物理人教版 (2019)1 圆周运动学案设计

这是一份物理人教版 (2019)1 圆周运动学案设计，共18页。

2．掌握竖直面内圆周运动的受力特点和分析解决方法。
水平面内圆周运动问题
1．常见运动模型分析
2．解决圆周运动临界问题的一般思路
(1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。
(2)分析该状态下物体的受力特点。
(3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。
【典例1】 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，g为重力加速度，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小。
[解析] (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零，此时角速度达到最大，如图甲所示，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω02r，得ω0＝μgr。
(2)当ω＝3μg2r时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，如图乙所示，此时F＋μmg＝mω2r，代入数据解得F＝12 μmg。
[答案] (1)μgr (2)12 μmg
[跟进训练]
1．(2022·福建厦门六中高一检测)如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转平台上随平台一起做匀速圆周运动，三个物体与旋转平台间的动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离转轴的距离均为R，C距离转轴2R，以下说法正确的是( )
A．若转速加快，A最先相对平台滑动
B．若转速加快，C一定不会最先相对平台滑动
C．若都没相对平台滑动，则向心加速度aA＝aC>aB
D．若都没相对平台滑动，则摩擦力fA＝fC>fB
D [A、B、C同轴转动，则角速度相等，向心力Fn＝mω2r，可知A、C所需向心力大小相等；由于最大静摩擦力f＝μN＝μmg，可知A的最大静摩擦力大于C的最大静摩擦力，所以当平台转速增加时，C比A先滑动；同理可得A、B同时滑动，故选项A、B错误。若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体的角速度相等，根据an＝rω2可知，C的轨道半径最大，C的向心加速度最大，A、B的向心加速度相等，即aC>aB＝aA，故选项C错误；若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，fA＝2mRω2，fB＝mRω2，fC＝2mRω2，可知B物体所受的摩擦力最小，A、C物体所受的摩擦力相等，即fA＝fC>fB，故选项D正确。]
2．(2022·广东广州高一下联考)市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其简化模型如图乙所示。已知配重(可视为质点)质量m＝0.5 kg，绳长为L＝0.4 m，悬挂点到腰带中心的距离为r0＝0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，此时绳子与竖直方向夹角为θ。配重运动过程中腰带可看作不动，重力加速度取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )

A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力变大
C．配重的角速度是120 rad/s
D．θ为37°
B [匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，其大小不变，但方向变化，故配重受到的合力改变，故A错误。以配重为研究对象，其受到重力和拉力，如下图甲所示，在竖直方向，根据平衡条件可得T cs θ＝mg，配重转速增大，θ增大、T增大；设腰带的质量为M，对腰带进行受力分析，如下图乙所示，在水平方向，根据平衡条件可得N＝T sin θ，若增大转速，T和θ都增大，则腰受到腰带的弹力变大，故B正确。计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，可得转动周期T＝1120 min＝0.5 s，角速度ω＝2πT＝2π0.5 rad/s＝4π rad/s，故C错误。根据图甲结合牛顿第二定律可得mg tan θ＝mr 4π2T2，由题意知r＝r0＋L sin θ，联立可得θ不等于37°，故D错误。
]
竖直平面内圆周运动的问题
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型分析对比
轻绳模型
【典例2】 (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度是0
C．小球刚好通过最高点时的速度是gR
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
AC [设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝mv2R。当FT＝0时，v＝gR，故A正确；当v＜gR时，FT＜0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>gR时，FT＞0，小球能沿圆弧通过最高点，可见，gR是小球能沿圆弧通过最高点的临界条件，故C正确。]
轻杆模型
【典例3】 如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。
(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于gL，求此时杆A端的受力大小和方向；
(3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况？若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。
[解析] (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则A球的重力提供向心力
即mg＝mv2L，解得v＝gL。
(2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为gL，
对A球有TOA－mg＝mv'2L
解得TOA＝2mg，方向竖直向上
由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。
(3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点，且此时杆对A、B均表现为拉力。
对B球有TOB′＋2mg＝2mvB2L
对A球有TOA′－mg＝mvA2L
O轴不受力时，TOA′＝TOB′，又有vA＝vB
解得vA＝vB＝3gL。
[答案] (1)gL (2)2mg，方向竖直向下 (3)O轴能不受力 3gL 3gL
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
[跟进训练]
3．某游乐场中的“过山车”有两个半径分别为r1、r2的圆形轨道，固定在竖直平面内，如图所示，某游客乘坐的小车从倾斜轨道上滑下，连续经过两圆形轨道的最高点O、P时速度大小分别为v1、v2，若在这两点，小车对轨道的压力都为零，则v1∶v2为( )
A．r1r2 B．r1r2 C．r2r1 D．r2r1
B [在这两点，小车对轨道的压力都为零，则mg＝mv12r1，mg＝mv22r2，则v1v2＝r1r2，故选B。]
4．(多选)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是( )
A．v的极小值为0
B．v由零逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值gR逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值gR逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
ABC [当v较小时，对小球通过最高点，由牛顿第二定律mg－FN＝mv2R，代入FN＝mg可得，等式成立，说明v的极小值可以为0，故选项A正确；当v较小在0～gR范围内变化时mg－FN＝mv2R可知，FN随着v的减小而逐渐增大，随着v的增大而逐渐减小；当v在大于gR范围内逐渐变大时，由mg＋FN＝mv2R可知，FN随着v的增大而逐渐变大，故选项B、C正确，D错误。故选ABC。]
素养提升练(三) 水平面和竖直平面内的圆周运动
一、选择题
1．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
B [“水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝gL，由此可知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，处于完全失重状态，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。]
2．小明家餐桌的上面一层是半径为40 cm的转盘，餐具放在上面可随盘绕盘中心的转轴转动，已知菜碟和转盘表面间的动摩擦因数为0.64。妈妈将一碟菜放在转盘边缘后离开了，调皮的小明转动转盘，结果菜碟从转盘上滑落。若转盘的转动可认为是匀速转动，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则小明转动转盘的角速度至少为( )
A．16.0 rad/s B．4.0 rad/s
C．2.56 rad/s D．1.6 rad/s
B [菜碟放在转盘边缘随转盘一起转动时，由静摩擦力提供菜碟做圆周运动的向心力，随着角速度的增大，静摩擦力也逐渐增大，当静摩擦力达到最大值时，有μmg＝mω2r，代入数据解得ω＝4.0 rad/s，故选B。]
3．(多选)(2022·广东广州四十七中高一期中)如图所示，在粗糙木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块所受的合外力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先减小后增大
D．从b到a，物块处于超重状态
CD [在cd两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个作用，选项A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，选项B错误；从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物体处于超重状态，选项D正确。]
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L(LA．μMg-mgmLB．μgL
C．μMg+mgMLD．μMg+mgmL
D [当转盘以最大角速度转动时，绳子的拉力等于甲的最大静摩擦力，绳的拉力和乙所受的最大静摩擦力的合力提供乙做圆周运动的向心力，以M为研究对象，F＝μMg，以m为研究对象，F＋μmg＝mLω2，可得ω＝μMg+mgmL，选项D正确。]
5．(多选)如图所示，质量为m的小环套在竖直平面内半径为R的光滑大圆环轨道上做圆周运动。小环经过大圆环最高点时，下列说法正确的是( )
A．小环对大圆环的压力可以等于mg
B．小环对大圆环的拉力可以等于mg
C．小环的线速度大小不可能小于gR
D．小环的向心加速度可以等于g
ABD [当小环对大圆环的压力等于mg时，对小环受力分析有mg－N＝mv2r，解得v＝0，A正确，C错误；当小环对大圆环的拉力等于mg时，对小环受力分析有N＋mg＝mv2r，解得v＝2gr，B正确；当小环与大圆环没有相互作用力时，对小环受力分析有mg＝ma，解得a＝g，D正确。]
6．长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力
C．24 N的拉力 D．24 N的压力
B [设小球以速率v0通过最高点时，小球对杆的作用力恰好为零，即mg＝mv02L，得v0＝gL＝10×0.50 m/s＝5 m/s。由于v＝2.0 m/s<5 m/s，可知过最高点时，小球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示为小球的受力情况图，由牛顿第二定律有mg－FN＝mv2L，得FN＝mg－mv2L＝3.0×10 N－3.0× N＝6.0 N，由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。]
7．(2022·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成，把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )
A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅给人的力一定小于重力
D．丁图中，若轨道车过最高点的速度大于gR，座椅一定给人向上的力
B [在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得mg－N1＝mv2R，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得mg＋F＝mv2R，即座椅给人施加向下的力，故A错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，N2－mg＝mv2R，座椅一定给人的力大于重力，故C错误；设竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律mg＋N3＝mv2R，当v>gR时N>0，可知座椅一定给游客向下的力，故D错误。]
8．(多选)如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)，静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为L，b到转轴的距离为2L，物块与盘面间的动摩擦因数为32，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是( )
A．a在最高点时所受摩擦力不可能为0
B．a在最低点时所受摩擦力不可能为0
C．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝g8L
D．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝g4L
ABC [设在最高点，a若所受的摩擦力为零，则靠重力沿圆盘的分力提供向心力，有mg sin θ＝mLω2，在最低点，有f－mg sin θ＝mLω2，联立解得最低点的摩擦力f＝mg，而最大静摩擦力fm＝μmg cs θ＝0.75mg，可知a在最高点和最低点的摩擦力都不能为零，故A、B正确；对a在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cs 30°－mg sin 30°＝mLω2，解得a开始滑动的临界角速度ω＝g4L，对b在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cs 30°－mg sin 30°＝m·2Lω′2，解得b开始滑动的临界角速度ω′＝g8L，故a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为g8L，故C正确，D错误。故选ABC。]
二、非选择题
9．如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：
(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
[解析] (1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有μ·2mg＝2mω12·2l
解得ω1＝μg2l
故角速度为μg2l时，绳上刚好出现拉力。
(2)当A、B所受的摩擦力均达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，
对A有μmg－T＝mω22l
对B有μ·2mg＋T＝2mω22·2l
联立解得ω2＝3μg5l
故角速度为3μg5l时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
[答案] (1)μg2l (2)3μg5l
10．如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m，电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？
(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？
[解析] (1)当重锤运动到最高点，连接杆的拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面
有FT＝Mg
对重锤有mg＋FT＝mω2R
解得ω＝M+mgmR＝30 rad/s。
(2)在最低点，对重锤有FT′－mg＝mω2R
则FT′＝Mg＋2mg
对打夯机有
FN＝FT′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N
由牛顿第三定律得FN′＝FN＝1 500 N。
[答案] (1)30 rad/s (2)1 500 N
11．如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长L＝2 m的细绳悬挂一质量m＝1 kg的小球，圆锥顶角2θ＝74°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。求：
(1)当小球以ω1＝1 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小；
(2)当小球以ω2＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小。
[解析] (1)设小球刚要离开锥面时的角速度为ω0，此时锥面对它的支持力为零，根据牛顿第二定律，得mg tan θ＝mω02L sin θ
代入数据解得ω0＝2.5 rad/s
当ω1＝1 rad/s<2.5 rad/s时，小球没有离开锥面，对小球进行受力分析，如图甲，水平方向根据牛顿第二定律，得
FTsin θ－FNcs θ＝mω12L sin θ
竖直方向根据平衡条件，得
FTcs θ＋FNsin θ＝mg
联立并代入数据解得FT＝8.72 N。
(2)当ω2＝5 rad/s>2.5 rad/s时，小球离开锥面，设细绳与竖直方向的夹角为β，对小球进行受力分析，如图乙，根据牛顿第二定律，得
FT1sin β＝mω22L sin β
解得FT1＝50 N。
[答案] (1)8.72 N (2)50 N
模型
圆盘模型
圆锥摆模型
图示
分析
静摩擦力Ff提供向心力，由Fn＝Ff＝μmg＝mv2R得，最大速度v＝μgR
弹力(细线拉力或斜面弹力)和物体重力的合力提供向心力
①Fn＝F合＝mg tan θ
②Fn＝F合＝mgtanα
项目
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
v临＝gr
v临＝0
讨论分析
(1)能过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v＜gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜gr时，mg－FN＝mv2r，FN背离圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝gr时，FN＝0
(4)当v＞gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线