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高考数学专题一 微专题1 函数的图象与性质课件PPT
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这是一份高考数学专题一 微专题1 函数的图象与性质课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了思维导图，考点二函数的图象，方法一特值法，－11等内容，欢迎下载使用。
函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题.
典例1 (1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x) ＝的定义域为A.(－2,1) B.(－2,0)∪(0,1)C.(0,1) D.(－∞，0)∪(0,1)
考点一 函数的概念与表示
解得－2
(－2，－1)∪(0，＋∞)
由题意知a≠0，①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1
对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1；令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误；对于B，令x＝0，得f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误；对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误；对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.
(2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝＝2，则a＝____.
典例2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间 上的图象大致为
方法二 令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，排除B，D；
(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x).给出下列四个结论，其中正确的是A.g(1)＝B.函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称C.不等式g(x)>0的解集为RD.函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z
对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，
对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误；
对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减，又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0,1]上单调递增.又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的周期函数，所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是
方法一 作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图.
方法二 因为函数f(x)＝所以函数f(1－x)＝当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝ <0，排除C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是
对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；
考点三 函数的性质典例3 (1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋ 为偶函数，则a＝____.
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函数D.x＝0为f(x)的极小值点
方法一 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
令f′(x)<0，得00，得x> ，故f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误.
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均
g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcs πx，即g(x)＝πcs πx，所以g(－1)＝πcs(－π)＝－π，g(2)＝πcs 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.
1.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].
2.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；
为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
3.(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是
4.已知函数f(x)＝sin x＋ ，则A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x＝π对称D.f(x)的图象关于直线x＝ 对称
∴f(x)min<0，故A错误；
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；
∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；
5.(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ ，则f(x)的图象可能为
f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D；
因为x2＋x－2<0，
所以f(x)<0，所以排除B.
6.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则22k＝ 等于A.－3 B.－2 C.0 D.1
因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)， ①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知， ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
7.(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有 >0，则下列结论正确的是A.f(x)是奇函数B.f(2 023)＝0 C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；
对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确；对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；
8.(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称B.函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)C.函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点D.若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为 0或±4或±8
由f(x－4)＝－f(x)得，f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，因为f(x)是奇函数，所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，对称轴为直线x＝2，根据f(x)在[0,2]上单调递增，可知f(x)在[－2,0]上也是单调递增的，得函数图象大致如下，
对于A，对称轴为x＝2＋4k(k∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋2(k∈Z)，故A正确；对于B，单调递增区间为[8k－2,8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误；对于C,2 019－(－2 019)＝4 038＝504×8＋6，共有504个周期多6，函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1 008(个)最值点，
在(－2 019，－2 016)上有1个最值点，在(2 016,2 019)上有1个最值点，共有1 008＋2＝1 010(个)最值点，故C正确；
对于D，若m＝m1 ＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4，若0
所以f(－1)＝－f(1)，
即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1，此时f(x)的定义域为R，满足题意.
10.(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_______________________________.①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数.
若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1).
f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
11.(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝ ，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________.
令g(x)＝xf(x)＝x(2x－2－x)，则g(－x)＝(－x)(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，又g′(x)＝2x－2－x＋xln 2(2x＋2－x)，当x>0时，2x－2－x>0,2x＋2－x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
12.(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)＝ 定义在实数集上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋ ＝____.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2－x)，由f(－x)＝5－g(2＋x)得f(x)＝5－g(2－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2－x)＝9＋f(－x－2)＝9＋f(x＋2)，代入f(x)＝5－g(2－x)得f(x)＝－4－f(x＋2)，所以f(x)＋f(x＋2)＝－4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－4，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的函数，由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2)＝9＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝－7，即f(2)＝－7，
函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题.
典例1 (1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x) ＝的定义域为A.(－2,1) B.(－2,0)∪(0,1)C.(0,1) D.(－∞，0)∪(0,1)
考点一 函数的概念与表示
解得－2
(－2，－1)∪(0，＋∞)
由题意知a≠0，①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有A.f(|x|)＝x3 B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1
对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1；令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误；对于B，令x＝0，得f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误；对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误；对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.
(2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝＝2，则a＝____.
典例2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间 上的图象大致为
方法二 令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，排除B，D；
(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x).给出下列四个结论，其中正确的是A.g(1)＝B.函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称C.不等式g(x)>0的解集为RD.函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z
对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，
对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误；
对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减，又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0,1]上单调递增.又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的周期函数，所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是
方法一 作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图.
方法二 因为函数f(x)＝所以函数f(1－x)＝当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝ <0，排除C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是
对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；
考点三 函数的性质典例3 (1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋ 为偶函数，则a＝____.
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函数D.x＝0为f(x)的极小值点
方法一 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
令f′(x)<0，得0
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误.
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均
g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcs πx，即g(x)＝πcs πx，所以g(－1)＝πcs(－π)＝－π，g(2)＝πcs 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.
1.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].
2.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；
为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
3.(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是
4.已知函数f(x)＝sin x＋ ，则A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x＝π对称D.f(x)的图象关于直线x＝ 对称
∴f(x)min<0，故A错误；
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；
∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；
5.(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ ，则f(x)的图象可能为
f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D；
因为x2＋x－2<0，
所以f(x)<0，所以排除B.
6.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则22k＝ 等于A.－3 B.－2 C.0 D.1
因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)， ①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知， ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
7.(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有 >0，则下列结论正确的是A.f(x)是奇函数B.f(2 023)＝0 C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；
对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确；对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；
8.(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称B.函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)C.函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点D.若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为 0或±4或±8
由f(x－4)＝－f(x)得，f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，因为f(x)是奇函数，所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，对称轴为直线x＝2，根据f(x)在[0,2]上单调递增，可知f(x)在[－2,0]上也是单调递增的，得函数图象大致如下，
对于A，对称轴为x＝2＋4k(k∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋2(k∈Z)，故A正确；对于B，单调递增区间为[8k－2,8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误；对于C,2 019－(－2 019)＝4 038＝504×8＋6，共有504个周期多6，函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1 008(个)最值点，
在(－2 019，－2 016)上有1个最值点，在(2 016,2 019)上有1个最值点，共有1 008＋2＝1 010(个)最值点，故C正确；
对于D，若m＝m1 ＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4，若0
所以f(－1)＝－f(1)，
即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1，此时f(x)的定义域为R，满足题意.
10.(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_______________________________.①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数.
若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1).
f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
11.(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝ ，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________.
令g(x)＝xf(x)＝x(2x－2－x)，则g(－x)＝(－x)(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，又g′(x)＝2x－2－x＋xln 2(2x＋2－x)，当x>0时，2x－2－x>0,2x＋2－x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
12.(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)＝ 定义在实数集上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋ ＝____.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2－x)，由f(－x)＝5－g(2＋x)得f(x)＝5－g(2－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2－x)＝9＋f(－x－2)＝9＋f(x＋2)，代入f(x)＝5－g(2－x)得f(x)＝－4－f(x＋2)，所以f(x)＋f(x＋2)＝－4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－4，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的函数，由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2)＝9＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝－7，即f(2)＝－7，
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