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人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律4 机械能守恒定律学案设计
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律4 机械能守恒定律学案设计，共25页。
2．掌握推导机械能守恒定律的方法。
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解守恒条件。
4．掌握运用机械能守恒定律解决问题的方法。
追寻守恒量
1．伽利略的斜面实验探究如图所示。
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上。
(2)实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。
(3)实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2．动能与势能的相互转化。
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，动能转化为重力势能。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则弹性势能增加，物体的动能减少，动能转化为弹性势能。
(3)机械能：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下(忽略轨道的阻力和其他阻力) 。
【问题】
(1)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)动能和势能怎么变化？
(3)过山车下滑过程中动能与势能的和怎样变化吗？
提示：(1)过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功。
(2)动能增加，重力势能减少。
(3)动能与势能的和不变。
1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等。
2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，弹性势能与动能之和不变。
3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，重力势能、弹性势能与动能之和不变。
【典例1】 (多选)奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法正确的是( )
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加
ACD [加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。]
[跟进训练]
1．如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是( )
A．甲图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．乙图跳伞运动员匀速下落
C．丙图跳水运动员从空中下落
D．丁图运动员骑自行车冲向坡顶
C [运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，则动能不变，高度减小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误。]
机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)E2＝E1。
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。
【问题】
(1)铅球在空中运动过程中，受哪些力的作用？
(2)铅球在空中运动过程中，实现了哪些能量间的转换？
(3)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(4)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球只受重力作用。
(2)铅球在空中运动过程中，动能和重力势能之间相互转化。
(3)铅球在空中运动过程中，机械能守恒。
(4)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
1．机械能守恒的两点说明
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)。
分析物体受力⇒明确各力做功情况⇒只有重力或弹力对物体做功 或者有其他力对物体做功，但W其=0⇒物体机械能守恒
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。
分析能量种类⇒只有动能、重力势能、弹性势能⇒系统机械能守恒
【典例2】 如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D [甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹簧弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
[跟进训练]
2．下列说法正确的是( )
A．物体做匀速直线运动的过程中，机械能一定守恒
B．物体做匀变速直线运动的过程中，机械能不可能守恒
C．物体做匀速圆周运动的过程中，机械能一定守恒
D．物体做抛体运动的过程中，机械能一定守恒
D [物体做匀速直线运动，只能保证动能不变，重力势能可能改变，机械能不一定守恒，A错误；物体做自由落体运动时，只有重力做功，机械能守恒，B错误；如果小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则动能不变，重力势能在不断地变化，机械能不守恒，C错误；物体做抛体运动的过程中，只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。]
机械能守恒定律的应用
如图所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它滑到高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力)：
【问题】
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
提示：(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2。
(2)动能增加量为ΔEk＝12mv22-12mv12。
(3)小球下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，表达式为mgh1+12mv12＝mgh2+12 mv22。
(4)由(3)变形可知，mgh1－mgh2＝12mv22-12mv12，即小球重力势能减少量等于动能增加量。
1．机械能守恒定律的不同表达式
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
单个物体的机械能守恒
【典例3】 如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2。)
[解析] 法一 由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解(必须选择参考平面)。
滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒，取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得12mvB2＝mgh1
h1＝5 m－1 m＝4 m
得vB＝2gh1＝45 m/s
从B点到C点的过程中，由机械能守恒定律得：
12mvB2＝-mgh2+12mvC2
其中h2＝10 m，
故vC＝2gh1+h2＝270 m/s。
法二 由ΔEk＝－ΔEp求解(不需要选择参考平面)。
滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒
由A到B过程中，由机械能守恒定律得：
mghAB＝12mvB2
hAB＝5 m－1 m＝4 m
得vB≈45 m/s
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
mghBC＝12mvC2-12mvB2
hBC＝10 m
得vC＝270 m/s。
[答案] 45 m/s 270 m/s
多物体的机械能守恒
【典例4】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m(g取10 m/s2)。
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小是多少？
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
[思路点拨] (1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析] (1)法一 由E1＝E2求解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为参考平面，B下落过程中，由机械能守恒定律得：mBgh＝mAgh＋12(mA＋mB)v2，
解得v＝2 m/s。
法二 由ΔEk＝－ΔEp求解
对于A、B组成的系统，有
12(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。
法三 由ΔEA＝－ΔEB求解
对A、B组成的系统，有mAgh＋12mAv2＝－12mBv2-mBgh，解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝12mAv2，解得h′＝v22g＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
[跟进训练]
3．如图所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点。已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不计空气阻力，则( )
A．小球在B点的机械能是C点机械能的两倍
B．小球在B点的动能是C点动能的两倍
C．小球在B点的动能为12mv2＋2mgh
D．小球在C点的动能为12mv2－mgh
D [不计空气阻力，小球在斜向上抛出的运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在B点的机械能等于在C点的机械能，A错误；小球在B点的重力势能大于在C点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在B点的动能小于在C点的动能，B错误；小球由A到B过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝12mv2，解得小球在B点的动能为EkB＝12mv2－2mgh，C错误；小球由B到C过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C点的动能为EkC＝EkB＋mgh＝12mv2－mgh，D正确。]
4．(2022·湖北黄冈中学模块验收测试)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度。
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球最低点所在的平面为参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝12mvA 2+12mvB 2
重力势能为Ep2＝mgL2
由机械能守恒定律得
2mgL＝12mgL+12mvA 2+12mvB 2
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝215gL5，vB＝15gL5。
[答案] 215gL5 15gL5
1．(多选)(2022·天津二十五中月考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能参考平面的选取有关
ABC [运动员到达最低点前重力始终做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向与位移方向始终相反，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；在运动员、地球和蹦极绳所组成的系统中，只有重力和弹力做功，则系统的机械能守恒，C正确；重力势能的改变量与重力做功有关，取决于初末位置的高度差，与重力势能参考平面的选取无关，D错误。]
2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落h高度过程中，有mgh＝12mv2，解得v＝2gh，选项B错误；设小环位置与P点连线所对的圆心角为θ，小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，由几何关系知h＝R(1－cs sR )，则v＝2gR1-cssR，选项A错误；小环位置到P点的距离L＝2R sin θ2，h＝R(1－cs θ)，又1－cs θ＝2sin2 θ2，则h＝2R sin2 θ2＝L22R，解得v＝2gh＝LgR，可知v与L成正比，即小环的速率与小环到P点的距离成正比，选项C正确；小环位置与P点连线扫过的面积A＝12R2θ－12R2sin θ，分析知与v不成正比，选项D错误。]
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是( )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为 12mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为 12mv02
BCD [以地面为参考平面，则物体落到海平面时的势能为－mgh，选项A错误；重力对物体做的功为mgh，选项B正确；根据动能定理，物体在海平面上的动能为Ek＝12mv02＋mgh，选项C正确；物体在地面上时的机械能为12mv02，物体的机械能守恒，则在海平面上的机械能为12mv02，选项D正确。]
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R3
C．4R3 D．2R3
C [设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝12(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝v22g，解得h′＝13R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝43R，选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹簧弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：12mv1 2＋mgh1＝12mv2 2＋mgh2。
潮 汐 发 电
由于月球、太阳的引力以及地球自转的影响，海水和江水每天有两次的涨落现象，早上的称为潮，晚上的称为汐。潮汐作为一种自然现象，为人类的航海、捕捞和晒盐等活动提供了方便。
潮汐发电是一种水力发电的形式，其原理如图所示。在涨潮时将海水储存在水库内，储存重力势能；在退潮时放出海水，利用高、低潮位之间的落差，将海水的重力势能转化为动能，推动水轮机旋转，带动发电机发电，与河水不同的是，海水涨潮与退潮落差不大，但流量较大，并且呈间歇性。相比风能与太阳能这些受环境影响较大的能源，利用潮汐发电，工作时间可预知，能量规模庞大且稳定，能产生洁净无污染的高质量能源。
我国潮汐能资源丰富。据不完全统计，全国潮汐能蕴藏量为1.9亿千瓦，其中可供开发的约3 850万千瓦。我国潮汐能发展起步较早，1957年就在山东建成了第一座潮汐发电站。目前，我国潮汐电站总装机容量已有1万多千瓦，在我国优化电力结构、促进能源结构升级的大背景下，发展潮汐发电是顺应社会趋势之为。
(1)潮汐发电站发电过程中发生了怎样的能量转化？
(2)若减少的重力势能全部用于发电，那么一装机容量为1 000 kW的发电站，每天至少有多少重力势能转化为电能？
提示：(1)重力势能转化为动能，推动水轮机转动，带动发电机发电。
(2)每天发出的电能即为至少转化的重力势能，大小为1 000×103×24×3 600 J＝8.64×1010 J。
课时分层作业(十六) 机械能守恒定律
◎题组一 机械能守恒条件及判断
1．(多选)神舟十四号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C．只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D．临近地面时返回舱减速下降的阶段
BC [飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；返回舱在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，机械能守恒，故B正确；返回舱只在引力作用下向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；返回舱减速下降的阶段，克服空气阻力做功，故机械能减小，故D错误。]
2．(多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动
AC [弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明运动员在不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C [斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．(多选)(2022·山东济南外国语学校高一检测)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
AC [在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
◎题组二 机械能守恒定律的应用
5．如图所示，以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3h2
2．掌握推导机械能守恒定律的方法。
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解守恒条件。
4．掌握运用机械能守恒定律解决问题的方法。
追寻守恒量
1．伽利略的斜面实验探究如图所示。
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上。
(2)实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。
(3)实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2．动能与势能的相互转化。
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，动能转化为重力势能。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则弹性势能增加，物体的动能减少，动能转化为弹性势能。
(3)机械能：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下(忽略轨道的阻力和其他阻力) 。
【问题】
(1)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)动能和势能怎么变化？
(3)过山车下滑过程中动能与势能的和怎样变化吗？
提示：(1)过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功。
(2)动能增加，重力势能减少。
(3)动能与势能的和不变。
1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等。
2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，弹性势能与动能之和不变。
3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，重力势能、弹性势能与动能之和不变。
【典例1】 (多选)奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法正确的是( )
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加
ACD [加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。]
[跟进训练]
1．如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是( )
A．甲图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．乙图跳伞运动员匀速下落
C．丙图跳水运动员从空中下落
D．丁图运动员骑自行车冲向坡顶
C [运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，则动能不变，高度减小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误。]
机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)E2＝E1。
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。
【问题】
(1)铅球在空中运动过程中，受哪些力的作用？
(2)铅球在空中运动过程中，实现了哪些能量间的转换？
(3)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(4)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球只受重力作用。
(2)铅球在空中运动过程中，动能和重力势能之间相互转化。
(3)铅球在空中运动过程中，机械能守恒。
(4)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
1．机械能守恒的两点说明
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)。
分析物体受力⇒明确各力做功情况⇒只有重力或弹力对物体做功 或者有其他力对物体做功，但W其=0⇒物体机械能守恒
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。
分析能量种类⇒只有动能、重力势能、弹性势能⇒系统机械能守恒
【典例2】 如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D [甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹簧弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
[跟进训练]
2．下列说法正确的是( )
A．物体做匀速直线运动的过程中，机械能一定守恒
B．物体做匀变速直线运动的过程中，机械能不可能守恒
C．物体做匀速圆周运动的过程中，机械能一定守恒
D．物体做抛体运动的过程中，机械能一定守恒
D [物体做匀速直线运动，只能保证动能不变，重力势能可能改变，机械能不一定守恒，A错误；物体做自由落体运动时，只有重力做功，机械能守恒，B错误；如果小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则动能不变，重力势能在不断地变化，机械能不守恒，C错误；物体做抛体运动的过程中，只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。]
机械能守恒定律的应用
如图所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它滑到高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力)：
【问题】
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
提示：(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2。
(2)动能增加量为ΔEk＝12mv22-12mv12。
(3)小球下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，表达式为mgh1+12mv12＝mgh2+12 mv22。
(4)由(3)变形可知，mgh1－mgh2＝12mv22-12mv12，即小球重力势能减少量等于动能增加量。
1．机械能守恒定律的不同表达式
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
单个物体的机械能守恒
【典例3】 如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2。)
[解析] 法一 由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解(必须选择参考平面)。
滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒，取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得12mvB2＝mgh1
h1＝5 m－1 m＝4 m
得vB＝2gh1＝45 m/s
从B点到C点的过程中，由机械能守恒定律得：
12mvB2＝-mgh2+12mvC2
其中h2＝10 m，
故vC＝2gh1+h2＝270 m/s。
法二 由ΔEk＝－ΔEp求解(不需要选择参考平面)。
滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒
由A到B过程中，由机械能守恒定律得：
mghAB＝12mvB2
hAB＝5 m－1 m＝4 m
得vB≈45 m/s
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
mghBC＝12mvC2-12mvB2
hBC＝10 m
得vC＝270 m/s。
[答案] 45 m/s 270 m/s
多物体的机械能守恒
【典例4】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m(g取10 m/s2)。
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小是多少？
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
[思路点拨] (1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析] (1)法一 由E1＝E2求解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为参考平面，B下落过程中，由机械能守恒定律得：mBgh＝mAgh＋12(mA＋mB)v2，
解得v＝2 m/s。
法二 由ΔEk＝－ΔEp求解
对于A、B组成的系统，有
12(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。
法三 由ΔEA＝－ΔEB求解
对A、B组成的系统，有mAgh＋12mAv2＝－12mBv2-mBgh，解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝12mAv2，解得h′＝v22g＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
[跟进训练]
3．如图所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点。已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不计空气阻力，则( )
A．小球在B点的机械能是C点机械能的两倍
B．小球在B点的动能是C点动能的两倍
C．小球在B点的动能为12mv2＋2mgh
D．小球在C点的动能为12mv2－mgh
D [不计空气阻力，小球在斜向上抛出的运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在B点的机械能等于在C点的机械能，A错误；小球在B点的重力势能大于在C点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在B点的动能小于在C点的动能，B错误；小球由A到B过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝12mv2，解得小球在B点的动能为EkB＝12mv2－2mgh，C错误；小球由B到C过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C点的动能为EkC＝EkB＋mgh＝12mv2－mgh，D正确。]
4．(2022·湖北黄冈中学模块验收测试)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度。
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球最低点所在的平面为参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝12mvA 2+12mvB 2
重力势能为Ep2＝mgL2
由机械能守恒定律得
2mgL＝12mgL+12mvA 2+12mvB 2
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝215gL5，vB＝15gL5。
[答案] 215gL5 15gL5
1．(多选)(2022·天津二十五中月考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能参考平面的选取有关
ABC [运动员到达最低点前重力始终做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向与位移方向始终相反，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；在运动员、地球和蹦极绳所组成的系统中，只有重力和弹力做功，则系统的机械能守恒，C正确；重力势能的改变量与重力做功有关，取决于初末位置的高度差，与重力势能参考平面的选取无关，D错误。]
2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落h高度过程中，有mgh＝12mv2，解得v＝2gh，选项B错误；设小环位置与P点连线所对的圆心角为θ，小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，由几何关系知h＝R(1－cs sR )，则v＝2gR1-cssR，选项A错误；小环位置到P点的距离L＝2R sin θ2，h＝R(1－cs θ)，又1－cs θ＝2sin2 θ2，则h＝2R sin2 θ2＝L22R，解得v＝2gh＝LgR，可知v与L成正比，即小环的速率与小环到P点的距离成正比，选项C正确；小环位置与P点连线扫过的面积A＝12R2θ－12R2sin θ，分析知与v不成正比，选项D错误。]
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是( )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为 12mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为 12mv02
BCD [以地面为参考平面，则物体落到海平面时的势能为－mgh，选项A错误；重力对物体做的功为mgh，选项B正确；根据动能定理，物体在海平面上的动能为Ek＝12mv02＋mgh，选项C正确；物体在地面上时的机械能为12mv02，物体的机械能守恒，则在海平面上的机械能为12mv02，选项D正确。]
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R3
C．4R3 D．2R3
C [设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝12(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝v22g，解得h′＝13R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝43R，选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹簧弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：12mv1 2＋mgh1＝12mv2 2＋mgh2。
潮 汐 发 电
由于月球、太阳的引力以及地球自转的影响，海水和江水每天有两次的涨落现象，早上的称为潮，晚上的称为汐。潮汐作为一种自然现象，为人类的航海、捕捞和晒盐等活动提供了方便。
潮汐发电是一种水力发电的形式，其原理如图所示。在涨潮时将海水储存在水库内，储存重力势能；在退潮时放出海水，利用高、低潮位之间的落差，将海水的重力势能转化为动能，推动水轮机旋转，带动发电机发电，与河水不同的是，海水涨潮与退潮落差不大，但流量较大，并且呈间歇性。相比风能与太阳能这些受环境影响较大的能源，利用潮汐发电，工作时间可预知，能量规模庞大且稳定，能产生洁净无污染的高质量能源。
我国潮汐能资源丰富。据不完全统计，全国潮汐能蕴藏量为1.9亿千瓦，其中可供开发的约3 850万千瓦。我国潮汐能发展起步较早，1957年就在山东建成了第一座潮汐发电站。目前，我国潮汐电站总装机容量已有1万多千瓦，在我国优化电力结构、促进能源结构升级的大背景下，发展潮汐发电是顺应社会趋势之为。
(1)潮汐发电站发电过程中发生了怎样的能量转化？
(2)若减少的重力势能全部用于发电，那么一装机容量为1 000 kW的发电站，每天至少有多少重力势能转化为电能？
提示：(1)重力势能转化为动能，推动水轮机转动，带动发电机发电。
(2)每天发出的电能即为至少转化的重力势能，大小为1 000×103×24×3 600 J＝8.64×1010 J。
课时分层作业(十六) 机械能守恒定律
◎题组一 机械能守恒条件及判断
1．(多选)神舟十四号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C．只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D．临近地面时返回舱减速下降的阶段
BC [飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；返回舱在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，机械能守恒，故B正确；返回舱只在引力作用下向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；返回舱减速下降的阶段，克服空气阻力做功，故机械能减小，故D错误。]
2．(多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动
AC [弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明运动员在不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C [斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．(多选)(2022·山东济南外国语学校高一检测)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
AC [在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
◎题组二 机械能守恒定律的应用
5．如图所示，以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2
h2
D [竖直上抛和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝12mv0 2，所以h＝v0 22g，斜上抛运动物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝12mv0 2-12mv1 2，所以h26．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两侧液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)( )
A．18gh B．16gh
C．14ghD．12gh
A [设液体总质量为m，当两侧液面高度相等时，相当于右管12h高的液体移到左管，重心下降h2，这部分液体质量为m8，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得mg8·h2＝12mv2，解得v＝18gh，选项A正确。]
7．如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)( )
A．v216g B．v28g C．v24g D．v22g
B [从小物块滑入轨道到轨道上端，根据机械能守恒定律有12mv2＝12mv02＋mg·2R，小物块水平飞出后，根据平抛运动的规律有x＝v0t，2R＝12gt2，联立可得x＝4v2gR-16R2，结合数学知识可知，当R＝v28g时，水平距离最大，选项B正确。]
8．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hA．gh2B．2gh
C．gh3D．gh6
A [A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝12(m＋3m)v2，解得v＝gh2，又h9．(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )
A．A球到达最低点时速度gL5
B．A球到达最低点时，B球速度为gL3
C．摆动过程中AB两球组成的系统机械能守恒
D．摆动过程中A球机械能守恒
BC [当A球到达最低点时，对AB组成的系统由动能定理得：(2mg－mg)·L2＝12(2m＋m)v2，解得v＝gL3，即此时AB两球的速度均为gL3，则A错误，B正确；摆动过程中，AB组成的系统机械能守恒，A球机械能不守恒，选项C正确，D错误。]
10．(多选)(2022·北京西城区高一期末)如图所示，弧形光滑轨道的下端与轨道半径为R的竖直光滑圆轨道相接，使质量为m的小球从高h的弧形轨道上端自由滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。当小球通过圆轨道的最高点时，对轨道的压力大小等于小球重力大小。不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．小球通过最高点时的速度大小为2gR
B．小球在轨道最低点的动能为2.5mgR
C．小球下滑的高度h为3R
D．小球在轨道最低点对轨道压力的大小为7mg
ACD [小球经过圆轨道最高点时，对轨道的压力N＝mg，依据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力为mg，由牛顿第二定律有：mg＋mg＝mv2R，解得v＝2gR，故A正确；小球自开始下滑到圆轨道最高点的过程，依据动能定理有mg(h－2R)＝12mv2，解得h＝3R，故C正确；设小球从高h的位置释放运动到最低点时的速度为v1，受轨道的支持力为N1，根据牛顿第二定律有N1－mg＝mv12R，小球由圆轨道最低点运动到最高点的过程，根据动能定理有－mg·2R＝12mv2-12 mv12，解得最低点动能12mv12＝3mgR，支持力N1＝7mg，由牛顿第三定律得，小球对轨道压力N1′＝7mg，故B错误，D正确。]
11．(2022·湖北孝感高一期末)如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
[解析] (1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，由几何关系知小球下降的高度
h＝2l sin 30°
根据机械能守恒定律得mgh＝12mv12
解得v1＝2gl。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据速度的分解得
v2＝v1cs 30°＝32gl
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以A点所在的水平面为参考平面，小球由细绳刚伸直到最低点A的过程，根据机械能守恒定律得
12mv22＋mgl(1－sin 30°)＝12mv32
联立解得v3＝52gl
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝mv32l
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg，方向竖直向下。
[答案] (1)2gl (2)3.5mg，方向竖直向下
12．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
[解析] 法一 (取整个铁链为研究对象)：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方14L处，末位置的重心与最初A点位置在同一水平面上
则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·14L
由机械能守恒定律得
12mv2＝mg·14L
解得v＝gL2。
法二 (将铁链看成两段)：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置(如图所示)。
重力势能减少量为ΔEp＝12mg·L2
由机械能守恒得12mv2＝12mg·L2
则v＝gL2。
[答案] gL2
项目
表达式
物理意义
说明
从不同
状态看
守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须选
参考平面
从转化
角度看
转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选
参考平面
从转移
角度看
增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
A．18gh B．16gh
C．14ghD．12gh
A [设液体总质量为m，当两侧液面高度相等时，相当于右管12h高的液体移到左管，重心下降h2，这部分液体质量为m8，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得mg8·h2＝12mv2，解得v＝18gh，选项A正确。]
7．如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)( )
A．v216g B．v28g C．v24g D．v22g
B [从小物块滑入轨道到轨道上端，根据机械能守恒定律有12mv2＝12mv02＋mg·2R，小物块水平飞出后，根据平抛运动的规律有x＝v0t，2R＝12gt2，联立可得x＝4v2gR-16R2，结合数学知识可知，当R＝v28g时，水平距离最大，选项B正确。]
8．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h
C．gh3D．gh6
A [A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝12(m＋3m)v2，解得v＝gh2，又h
A．A球到达最低点时速度gL5
B．A球到达最低点时，B球速度为gL3
C．摆动过程中AB两球组成的系统机械能守恒
D．摆动过程中A球机械能守恒
BC [当A球到达最低点时，对AB组成的系统由动能定理得：(2mg－mg)·L2＝12(2m＋m)v2，解得v＝gL3，即此时AB两球的速度均为gL3，则A错误，B正确；摆动过程中，AB组成的系统机械能守恒，A球机械能不守恒，选项C正确，D错误。]
10．(多选)(2022·北京西城区高一期末)如图所示，弧形光滑轨道的下端与轨道半径为R的竖直光滑圆轨道相接，使质量为m的小球从高h的弧形轨道上端自由滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。当小球通过圆轨道的最高点时，对轨道的压力大小等于小球重力大小。不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．小球通过最高点时的速度大小为2gR
B．小球在轨道最低点的动能为2.5mgR
C．小球下滑的高度h为3R
D．小球在轨道最低点对轨道压力的大小为7mg
ACD [小球经过圆轨道最高点时，对轨道的压力N＝mg，依据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力为mg，由牛顿第二定律有：mg＋mg＝mv2R，解得v＝2gR，故A正确；小球自开始下滑到圆轨道最高点的过程，依据动能定理有mg(h－2R)＝12mv2，解得h＝3R，故C正确；设小球从高h的位置释放运动到最低点时的速度为v1，受轨道的支持力为N1，根据牛顿第二定律有N1－mg＝mv12R，小球由圆轨道最低点运动到最高点的过程，根据动能定理有－mg·2R＝12mv2-12 mv12，解得最低点动能12mv12＝3mgR，支持力N1＝7mg，由牛顿第三定律得，小球对轨道压力N1′＝7mg，故B错误，D正确。]
11．(2022·湖北孝感高一期末)如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
[解析] (1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，由几何关系知小球下降的高度
h＝2l sin 30°
根据机械能守恒定律得mgh＝12mv12
解得v1＝2gl。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据速度的分解得
v2＝v1cs 30°＝32gl
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以A点所在的水平面为参考平面，小球由细绳刚伸直到最低点A的过程，根据机械能守恒定律得
12mv22＋mgl(1－sin 30°)＝12mv32
联立解得v3＝52gl
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝mv32l
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg，方向竖直向下。
[答案] (1)2gl (2)3.5mg，方向竖直向下
12．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
[解析] 法一 (取整个铁链为研究对象)：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方14L处，末位置的重心与最初A点位置在同一水平面上
则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·14L
由机械能守恒定律得
12mv2＝mg·14L
解得v＝gL2。
法二 (将铁链看成两段)：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置(如图所示)。
重力势能减少量为ΔEp＝12mg·L2
由机械能守恒得12mv2＝12mg·L2
则v＝gL2。
[答案] gL2
项目
表达式
物理意义
说明
从不同
状态看
守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须选
参考平面
从转化
角度看
转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选
参考平面
从转移
角度看
增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
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