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高中物理人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律5 实验：验证机械能守恒定律随堂练习题
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律5 实验：验证机械能守恒定律随堂练习题，共16页。
3．会利用P＝Fv结合动力学知识分析机车启动问题。
求变力做功的几种方法
W＝Fl cs α，此公式中F为恒力，如果物体受到变力作用，变力做的功可按下列方法进行计算：
1．化变力为恒力
(1)分段法：
力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
(2)平均力法：
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力F＝F1+F22，由W＝Fl cs α求功。
例如：弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1+kx22。
(3)微元法：
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。
例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3…＝Ff (Δx1＋Δ x2＋Δx3…)＝Ff·2πR。
(4)转换研究对象法：
如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功。
2．图像法
(1)若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，外力做功就不能用矩形表示。不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段过程所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于所有小矩形面积之和，如图甲所示。
(2)如图乙所示，l轴上方的“面积”表示力对物体做正功的多少，用正数表示，l轴下方的“面积”表示力对物体做负功的多少，用负数表示。总功为上、下两“面积”的代数和。
【典例1】 如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500 N，运动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做的功为( )
A．0 B．500 J
C．500π J D．1 000π J
D [由于F的方向与作用点的速度方向保持一致，因此F做功不为零。把圆周划分成很多小段研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，在Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故驴拉磨转动一周所做的功为WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3…＝F·2πR＝1 000π J，故A、B、C错误，D正确。]
[跟进训练]
1．一物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为( )
A．3 JB．6 J
C．7 JD．8 J
B [力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝12×(3＋4)×2 J＝7 J，W2＝－12×(5－4)×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选项B正确。]
2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第1次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(3－1)d B．(2－1)d
C．5-1d2 D．22d
B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，可利用平均力法来处理。根据题意可得第一次做功W＝F1d＝kd2d。第二次做功W＝F2d′＝kd+kd+d'2d′，联立解得d′＝(2－1)d，选项B正确。]
3．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑环，用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑环从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
A [由于用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，所以轻绳对滑环的拉力做的功与拉力F做的功相等。从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，根据几何关系可知轻绳对滑环的拉力与光滑竖直杆的夹角α越来越大。已知AB＝BC，即滑环从A点上升至B点的位移等于从B点上升至C点的位移。轻绳拉着滑环的拉力是恒力，夹角α越来越大，则cs α越来越小，因为F大小恒定，故F在竖直方向上的分量F cs α随α的增大而减小，显然滑环从A点上升至B点过程中轻绳对滑环做的功大于从B点上升至C点的过程中轻绳对滑环做的功，所以W1＞W2，故A正确。]
机车的两种启动方式
1．两种启动过程对比
2．几个重要关系式
(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝PFmin＝PFf(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。
(4)P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力。
【典例2】 在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[思路点拨] (1)汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。
(2)汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。
(3)汽车速度为v′时牵引力F′＝Pv'。
[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝PFf＝60×1035×103 m/s＝12 m/s。
(2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有Pv－Ff＝ma
得v＝PFf+ma＝60×1035×103+5×103×0.5 m/s＝8 m/s
由v＝at得这一过程维持的时间t＝va＝80.5 s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力F′＝Pv'＝60×1032 N＝3×104 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a′＝F'-Ffm＝3×104-5×1035×103 m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力。
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。
[跟进训练]
4．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，(g＝10 m/s2)则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B．汽车的额定功率为120 kW
C．汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D．当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
BD [汽车在前5 s内做匀加速直线运动，由题图像可知加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝Pf＝120×1032×103 m/s＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝Pv1＝120×10320 N＝6×103 N，F1－f＝ma1，得a1＝2 m/s2，D正确。]
5．(2022·江西南昌十中高一期末)京沪高铁采用CR400系列“复兴号”列车运行。假设一列16节车厢的高铁列车总质量m＝800 t，发动机的额定功率P＝8×103 kW，设列车在水平轨道上行驶时所受阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10 m/s2。求：
(1)高铁列车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)若列车在水平长直轨道上从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一匀加速过程维持的最长时间t为多少。
[解析] (1)当F＝Ff时，列车行驶速度达到最大，由P＝Fvm，Ff＝0.01mg
则vm＝PF＝PFf，解得vm＝100 m/s。
(2)设保持匀加速运动所需牵引力为F1，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma
匀加速能达到的最大速度v1＝PF1
匀加速运动的时间t＝v1a
代入数据计算得t≈33.3 s。
[答案] (1)100 m/s (2)33.3 s
素养提升练(五) 变力做功和机车启动问题
一、选择题
1．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则( )
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
C [汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C对，A、B、D错。]
2．“嫦娥五号”上升器在月面点火，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道。“嫦娥五号”上升器以3 000 W的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为( )
A．1×104 J B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
C [功率恒定，加速上升，因此牵引力减小，为变力做功，根据题干信息得W＝Pt＝3 000×6×60 J≈1×106 J，故选项C正确。]
3．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A．12μMgl B．μMgl
C．32μMgl D．2μMgl
A [由于小方块受到的滑动摩擦力Ff从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的Ff-x图像进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，即12μMgl，故选项A正确。]
4．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵、横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为( )
A．Fmx0
B．12(Fm＋F0)x0
C．π4(Fm－F0)x0＋F0x0
D．π4x02＋F0x0
C [F-x图像与x轴所围的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋12π(x02)2＝F0x0+π8x02，由题图乙看出，Fm－F0＝x02，故W＝π4(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C正确。]
5．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
BD [汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝P额F＝P额Ff，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，则求不出F，故求不出汽车的额定功率，故D项正确。]
6．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将( )
A．保持不变
B．不断减小
C．突然减小，再增大，后保持不变
D．突然增大，再减小，后保持不变
C [由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。选项C正确。]
7．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力f做的功为－mgL
D．空气阻力f做的功为－π2 f L
ABD [如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影，为L，所以WG＝mgL，故A、B正确；将整个运动过程分成无数小段，空气阻力所做的总功等于每段小圆弧上f所做功的代数和，即Wf＝－fΔx1+fΔx2…＝－π2 f L，故C错误，D正确。]
8．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，能正确表示从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是( )
A B
C D
C [汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，而牵引力变大，由a＝Ff-Fm知加速度逐渐减小，故做变减速运动。当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运动。由以上分析可知C项正确。]
9．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
D [由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝12×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；由题图乙可知，P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s内拉力做功为WF＝12×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝Pv＝53 N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－53×30 J＝－50 J，D正确。]
10．(多选)如图所示是汽车牵引力F和车速倒数1v的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD [由题图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做功率恒定的变加速运动，P额＝F·vm＝2×103×30 W＝6×104 W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝F'-fm＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v′＝P额F'＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝v'a＝5 s，选项D正确。]
二、非选择题
11．若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动(如图甲所示)，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
[解析] (1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有F1＝Ff1
P＝F1v1
解得Ff1＝Pv1＝20×10310 N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F2＝Ff2，P＝F2v2
解得Ff2＝Pv2＝20×1035 N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有Ff2－F1＝ma
解得a＝1 m/s2。
[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s2
12．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
[解析] (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝0.1mg＋mg sin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm
所以vm＝Pf＝60×1034 800 m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律，有F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度，设为vm′，有
vm′＝PF'＝60×1037.2×103 m/s＝253 m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间
t＝vm'a≈13.9 s。
[答案] (1)12.5 m/s (2)13.9 s
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
牵引力的变化图像
OA段
过程
分析
v↑⇒F＝P不变v↓⇒a＝F-Ffm↓
a＝F-Ffm不变⇒F不变
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a
AB段
过程
分析
F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝Pvm
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F-Ffm↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
—
F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝P额vm，以vm做匀速直线运动
3．会利用P＝Fv结合动力学知识分析机车启动问题。
求变力做功的几种方法
W＝Fl cs α，此公式中F为恒力，如果物体受到变力作用，变力做的功可按下列方法进行计算：
1．化变力为恒力
(1)分段法：
力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
(2)平均力法：
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力F＝F1+F22，由W＝Fl cs α求功。
例如：弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1+kx22。
(3)微元法：
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。
例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3…＝Ff (Δx1＋Δ x2＋Δx3…)＝Ff·2πR。
(4)转换研究对象法：
如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功。
2．图像法
(1)若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，外力做功就不能用矩形表示。不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段过程所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于所有小矩形面积之和，如图甲所示。
(2)如图乙所示，l轴上方的“面积”表示力对物体做正功的多少，用正数表示，l轴下方的“面积”表示力对物体做负功的多少，用负数表示。总功为上、下两“面积”的代数和。
【典例1】 如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500 N，运动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做的功为( )
A．0 B．500 J
C．500π J D．1 000π J
D [由于F的方向与作用点的速度方向保持一致，因此F做功不为零。把圆周划分成很多小段研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，在Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故驴拉磨转动一周所做的功为WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3…＝F·2πR＝1 000π J，故A、B、C错误，D正确。]
[跟进训练]
1．一物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为( )
A．3 JB．6 J
C．7 JD．8 J
B [力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝12×(3＋4)×2 J＝7 J，W2＝－12×(5－4)×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选项B正确。]
2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第1次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(3－1)d B．(2－1)d
C．5-1d2 D．22d
B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，可利用平均力法来处理。根据题意可得第一次做功W＝F1d＝kd2d。第二次做功W＝F2d′＝kd+kd+d'2d′，联立解得d′＝(2－1)d，选项B正确。]
3．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑环，用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑环从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
A [由于用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，所以轻绳对滑环的拉力做的功与拉力F做的功相等。从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，根据几何关系可知轻绳对滑环的拉力与光滑竖直杆的夹角α越来越大。已知AB＝BC，即滑环从A点上升至B点的位移等于从B点上升至C点的位移。轻绳拉着滑环的拉力是恒力，夹角α越来越大，则cs α越来越小，因为F大小恒定，故F在竖直方向上的分量F cs α随α的增大而减小，显然滑环从A点上升至B点过程中轻绳对滑环做的功大于从B点上升至C点的过程中轻绳对滑环做的功，所以W1＞W2，故A正确。]
机车的两种启动方式
1．两种启动过程对比
2．几个重要关系式
(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝PFmin＝PFf(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF
(4)P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力。
【典例2】 在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[思路点拨] (1)汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。
(2)汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。
(3)汽车速度为v′时牵引力F′＝Pv'。
[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝PFf＝60×1035×103 m/s＝12 m/s。
(2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有Pv－Ff＝ma
得v＝PFf+ma＝60×1035×103+5×103×0.5 m/s＝8 m/s
由v＝at得这一过程维持的时间t＝va＝80.5 s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力F′＝Pv'＝60×1032 N＝3×104 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a′＝F'-Ffm＝3×104-5×1035×103 m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力。
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。
[跟进训练]
4．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，(g＝10 m/s2)则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B．汽车的额定功率为120 kW
C．汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D．当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
BD [汽车在前5 s内做匀加速直线运动，由题图像可知加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝Pf＝120×1032×103 m/s＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝Pv1＝120×10320 N＝6×103 N，F1－f＝ma1，得a1＝2 m/s2，D正确。]
5．(2022·江西南昌十中高一期末)京沪高铁采用CR400系列“复兴号”列车运行。假设一列16节车厢的高铁列车总质量m＝800 t，发动机的额定功率P＝8×103 kW，设列车在水平轨道上行驶时所受阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10 m/s2。求：
(1)高铁列车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)若列车在水平长直轨道上从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一匀加速过程维持的最长时间t为多少。
[解析] (1)当F＝Ff时，列车行驶速度达到最大，由P＝Fvm，Ff＝0.01mg
则vm＝PF＝PFf，解得vm＝100 m/s。
(2)设保持匀加速运动所需牵引力为F1，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma
匀加速能达到的最大速度v1＝PF1
匀加速运动的时间t＝v1a
代入数据计算得t≈33.3 s。
[答案] (1)100 m/s (2)33.3 s
素养提升练(五) 变力做功和机车启动问题
一、选择题
1．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则( )
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
C [汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C对，A、B、D错。]
2．“嫦娥五号”上升器在月面点火，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道。“嫦娥五号”上升器以3 000 W的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为( )
A．1×104 J B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
C [功率恒定，加速上升，因此牵引力减小，为变力做功，根据题干信息得W＝Pt＝3 000×6×60 J≈1×106 J，故选项C正确。]
3．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A．12μMgl B．μMgl
C．32μMgl D．2μMgl
A [由于小方块受到的滑动摩擦力Ff从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的Ff-x图像进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，即12μMgl，故选项A正确。]
4．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵、横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为( )
A．Fmx0
B．12(Fm＋F0)x0
C．π4(Fm－F0)x0＋F0x0
D．π4x02＋F0x0
C [F-x图像与x轴所围的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋12π(x02)2＝F0x0+π8x02，由题图乙看出，Fm－F0＝x02，故W＝π4(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C正确。]
5．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
BD [汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝P额F＝P额Ff，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，则求不出F，故求不出汽车的额定功率，故D项正确。]
6．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将( )
A．保持不变
B．不断减小
C．突然减小，再增大，后保持不变
D．突然增大，再减小，后保持不变
C [由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。选项C正确。]
7．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力f做的功为－mgL
D．空气阻力f做的功为－π2 f L
ABD [如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影，为L，所以WG＝mgL，故A、B正确；将整个运动过程分成无数小段，空气阻力所做的总功等于每段小圆弧上f所做功的代数和，即Wf＝－fΔx1+fΔx2…＝－π2 f L，故C错误，D正确。]
8．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，能正确表示从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是( )
A B
C D
C [汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，而牵引力变大，由a＝Ff-Fm知加速度逐渐减小，故做变减速运动。当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运动。由以上分析可知C项正确。]
9．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
D [由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝12×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；由题图乙可知，P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s内拉力做功为WF＝12×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝Pv＝53 N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－53×30 J＝－50 J，D正确。]
10．(多选)如图所示是汽车牵引力F和车速倒数1v的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD [由题图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做功率恒定的变加速运动，P额＝F·vm＝2×103×30 W＝6×104 W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝F'-fm＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v′＝P额F'＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝v'a＝5 s，选项D正确。]
二、非选择题
11．若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动(如图甲所示)，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
[解析] (1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有F1＝Ff1
P＝F1v1
解得Ff1＝Pv1＝20×10310 N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F2＝Ff2，P＝F2v2
解得Ff2＝Pv2＝20×1035 N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有Ff2－F1＝ma
解得a＝1 m/s2。
[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s2
12．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
[解析] (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝0.1mg＋mg sin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm
所以vm＝Pf＝60×1034 800 m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律，有F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度，设为vm′，有
vm′＝PF'＝60×1037.2×103 m/s＝253 m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间
t＝vm'a≈13.9 s。
[答案] (1)12.5 m/s (2)13.9 s
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
牵引力的变化图像
OA段
过程
分析
v↑⇒F＝P不变v↓⇒a＝F-Ffm↓
a＝F-Ffm不变⇒F不变
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1a
AB段
过程
分析
F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝Pvm
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F-Ffm↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
—
F＝Ff⇒a＝0⇒Ff＝P额vm，以vm做匀速直线运动
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