2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省武威市民勤一中、天祝一中、古浪一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (ax−1)′=axB. (1x2)′=−1x3
C. (lnx+3)′=1x+3D. (csx)′=−sinx
2.已知向量a=(λ+1,1,λ)，b=(2,μ−1,1)，若a/​/b，则λ+μ=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.2023年3月5日，于西班牙博伊陶尔进行的2023年滑雪登山世锦赛落下帷幕，19岁中国小将玉珍拉姆获得女子U20组短距离项目冠军.在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度h(单位：m)与开始时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=−t2−3t+5000，则此次练习中，玉珍拉姆在t=7s时的瞬时速度为( )
A. 35m/sB. 17m/sC. −17m/sD. −35m/s
4.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，G是BC1与B1C的交点，若AB=a，AC=b，AA1=c，则A1G=( )
A. 12a+12b−12c
B. 12a−12b+12c
C. −12a+12b+12c
D. 12a+12b+12c
5.已知曲线f(x)=a x在点(1,f(1))处的切线为y=2x+a−2，则实数a=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若函数f(x)=lnx−ax在区间(3,4)上有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (0,13)B. (14,+∞)C. [14,13]D. (14,13)
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，P，M分别为线段BC，A1B1的中点，Q，N分别为线段D1C1，AD上的动点，若PQ⊥MN，则线段QN的长度的最小值为( )
A. 10
B. 6
C. 5
D. 222
8.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)+xf′(x)b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b>a>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. a−b，b−c，c−aB. 3a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. 2(a+b)，a+b+c，c
10.定义在R上的可导函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. −2是函数f(x)的极大值点，−1是函数f(x)的极小值点
B. 0是函数f(x)的极小值点
C. 函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
D. 函数f(x)的单调递减区间是(−2,−1)
11.已知四边形ABCD是平行四边形，A(0,0,−1)，B(−2,0,0)，C(0,−2,2)，则( )
A. 点D的坐标是(−2,−2,3)B. |BD|= 21
C. cs∠DAB= 1515D. 四边形ABCD的面积是2 14
12.已知函数f(x)=ex−(a+1)x，则下列结论正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. 当a=0时，f(x)>0恒成立
C. “a0(x1≠x2)恒成立”的充要条件
D. 若函数f(x)有两个零点，则a>e−1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面α的法向量a=(−1,1,2)，A(2,1,7)为α上一点，则点P(1,−2,2)到α的距离为______．
14.已知函数f(x)=sin(2x−π6)，则f′(π4)= ．
15.在空间直角坐标系O−xyz中，点A，B，C，M的坐标分别是(2,0,2)，(2,1,0)，(0,4,−1)，(0,m,−5)，若A，B，C，M四点共面，则m=______．
16.设函数f(x)=ex−2mx在区间[[12,3]上有零点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线段AG的中点．
(1)用OA,OB,OC表示OM，并求出|OM|；
(2)求证：OM⊥BC．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x2−32x+1)ex．
(1)求y=f(x)在(0,1)处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题12分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为DD1的中点，F为BD1上靠近B的三等分点．
(1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值；
(2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2+bx+1在x=3处取得极值−26．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[−4,4]，使得f(x)−t>0成立，求实数t的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥M−ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，△MAD为正三角形，平面MAD⊥平面ABCD，E，F分别是棱DC，BM的中点．
(1)求证：EF/​/平面MAD；
(2)求平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−x,g(x)=lnx+ax−2,a∈R．
(1)讨论函数g(x)的单调性；
(2)设h(x)=2g(x)−f(x)，当a>0时，若h(x)≥0对任意x∈(0,+∞)都成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵(ax−1)′=axlna，∴A错误，
∵(1x2)′=−2xx4=−2x3，∴B错误，
∵(lnx+3)′=1x，∴C错误，
∵(csx)′=−sinx，∴D正确．
故选：D．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a/​/b，所以存在实数k，使得a/​/b，即(λ+1,1,λ)=k(2,μ−1,1)，
所以λ+1=2k1=k(μ−1)λ=k，解得k=λ=1，μ=2，
所以λ+μ=3．
故选：B．
利用空间向量平行的性质得到关于λ，μ的方程组，解之即可得解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为h(t)=−t2−3t+5000，所以h′(t)=−2t−3，
所以h′(7)=−17，即玉珍拉姆在t=7s时的瞬时速度为−17m/s．
故选：C．
利用导数的几何意义即可得解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为ABC−A1B1C1为三棱柱，AB=a，AC=b，AA1=c，
所以A1B1=AB,A1C1=AC，A1G=A1B1+B1G=A1B1+12(B1B+B1C1)=AB+12A1A+12(A1C1−A1B1)=12AB+12A1C1−12AA1=12a+12b−12c．
故选：A．
由空间向量线性运算即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：f′(x)=a2 x，所以f′(1)=a2，
又曲线f(x)=a x在点(1,f(1))处的切线为y=2x+a−2，
所以f′(1)=a2=2⇒a=4．
故选：D．
利用导数的几何意义计算即可．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由已知得f′(x)=1−axx，
若函数f(x)=lnx−ax在(3,4)上有极值点，
则1−ax=0在x∈(3,4)上有解，即x=1a∈(3,4)，
解得143f(3)，
即a>b>c．
故选：A．
根据题意，构造函数g(x)=xf(x)，求g(x)的导数g′(x)，利用导数判断函数的单调性，即可比较a、b、c的大小．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了函数值的大小比较，是基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，a−b=−(b−c)−(c−a)，满足空间共面向量定理，故A正确，
对于B，3a=32[(a+b)+(a−b)]，满足空间共面向量定理，故B正确，
对于C，若a+b，a−b，c共面，
则存在实数λ，μ，使得c=λ(a+b)+μ(a−b)=(λ+μ)a+(λ−μ)b，故a，b，c共面，
这与{a,b,c}构成空间的一个基底，即a，b，c不共面矛盾，不满足空间共面向量定理，故C错误，
对于D，c=a+b+c−12×2(a+b)，满足空间共面向量定理，故D正确．
故选：ABD．
根据空间共面向量定理可判断A，B，D；采用反证的方法，推出矛盾，可判断C．
本题主要考查空间共面向量定理，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由导函数图象可得，当x0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以0是函数f(x)的极小值点，所以B，C正确，A，D错误．
故选：BC．
由导函数的图象，结合导数与单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得极值点，逐项判断即可得解．
本题主要考查里用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：不妨设点D坐标为(a,b,c)，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，即(a,b,c+1)=(2,−2,2)，
所以a=2，b=−2，c=1，
所以点D坐标为(2,−2,1)，故A错误，
|BD|= 42+(−2)2+12= 21，故B正确，
AD=(2,−2,2)，AB=(−2,0,1)，
所以cs∠DAB=cs〈AD,AB〉=AD⋅AB|AD||AB|=− 1515，故C错误，
因为sin∠DAB= 21015，
所以四边形ABCD的面积S=|AD||AB|sin∠DAB=2 3× 5× 21015=2 14，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及向量相等的条件，求出点D，即可依次求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：当a=0时，f(x)=ex−x，f′(x)=ex−1，
令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)0(x1≠x2)恒成立，则f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)=ex−a−1≥0在R上恒成立，即a≤ex−1恒成立，
又ex−1>−1，所以a≤−1，
所以“a0(x1≠x2)恒成立”的充分不必要条件，C错误；
由题易得，x=0不是函数f(x)的零点，令f(x)=0，得a=exx−1，
令g(x)=exx−1，则g′(x)=ex(x−1)x2，
令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)e12，
∴g(x)∈[e2,e36]，
即当m∈[e2,e36]时，函数f(x)在[12,3]上有零点．
故答案为：[e2,e36]．
参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)点M是线段AG的中点，由平行四边形法则可得OM=12(OA+OG)，
在正△OBC中，根据重心的性质可得OG=23×12(OB+OC)=13(OB+OC)，
∴OM=12(OA+13OB+13OC)=12OA+16OB+16OC，
在正四面体OABC中，|OA|=|OB|=|OC|=2，∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
|OM|²=(12OA+16OB+16OC)2=14|OA|²+136|OB|²+136|OC|²+16OB⋅OA+16OC⋅OA+118OB⋅OC=14×2²+136×2²+136×2²+16×2×2×12+16×2×2×12+118×2×2×12=2，
∴|OM|= 2；
(2)证明：由(1)知OM=12OA+16OB+16OC，BC=OC−OB，
在正四面体OABC中，|OA|=|OB|=|OC|=2，∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，
∴OM⋅BC=(12OA+16OB+16OC)⋅(OC−OB)=12OC⋅OA−12OB⋅OA+16OB⋅OC−16|OB|²+16|OC|²−16OB⋅OC=0，
∴OM⊥BC．
【解析】(1)由平行四边形法则可得OM=12(OA+OG)，在正△OBC中，根据重心的性质可得OG=23×12(OB+OC)，即可得出答案；
(2)由(1)知OM=12OA+16OB+16OC，BC=OC−OB，利用向量的数量积计算OM⋅BC，即可证明结论．
本题考查空间向量的数量积和向量的三角形法则、平行四边形法则，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=(x2+12x−12)ex，
所以f′(0)=−12，
故y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y−1=−12(x−0)，
即x+2y−2=0，
所以函数在(0,1)处的切线方程为：x+2y−2=0；
(2)令f′(x)=0，则x2+12x−12=0，解得x1=−1，x2=12，
所以当x0，f(x)单调递增；
当−10，得x>a；令g′(x)0，令h′(x)>0，得x>a；令h′(x)