．
故答案为：变大
19. 从2025年起，云南省高考将采用“3+1+2”新模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小红在“1”中选择了物理，在“2”中选择了生物，则她选择化学的概率是_________．
（2）若小军在“1”中选择了历史，用画树状图或者列表的方法求他在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．选中思想政治、地理的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中“思想政治”“地理”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
在“2”中已选择了生物，从剩下化学、地理，思想品德三科中选一科，
∴小红选择生物的概率为；
故答案为：；
小问2详解】
把化学、生物、思想政治、地理4科分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小红选中“思想政治”“地理”的结果有2种，
∴小红选中“思想政治”“地理”的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上．
（1）在图①中，______；（填两数字之比）
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段上找一点，使；
②如图③，在线段上找一点，使．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可求得；
（2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形判定和性质即可得解；
②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解．
【小问1详解】
解：∵，，且，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①点如图所示，
；
②点如图所示，
．
21. 如图，当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时，的取值范围；
（3）若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）把代入，可求得点，然后把代入，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据图象和当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点，即可得当时，的取值范围；
（3）把代入反比例函数，可求得，由直线向上平移后经过点，可得直线BC的解析式为，即可得，过点A作AD平行y轴交直线BC于点D，可得，然后根据即可求得答案．
【小问1详解】
解：把代入，
得：，
∴，
把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象可知，当时，的取值范围是；
【小问3详解】
解：把代入反比例函数，
得：，
解得：，
∴，
∵直线向上平移后经过点，交轴于点，
∴设直线BC的解析式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点A作AD平行y轴交直线BC于点D，
∵直线BC的解析式为，，
∴当时，；当时，；
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次（反比例）函数的解析式、平移的性质、铅锤法求三角形的面积等，熟练掌握一次（反比例）函数图象与性质、数形结合思想的应用以及铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
22. 某校八年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》项目学习．以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，为家人选择合适的手机资费套餐活动报告
一、收集信息
收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐．
甲套餐：月租费 8 元，送 30 分钟通话时间，超出的部分按每分钟元计；
乙套餐：月租费 29 元，通话费按每分钟元计．
二、[建立模型]
1．发现每月的手机资费 y（元）与通话时间 x（分）之间存在函数关系，请写出 y 与 x之间的关系式；
2．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中 A 点表示的实际意义是 ．
三、[解决问题]
小露同学如何选择才能更省钱？
【答案】[建立模型]1、甲套餐的函数关系为，乙套餐：；2、当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
[解决问题] 当通话时间小于190分钟时选择甲套餐更省钱；当通话时间大于190分钟时，选择乙套餐更省钱．当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费一样．
【解析】
【分析】[建立模型]1．根据甲、乙套餐的收费标准列出函数关系式，即可解答；
2．分析图象即可得到答案；
[解决问题]分析函数图象即可得到结果．
【详解】[建立模型] 解：1、根据题意得：甲套餐：当时，，
当时，函数关系为，
即甲套餐的函数关系为；
乙套餐：；
2．由图象得：图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
故答案为：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
[解决问题]解：由函数图象得：当通话时间小于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的下方，此时选择甲套餐更省钱；
当通话时间大于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的上方，此时选择乙套餐更省钱．
当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费一样．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，建立一次函数模型，理解函数图象交点坐标的实际意义是解题关键．
23. 如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）先证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出答案；
（2）先证明，得出，根据，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角对应相等的两个三角形相似．
24. 教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：
（注：利润率=利润/成本）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价的增大而增大，请直接写出的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
（3）
【解析】
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．
【小问1详解】
解：设，
由题意得：当时，，当时，，
∴，
解之得，
∴；
【小问2详解】
解：设每天利润为w元，由题意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
【小问3详解】
解：设表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】（1）正方形，见解析
（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【小问1详解】
解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
【小问2详解】
：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）试判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数的图象的“等值点”为点和点．
已知实数、满足，，且，求的值；
已知实数、满足，，且，求的值；
若函数的图象记为将其沿直线翻折后的图象记为，由，两部分组成的图象记为，试求图象上的“等值点”．
【答案】（1）存在，“等值点”的坐标为
（2）①；②；③图象上的“等值点”为和
【解析】
【分析】（1）根据“等值点”的定义，解方程即可，注意；
（2）根据，，变形得到，，可知，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，求出、代入即可；
仿照的做法，注意把当成一个整体；
先求出的表达式，再求出它的“等值点”，注意的范围，最后求上的“等值点”．
【小问1详解】
解：函数的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为理由如下：
函数的图象上若存在“等值点”，则，
，
，，
，
，
函数的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为
【小问2详解】
实数、满足，，
，，
，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，
，或，，
当，时，，
当，时，，
．
实数、满足，，
，，
，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，
，或，，
当，时，，
当，时，，
．
函数的顶点为，它关于直线对称的点为，
的函数表达式为，
，
或舍，
上的“等值点”为
函数的图象的“等值点”为点．
图象上的“等值点”为和
【点睛】本题在新定义下考查了两个函数图象交点与方程的关系，渗透了数形结合和整体的思想．分组
平均数
中位数
众数
女生组
8.5
a
10
男生组
9
8.5
b
销售单价（元/件）
60
70
75
每天销售量（件）
240
180
150