高考数学专题一　微专题5　函数的极值、最值课件PPT

这是一份高考数学专题一　微专题5　函数的极值、最值课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了思维导图，列表如下，使得φx0＝0等内容，欢迎下载使用。
应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.
典例1　已知函数f(x)＝eax(x－1)2.(1)若a＝1，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
考点一　利用导数研究函数的极值
当a＝1时，f(x)＝ex(x－1)2，f′(x)＝ex(x2－1)，所以f′(0)＝e0(02－1)＝－1，又f(0)＝e0(0－1)2＝1，所以切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.
(2)求f(x)的极大值与极小值；
f′(x)＝aeax(x－1)2＋2eax(x－1)＝eax(x－1)(ax－a＋2)，当a＝0时，f′(x)＝2(x－1)＝0，解得x＝1，故当x0，f(x)单调递增，所以当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝0，无极大值.
综上，当a＝0时，f(x)的极小值为f(1)＝0，无极大值；
跟踪训练1　(2023·长沙模拟)设g(x)＝ ＋(x－a)cs x－sin x，a∈R，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
所以g′(x)＝x2－ax＋cs x－(x－a)sin x－cs x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)，令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cs x≥0，所以h(x)在R上是增函数，因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a0，g(x)单调递增.
所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当a＝0时，g(x)是增函数，无极值；当a>0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝
典例2　已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；
考点二　利用导数研究函数的最值
f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
满足题设条件的a，b存在.①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝b＝－1，最大值为f(1)＝2－a＋b＝1.解得a＝0，b＝－1，此时a，b满足条件；②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝b＝1，最小值为f(1)＝2－a＋b＝－1.
解得a＝4，b＝1，此时a，b满足条件；
最大值为b或2－a＋b.
综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]上的最小值为－1，最大值为1.
跟踪训练2　(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－ (m∈R).(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
∴当x∈(0,2)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2).
(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值.
得当m≥0时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数，则f(x)在[1，e]上单调递增，从而f(x)min＝f(1)＝－m＝4，可得m＝－4，不符合题意；当mf(1)，所以f(x)max＝f(－2)＝2a2＋4a－7.
所以f(x)max＝f(－2)＝2a2＋4a－7.综上，当10)，
由x>0，得x＋1>0，令φ(x)＝xex－1(x>0)，所以φ′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
φ(1)＝e－1>0，由函数零点存在定理可知，
即x0＝－ln x0，由上述对函数F(x)的分析，列表如右，
故F(x)min＝F(x0)＝ －x0－ln x0＝ ＋ln x0－ln x0
所以函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为1.
因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
2.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝(4－2a－4＋a－1)e－3＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.
由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x0；当－21时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0.当x>1时，由f(x)＝x－aln x可得
当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故只需1－aln 1≥0，显然成立；当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值为f(a)＝a－aln a，令f(a)≥0，解得00C.b2＋8ac>0 D.ac0，ab>0，ac－1)在x＝－1处取得最小值，则实数b的最大值为________.
f(x)＝ax3＋x2－ax，∴f′(x)＝3ax2＋2x－a，g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(2－a)x－a，当x∈[－1，b]时，g(x)在x＝－1处取得最小值，则g(x)≥g(－1)，即(x＋1)[ax2＋(2a＋1)x＋(1－3a)]≥0，当x＝－1时，不等式恒成立.当－10，则不等式成立的充要条件是h(b)≥0，整
9.(2023·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ x3－2x2＋(2－a)x＋1，其中a∈R.(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
依题意，f′(x)＝2x2－4x＋2－a＝2(x－1)2－a，而x∈[2,3]，则2(x－1)2∈[2,8]，①当a≤2时，f′(x)≥0，当且仅当a＝2，x＝2时取等号，函数f(x)在[2,3]上单调递增，
②当a≥8时，f′(x)≤0，当且仅当a＝8，x＝3时取等号，函数f(x)在[2,3]上单调递减，
10.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋1，其中a∈R.(1)当a＝3时，求函数f(x)在(0,3)内的极值；
由题意得，当a＝3时，f(x)＝2x3－12x2＋18x＋1，则f′(x)＝6x2－24x＋18＝6(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3，f′(x)，f(x)在(0,3)内随x变化而变化的情况如表所示，
故f(x)在(0,3)内的极大值为9，无极小值.
(2)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为5，求实数a的取值范围.
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，①当a≤1时，∀x∈[1,2]，f′(x)≥0且不恒为0，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝2×13－3(a＋1)×12＋6a×1＋1＝3a，
②当a≥2时，∀x∈[1,2]，f′(x)≤0且不恒为0，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以在[1,2]上，f(x)min＝f(2)＝2×23－3(a＋1)×22＋6a×2＋1＝5，符合题意；