高考数学专题一　微专题8　利用导数研究函数零点问题课件PPT

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在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现.
典例1　已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数.证明：
考点一　利用导数判断函数零点
设g(x)＝f′(x)，
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；
(2)f(x)有且仅有2个零点.
f(x)的定义域为(－1，＋∞).①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)0；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0].注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2.参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609，ln 7＝1.946.
令g(x)＝2x3－ax－2，则g′(x)＝6x2－a，
又g(1)＝－a1，
故方程(*)的唯一解，即f(x)的唯一零点x0∈(2,3)，故[x0]＝2.
典例2　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
考点二　由零点个数求参数范围
当a＝1时， f(x)＝ln(1＋x)＋xe－x，x>－1，
所以f′(0)＝1＋1＝2.因为f(0)＝0，所以所求切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点，求a的取值范围.
f(x)的定义域为(－1，＋∞).
设g(x)＝ex＋a(1－x2).①若a>0，则当x∈(－1,0)时，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以f(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，故f(x)在(0，＋∞)上没有零点，不符合题意.
③若a0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝1＋a0，所以存在m∈(0,1)，使得g(m)＝0，即f′(m)＝0，当x∈(0，m)时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以当x∈(0，m)时，f(x)0，所以g′(x)在(－1,0)上单调递增，
所以存在n∈(－1,0)，使得g′(n)＝0，当x∈(－1，n)时，g′(x)0，g(x)单调递增，g(x)0时，函数f(x)＝(x－1)ex－aln x的定义域为(0，＋∞)，
令g(x)＝x2ex－a，其中x>0，则g′(x)＝(x2＋2x)ex>0，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，易得g(x)＝x2ex－a>x2－a(x>0)，
当x∈(0，x0)时，f′(x)0，f(x)单调递增，故f(x)存在唯一的极小值点.
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，所以f(x)存在唯一零点x＝1，不符合题意；当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex，故f(x)存在唯一零点x＝1，不符合题意；当a>0时，f(1)＝0，由(1)知，x0为函数f(x)的极小值点，①当x0>1，即a>e时，f(x)在区间(1，x0)上单调递减，所以f(x0)1，
所以函数p(x)在(1，＋∞)上单调递增，故p(x)＝x－ln x－1>p(1)＝0，即ln x1，则f(ln a)＝(ln a－1)eln a－aln(ln a)>(ln a－1)(eln a－a)＝0，所以f(x)在区间(x0，ln a)上有一个零点，故f(x)有两个零点，满足题意；②当x0＝1，即a＝e时，f(x)min＝f(x0)＝0，所以f(x)有且仅有一个零点，不符合题意；
③当00，当－30，所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点.由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0.
故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点.从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点.
3.(2023·南京模拟)已知k∈R，函数f(x)＝3ln(x＋1)＋ ＋kx，x∈(－1,2).(1)若k＝0，求证：f(x)仅有1个零点；
所以f(x)在(－1,2)上单调递增，且f(0)＝0，所以f(x)仅有1个零点.
(2)若f(x)有两个零点，求实数k的取值范围.
①当k≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－1,2)上单调递增，此时f(x)仅有1个零点0，不符合题意；②当k＝－4时，若x∈(－1,0)，
所以f′(x)在(－1,0)上单调递减，所以f′(x)>f′(0)＝4＋k＝0，
所以f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以f(x)在(0,2)上单调递减，此时f(x)仅有1个零点0，不符合题意；
由②知f(x)在(－1,0)上单调递增，f′(0)＝4＋k>0，f′(2)＝kf(0)＝0，f(2)＝3ln 3＋2k，
④当k∈(－∞，－4)时，由②知f(x)在(0,2)上单调递减，且f′(x)在(－1,0)上单调递减，f′(0)＝4＋k