2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简OA+OC−OB+CO=( )
A. ABB. BAC. 0D. AC
2.已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为( )
A. 30B. π12C. π6D. π3
3.下列是函数f(x)=tan(2x−π4)的对称中心的是( )
A. (−π4,0)B. (π4,0)C. (0,0)D. (π8,0)
4.下列函数中是偶函数且最小正周期为π4的是( )
A. y=cs24x−sin24xB. y=sin4x
C. y=sin2x+cs2xD. y=cs2x
5.设a=sin42°，b=cs46°，c=2−12，则( )
A. c6. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
7.已知AB为圆O的一条弦，且|AB|=4，则OA⋅AB=( )
A. 4B. −4C. 8D. −8
8.埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球(大圆)的周长．如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向(这是从日光直射进该处一井内而得到证明的).同时在亚历山大城(该处与赛伊尼几乎在同一子午线上)，其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为( )
A. 38680千米B. 39375千米C. 41200千米D. 42192千米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中错误的是( )
A. 若a=b，则3a>2b
B. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
C. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
D. 在等边△ABC中，AB与BC的夹角为60°
10.若sinxcsx>0，sinx+csx>0，则x2可以是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
11.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)与函数g(x)=cs(4x+θ)(|θ|<π2)的图象的对称中心完全相同，则( )
A. 函数f(x+π6)为偶函数B. θ=π3
C. 直线x=π3是g(x)图象的一条对称轴D. (7π24,0)是g(x)图象的一个对称中心
12.已知a≠e,|e|=1，满足：对任意t∈R，恒有|a−te|≥|a−e|，则( )
A. a⋅e=0B. e⋅(a−e)=0
C. a⋅e=1D. e⋅(a−e)=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若|a|=8,|b|=12,a与b的夹角为45°，则向量a在b上的投影向量为______．
14.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|),λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的______心．
15.在△ABC中，∠C=2π3，则sinA⋅sinB的取值范围______．
16.如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设AB=a，AC=b，AF=xa+yb，则1x+4y的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，求证A，B，D三点共线．
(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．
18.(本小题12分)
已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=2 2．
(1)求a⋅b，|a+b|；
(2)求a与a+b的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知−π2(1)求cs(π+x)⋅cs(π2+x)的值；
(2)求sinx−csx的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的解析式；
(3)若|g(x)−m|<2在[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C.记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l．
(1)求l关于θ的函数关系式；
(2)当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：原式=OA−OB=BA．
故选：B．
进行向量的加法和减法的运算即可．
本题考查了向量的加法和减法的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵扇形的圆心角是30°，∴θ=π6，扇形半径r=1，
∴扇形的面积为：
S=12lr=12θr2=12×π6×1=π12．
故选：B．
根据扇形的面积公式能求出结果．
本题考查扇形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：令2x−π4=kπ2(k∈Z)，得x=kπ4+π8(k∈Z)，
令k=0，得x=π8，
∴(π8,0)为函数f(x)=tan(2x−π4)的一个对称中心，
其余选项得到的k∉Z，
故选：D．
利用正切函数的对称性质，令2x−π4=kπ2(k∈Z)，可得答案．
本题考查正切函数的对称性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的奇偶性，三角恒等变换和三角函数的周期，属基础题．
利用三角函数的奇偶性和三角函数的周期公式逐一判断即可．
【解答】
解：A.y=cs24x−sin24x=cs8x，是偶函数，周期T=π4，符合条件；
B.函数是奇函数，不符合条件；
C.y=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，是非奇非偶函数，不符合条件；
D.函数是偶函数，周期T=π，不符合条件．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数单调性的运用；解答本题的关键是将b，c分别化为44°和45°的正弦值，利用正弦函数的单调性判断．属基础题．
将b=cs46°化为sin44°，而c=1 2= 22=sin45°，利用正弦函数(0°,45°)的单调性判断a，b，c的大小．
【解答】
解：因为b=cs46°=sin44°，而c=1 2= 22=sin45°，
由正弦函数(0°,45°)单调递增，并且42°<44°<45°，
所以sin42°故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)
=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB−14AC．
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．
设AB的中点为M，连接OM，结合向量的数量积的定义得答案．
【解答】
解：设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，
则OA⋅AB=−AO⋅AB=−|AO|⋅|AB|⋅cs∠OAB
=−AM·AB=−12|AB|2=−8．
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：设地球半径为r，两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，
则5000×157.5=7.2180π⋅r，
∴2πr=5000×157.5×1807.2×2=39375(米)，
故选：B．
设出球的半径，利用弧长公式，求解球的半径，然后求解即可．
本题考查球面距离的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
9.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，因为向量不能比较大小，
故A错误；
对于B，当b=0时，a⋅b=b⋅c=0，
此时无法确定a=c，
故B错误；
对于C，当b=0时，此时无法判断a,c是否平行，
故C错误；
对于D，在等边△ABC中，∠ABC=60°，
则AB与BC的夹角为120°，
故D错误．
故选：ABCD．
根据平面向量的定义即可判断A；根据数量积的定义即可判断B；根据平面向量共线的定义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了共线向量及向量的夹角，属中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为sinxcsx>0，sinx+csx>0，
所以sinx>0，csx>0，故x是第一象限角，
由2kπ得kπ当k为偶数时，x2是第一象限角，
当k为奇数时，x2是第三象限角．
故选：AC．
由条件，可知x是第一象限角，据此得到x2范围，即可确定x2所在的象限．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对称中心完全相同，则周期相同，T=2πω=2π4，
则ω=4，f(x)=sin(4x−π6)，(π24,0)是f(x)的一个对称中心，
故g(π24)=cs(π6+θ)=0，π6+θ=kπ+π2,k∈Z，即..，
又|θ|<π2，故当k=0，θ=π3时满足条件，故g(x)=cs(4x+π3)，
对选项A：f(x+π6)=sin[4(x+π6)−π6]=sin(4x+π2)=cs4x，函数定义域为R，为偶函数，正确；
对选项B：θ=π3，正确；
对选项C：当x=π3时，4x+π3=5π3不是y=csx的对称轴，错误；
对选项D：当x=7π24时，4x+π3=3π2，g(7π24)=0，故(3π2,0)是y=csx的对称中心，正确．
故选：ABD．
根据对称中心完全相同得到ω=4，计算θ=π3，得到函数解析式，f(x+π6)=cs4x，A正确，θ=π3，B正确，代入验证知C错误D正确，得到答案．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：不妨设OE=e=(1,0),OA=a,OT=te=(t,0)，
则|a−te|=|OA−OT|=|TA|，其几何意义为定点A到x轴上的动点T的距离，
显然当AT⊥x轴时，|TA|取得最小值，
若对任意t∈R，恒有|a−te|≥|a−e|，即|TA|≥|OA−OE|=|EA|，
所以EA⊥x轴，
所以(a−e)⊥e，即e⋅(a−e)=0，故B正确，D错误；
因为e⋅(a−e)=e⋅a−e2=e⋅a−1=0，
所以e⋅a=1，故A错误，C正确．
故选：BC．
设OE=e=(1,0),OA=a,OT=te=(t,0)，根据向量线性运算的几何意义分析可得|a−te|=|TA|，即定点A到x轴上的动点T的距离，进而推出(a−e)⊥e，可判断选项B和D；由(a−e)⊥e，结合向量数量积的运算法则，可判断选项A和C．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】 23b
【解析】解：|a|=8,|b|=12，a与b的夹角为45°，
∴a⋅b=8×12× 22=48 2，则向量a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|= 23b．
故答案为： 23b．
根据条件可求出a⋅b=48 2，然后根据投影向量的计算公式即可求出a在b上的投影向量．
本题考查了向量数量积的计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】内
【解析】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|),λ∈[0,+∞),
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
理解AB|AB|+AC|AC|的含义，是∠BAC的平分线上的向量，即可解答本题．
本题考查三角形的五心，错误原因：对OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|),λ∈[0,+∞)理解不够．不清楚AB|AB|+AC|AC|与∠BAC的角平分线有关．考查内角平分线定理，平面向量基本定理的应用．
15.【答案】(0,14]
【解析】解：在△ABC中，因为∠C=2π3，可得A+B=π3，
所以B=π3−A，
则sinA⋅sinB=sinA⋅sin(π3−A)=sinA( 32csA−12sinA)= 32sinAcsA−12sin2A= 34sin2A+14cs2A−14=12sin(2A+π6)−14，
因为∠C=2π3，可得0所以sin(2A+π6)∈(12,1],
可得12sin(2A+π6)∈(14,12],
所以12sin(2A+π6)−14∈(0,14]．
故答案为：(0,14]．
根据题意，化简得到sinA⋅sinB=12sin(2A+π6)−14，结合三角函数的性质，即可求解．
本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质，属于中档题．
16.【答案】6+4 2
【解析】解：根据条件，AB=2AD；
∴AF=2xAD+yAC；
∵C，F，D三点共线，且F在线段CD上；
∴2x+y=1，且x，y∈(0,1)；
∴1x+4y=2x+yx+4(2x+y)y
=2+yx+8xy+4
≥6+4 2，当且仅当yx=8xy，即x=12+2 2时取“=”；
∴1x+4y的最小值为6+4 2．
故答案为：6+4 2．
可由条件得出AF=2xAD+yAC，进而便可得出2x+y=1，并且x，y∈(0,1)，从而便可得出1x+4y=2x+yx+4(2x+y)y，然后化简，根据基本不等式即可求出原式的最小值．
考查向量数乘的几何意义，三点A，B，C共线的充要条件：OC=xOA+yOB，且x+y=1，以及利用基本不等式求最值的方法．
17.【答案】证明：(1)因为AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a−b)，
所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a−b)=2a+8b+3a−3b=5(a+b)=5AB，
所以AB，BD共线，
又因为它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线；
(2)解：因为ka+b和a+kb共线，
所以存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb)，
所以ka+b=λa+kλb，
即 (k−λ)a=(kλ−1)b．
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k−λ=kλ−1=0，
所以k2−1=0，
所以k=1或k=−1．
【解析】(1)转化为证明向量AB，BD共线，即可证明三点共线；
(2)由共线定理可知，存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb)，利用向量相等，即可求解k的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cs=3×2 2×cs3π4=−6，
|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 9+2×(−6)+8= 5．
(2)由题意知，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=9+(−6)=3，
设a与a+b的夹角为θ，则csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=33× 5= 55，
故a与a+b的夹角的余弦值为 55．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算法则，可得a⋅b的值；由|a+b|= (a+b)2，再代入相关数据，得解．
(2)先求出a⋅(a+b)=3，设a与a+b的夹角为θ，由csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|，得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵sinx+csx=15．
∴1+2sinxcsx=125，
即sinxcsx=−1225sinx⋅csx+sin2x1+tanx=sinx(csx+sinx)1+sinxcsx，=sinxcsx(csx+sinx)sinx+csx=sinxcsx=−1225；
(2)由(1)知sinxcsx=−1225<0，又−π2∴csx>0，sinx<0，
∴sinx−csx=− (sinx−csx)2=− 1−2sinxcsx=−75．
【解析】(1)对已知等式两边平方，结合二倍角公式求解；
(2)利用二倍角公式求解．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由图像可知，A=2，且T=2(1112π−512π)=π=2πω，解得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，
因为f(512π)=2sin(56π+φ)=2，
所以56π+φ=2kπ+π2(k∈Z)，则φ=2kπ−π3(k∈Z)，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以f(x)=2sin(2x−π3)，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
所以函数单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)．
(2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x−π3)，
将函数f(x)的图像向左平移π6个单位，得到y=2sin(2(x+π6)−π3)=2sin2x，
再把所得图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，
所以g(x)=2sinx；
(3)因为x∈[π4,π2]，所以 22≤sinx≤1，
所以 2≤g(x)≤2，
因为|g(x)−m|<2在[π4,π2]上恒成立，
所以g(x)−2所以2−2所以实数m的取值范围为(0, 2+2)．
【解析】(1)通过最大值求A，利用周期解得ω，代点求解φ，可得函数解析式，再利用整体代入法求单调递增区间；
(2)通过函数的平移和伸缩变换求函数解析式；
(3)由函数y=g(x)在区间内的值域，结合不等式恒成立，求实数m的取值范围．
本题考查利用函数的部分图像求函数的解析式，函数的单调性和图像变换，恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在直角三角形OAB中，∵OA=1，∠AOB=θ，
∴OB=csθ，AB=sinθ．
在直角三角形OAC中，∵∠POQ=π3，∴∠AOC=π3−θ，
从而OC=cs(π3−θ)，AC=sin(π3−θ)．
∴l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)，θ∈(0,π3)；
(2)由(1)知，l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)
=sinθ+csθ+( 32csθ−12sinθ)+(12csθ+ 32sinθ)
= 3+12sinθ+ 3+32csθ
=( 3+1)(12sinθ+ 32csθ)
=( 3+1)sin(θ+π3)，θ∈(0,π3).
∵θ∈(0,π3)，∴θ+π3∈(π3,2π3)，
∴当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，l取得最大值 3+1．
∴当θ=π6时，l取得最大值，最大值为 3+1．
【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
(1)在直角三角形OAB中，由OA，∠AOB，求出OB=csθ，AB=sinθ，在直角三角形OAC中，由∠POQ=π3，可得∠AOC=π3−θ，从而求出OC=cs(π3−θ)，AC=sin(π3−θ)，则可求出l关于θ的函数关系式；
(2)由(1)知，l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)，利用三角函数的诱导公式化简可得l=( 3+1)sin(θ+π3)，由θ∈(0,π3)，可得θ+π3∈(π3,2π3)，从而求出当θ+π3=π2，即θ=π6时，l取得最大值．