湖南省常德市2024年高三模拟考试数学试卷（附参考答案）

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一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分13分)
解：(1)由正弦定理，
分
由余弦定理分
又，分
(2)由,,成等差数列，①分
的面积为，，即②分
由(1)③
由①②③解得：分
，故的周长为分
16. (本小题满分15分)
解：(1)每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0,1,2,分
，，
，分
故X的分布列为
分
(2)设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，分
分
故 分
，
∴分
17. (本小题满分15分)
解：(1)证明：取AD的中点O，，分
又平面平面，平面平面=，平面分
又平面，分
，，
，，分
又，平面，平面分
(法二：，，
，，分
又平面平面，平面平面，平面
平面分
阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的平面扣2分）
(2)，
分
取PB的中点M，又为的中点，，又，
平面即为平面，
为平面与平面的交线分
取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，
则，，，，分
设平面的法向量为，，
则，
取，则，分
设直线与平面夹角为，
则
故直线与平面夹角的正弦值分
18. (本小题满分17分)
解：(1)由题易得
设，则分
∵，∴分
化简得：①
又在椭圆上，②
由①②得
又，∴分
故椭圆C的标准方程分
(2)设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）；直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方）.
∴直线EF的方程为，直线GH的方程为.
又，∴分
联立，解得
∴分
联立，解得
∴分
设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，
∴
则
分
∴四边形面积为
故该四边形的面积为定值分
19. (本小题满分17分)
解：（1），
设，又分
当时，在上单调递减，
，在上无零点分
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点分
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点分
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点分
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，
由得，，
，
分
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得分
②同理，，
由在上单调递减得，
，分
当为偶数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，
即分
当为奇数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，故不存在使得分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
B
A
B
D
A
题号
9
10
11
答案
BC
ABC
BCD
X
0
1
2
3
P