2022-2023学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.tan300°的值为( )
A. 33B. − 3C. 3D. − 33
2.在△ABC中，|AC+CB|=|AC−AB|=|AB+BC|，则△ABC是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
3.已知sin(3π8+α)=13，则cs(π8−α)=( )
A. −13B. 13C. − 33D. 33
4.设a=sin46°，b=cs46°，c=tan46°，则下列结论成立的是( )
A. c5.在△ABC中，a2−c2+b2=ab，则角C的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
6.一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为( )
A. 2 3km/hB. 2km/hC. 3km/hD. 3km/h
7.要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=sin(2x+π4)的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花.图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN/​/CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最大值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b，c是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A. 若a/​/b，则a⋅b=|a|⋅|b|
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若|a|=|b|，则a=b或a=−b
D. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知函数f(x)，当x∈[−1,1]时单调递增，若角A，B，C是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是( )
A. f(sinA)>f(csB)B. f(sinA)C. f(csA)>f(sinB)D. f(csA)11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
D. 若A=30°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
12.定义max{a,b}为a，b中较大的数，已知函数f(x)=max{sinx,csx}，给出下列命题：其中正确的为( )
A. f(x)为非奇非偶函数
B. f(x)是以π为最小正周期的周期函数
C. f(x)的值域为[−1,1]
D. 当−π2+2kπ0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是______．
14.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．
15.函数y=3sin(π3−2x)的单调递增区间是______．
16.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)在[0,2π3]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)在△ABC中，点D在BC边上且BD+2CD=0，以向量AB，AC为基底，表示向量AD．
(2)已知空间向量a,b，且AB=a+2b，BC=−5a+6b，CD=7a−2b，求证：A、B、D三点共线．
18.(本小题12分)
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−1,2)．
(1)求sinα，csα，tanα；
(2)sin(3π−α)sin(π2−α)−cs(π+α)．
19.(本小题12分)
在△ABC中，已知a=4，b=5，csB=916．
(1)求sinA．
(2)求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(x,4)，c=(4,−x)，且a⊥c；
(1)求a与c−b的夹角；
(2)若|a+kc|=5，求k的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs(ωx+π3)，
(1)若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为π，求f(x)的解析式．
(2)在(1)的条件下，若f(x)在[0,a]上的值域是[−1,12]，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f(0)=−1；④f(−π6)=0
(1)给出函数f(x)的解析式，并说明理由；
(2)已知x∈[−π4,π4]，求f(x)的最值及相应的x值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题..
直接按照诱导公式转化计算即可．
【解答】
解：tan300°=tan(300°−360°)=tan(−60°)=−tan60°=− 3
故选B
2.【答案】A
【解析】解：根据三角形法则可得：AC+CB=AB，AC−AB=BC，AB+BC=AC，
∵在△ABC中|AC+CB|=|AC−AB|=|AB+BC|，
∴|AB|=|BC|=|AC|，
即△ABC三条边相等，
∴△ABC是等边三角形．
故选：A．
根据向量加减法法则及模的定义判断．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：cs(π8−α)=sin[π2−(π8−α)]=sin(3π8+α)=13．
故选：B．
由已知根据诱导公式计算．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：b=cs46°=sin44°，又0°<44°<46°<90°，且y=sinx在0°～90°上递增，
∴sin44°45°，所以c=tan46°>tan45°=1，
∴b故选：B．
根据正弦定理与正切函数的单调性判断．
本题主要考查三角函数线，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵a2−c2+b2=ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又C为三角形的内角，
则C=60°．
故选C
利用余弦定理表示出csC，将已知的等式代入求出csC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，船在A处，AB=4，
实际航程为AC=8，
则∠BCA=30°，|vAB|=2，|vAC|=4，
所以|vBC|=2 3，
故选：A．
根据题意求得，|vAB|=2，|vAC|=4，然后通过解直角三角形得到河水的流速．
本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形模型的应用，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：将函数y=sin(2x+π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(x+π4)的图象；
再向右平行移动π4个单位长度，可得函数y=sinx的图象，
故选：D．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接PO，显然OM=−ON，
PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)=(PO+OM)⋅(PO−OM)=PO2−OM2=PO2−4，
因为点P在正六边形ABCDEF的边上运动，O是其中心，
因此|PO|的最大值等于其边长4，
所以PM⋅PN的最大值为42−4=12．
故选：D．
由PM=PO+OM，PN=PO+ON，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：已知向量a，b，c是三个非零向量，
对于A，若a/​/b，当a,b反向时，a⋅b=−|a|⋅|b|，故A错；
对于B，依题意，c≠0，b≠0，若a/​/b，b/​/c，
则存在实数λ，μ使得a=λb，b=μc，从而a=λμc，因此也有a/​/c，故B正确；
对于C，若|a|=|b|，则a,b的长度相等，但它们的方向不确定，不一定同向或反向，故C错；
对于D，若|a+b|=|a−b|，则(a+b)2=(a−b)2，化简得a⋅b=0，所以a⊥b，故D正确．
故选：BD．
根据数量积的定义判断A，由向量平行的定义判断B，结合向量模的定义判断C，由向量垂直的数量积表示判断D．
本题考查了平面向量数量积的定义及其运算，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，△ABC是锐角三角形，则A+B>π2，且0因此0<π2−B而f(x)在[−1,1]上递增且sinA，csB∈[−1,1]，
则有f(csB)同理f(csA)故选：AD．
根据题意，由锐角三角形的定义可得A+B>π2，变形有0<π2−B本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，AC⋅AB>0，即|AC||AB|csA>0，csA>0，A是锐角，但B，C是否都为锐角，不确定，A错；
选项B，由正弦定理asinA=bsinB，因此sinA>sinB⇔a>b，B正确；
选项C，由正弦定理，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k，
则csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22⋅2k⋅3k=−14<0，C为钝角，△ABC是钝角三角形，C正确；
选项D，由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=2 2sin30°2= 22，
而0°a，得B>A，因此B=45°或135°，△ABC有两解，D错．
故选：BC．
由数量积定义判断出A的真假；由正弦定理判断出B的真假；由正弦定理、余弦定理判断出C的真假；由正弦定理判断出D的真假．
本题考查三角形形状的判断，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为f(π2)=max{sinπ2,csπ2}=1，f(−π2)=max{sin(−π2),cs(−π2)}=0，
显然f(−π2)≠f(π2)且f(−π2)≠−f(π2)，因此f(x)是非奇非偶函数，A正确；
f(−π2+π)=f(π2)≠f(−π2)，因此π不是函数f(x)的周期，B错；
由f(x)定义知，当x∈[2kπ−3π4,2kπ+π4]，k∈Z时，
f(x)=csx∈[− 22,1]，
当x∈[2kπ+π4,2kπ+5π4]，k∈Z时，
f(x)=sinx∈[− 22,1]，
综上可得f(x)值域是[− 22,1]，C错；
由上讨论知当−π2+2kπ0，
当π4+2kπ≤x<2kπ+π(k∈Z)时，f(x)=sinx>0，因此D正确．
故选：AD．
根据奇偶性定义判断A；
周期性定义判断B；
结合正弦函数、余弦函数性质判断CD．
本题属于新概念题，考查了正、余弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】1或4
【解析】解：设扇形的中心角为θ，半径为r．
则2r+rθ=6，12r2θ=2，
解得r=1，θ=4；r=2，θ=1．
故答案为：1或4．
利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出．
本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】(35,−45)或(−35,45)
【解析】解：∵向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是±a|a|=±(35,−45)，
即(35,−45)或(−35,45)，
故答案为：(35,−45)或(−35,45).
由题意，根据与a平行的单位向量是±a|a|，得出结论．
本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．
15.【答案】[kπ+5π12 ,kπ+11π12]，k∈z
【解析】解：因为函数y=3sin(π3−2x)=−3sin( 2x−π3)的单调递增区间，即函数y=3sin( 2x−π3)的单调递减区间，
由2kπ+π2≤ 2x−π3≤2kπ+3π2，k∈z，
解得 kπ+5π12≤ x≤ kπ+11π12，k∈z，
故函数y=3sin(π3−2x)的单调递增区间是[kπ+5π12 ,kπ+11π12]，k∈z，
故答案为[kπ+5π12 ,kπ+11π12]，k∈z．
利用诱导公式可得本题即求函数y=3sin( 2x−π3)的单调递减区间，由2kπ+π2≤ 2x−π3≤2kπ+3π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数y=3sin( 2x−π3)的单调递减区间．
本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调减区间的求法，属于中档题．
16.【答案】[74,134)
【解析】解：由0≤x≤2π3，可得−π6≤ωx−π6≤2ωπ3−π6，
由题意π≤2ωπ3−π6<2π，解得74≤ω<134．
故答案为：[74,134)．
先求得ωx−π6的范围，然后由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
17.【答案】解：(1)BD+2CD=0，则BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，

(2)证明：BD=BC+CD=−5a+6b+7a−2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB，即BD//AB，
又AB与BD过同一点B，∴A、B、D三点共线．
【解析】(1)由BD+2CD=0得BD=23BC，然后由向量的线性运算求解；
(2)由向量的运算求得BD=2AB，然后由向量平行得证三点共线．
本题考查平面向量和空间向量的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为α的终边过点(−1,2)，
则|OP|= 5，
由三角函数的定义可得sinα=2 5=2 55，csα=−1 5=− 55，tanα=2−1=−2；
(2)sin(3π−α)sin(π2−α)−cs(π+α)=sinαcsα+csα=12tanα=12×(−2)=−1．
【解析】(1)由题意根据三角函数的定义求解；
(2)用诱导公式、同角关系式化简后，代入(1)中结论可得．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵csB=916，∴sinB= 1−cs2B=5 716，
由正弦定理可得asinA=bsinB，
即sinA=asinBb=4×5 7165= 74；
(2)由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
即25=16+c2−2×4c×916，
解得c=−32(舍去)或c=6，
∴S△ABC=12bcsinA=12×5×6× 74=15 74．
【解析】(1)由正弦定理求解；
(2)由余弦定理求得c，再由面积公式计算．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为向量a=(1,2)，b=(x,4)，c=(4,−x)，
又a⊥c，
所以a⋅c=1×4−2x=0，
解得x=2，
所以b=(2,4)，c=(4,−2)，
得c−b=(2,−6)，
所以cs〈a,c−b〉=a⋅(c−b)|a||c−b|=1×2+2×(−6) 12+22× 22+(−6)2=− 22，
即a与c−b夹角的余弦值为− 22．
又∈[0,π]，
所以=3π4，
即a与c−b的夹角为3π4．
(2)由(1)知，a=(1,2)，c=(4,−2)，
所以a2=5，c2=20，a⋅c=1×4+2×(−2)=0，
所以|a+kc|2=a2+2ka⋅c+k2c2=5+20k2=25，
即k2=1，
解得k=±1，
所以k的值为±1．
【解析】(1)利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解；
(2)根据(1)的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得：|x1−x2|min=T2=12⋅2πω=πω=π，
∴ω=1，故f(x)的解析式为f(x)=cs(x+π3)；
(2)由(1)可得f(x)=cs(x+π3)，令t=x+π3，则y=cst，如图所示，

∵f(x)的值域是[−1,12]，0≤x≤a，
∴π3≤x+π3≤π3+a，即：π3≤t≤π3+a，
∴由图可知π≤π3+a≤5π3，解得2π3≤α≤4π3，
∴实数a的取值范围为[23π,43π]．
【解析】(1)由已知得函数周期，由周期求得参数ω得解析式；
(2)求出x+π3的范围，结合余弦函数y=cst的图象可得结论．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若函数f(x)满足条件③，则f(0)=Asinφ=−1，
这与A>0，0<φ<π2矛盾，故f(x)不能满足条件③，
所以函数f(x)只能满足条件①，②，④．
由条件①，得2π|ω|=π，
又因为ω>0，
所以ω=2，
由条件②，得A=2
由条件④，得f(−π6)=2sin(−π3+φ)=0，
又因为0<φ<π2，
所以φ=π3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)；
(2)由x∈[−π4,π4]，知2x+π3∈[−π6,5π6]，
当2x+π3=−π6，时ymin=−1；此时x=−π4，
当2x+π3=π2，时ymax=2；此时x=π12．
【解析】(1)利用已知条件及三角函数的周期公式，结合特殊值对应特殊角即可求解；
(2)利用复合函数的求最值的方法及三角函数的性质即可求解．
本题考查三角函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．