河北省沧州市八县联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省沧州市八县联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列的通项公式,则123是该数列的( )
A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项
2．已知直线方程为,则其倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．已知,,若与垂直,则( )
A.B.-2C.2D.
4．已知,,,,且直线AB与直线CD平行,则m的值为( )
A.1B.0C.0或2D.0或1
5．若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为,则原点O到直线PF的距离( )
A.B.C.1D.
6．已知双曲线,若四个点,,,（,）中有三个点在C上,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
7．在等差数列中,p,,且,若,,则( )
A.B.C.D.
8．已知平面上两定点A,B,满足（,且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称作阿氏圆．利用上述结论,解决下面的问题：若直线与x,y轴分别交于A,B两点,点M,N满足,,,则直线MN的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.有两个单调区间B.有两个极值点
C.有最小值D.有最大值e
10．在各项均为正数的等比数列中,公比为,前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.是等比数列D.
11．在棱长为2的正四面体中,E,F分别是AD,BC的中点,G是的重心,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.在上的投影向量为D.
12．已知是双曲线的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,若,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.离心率D.若,则
三、填空题
13．直线被圆截得的弦长为______________．
14．已知,则______________．
15．在棱长为3的正方体中,点到平面的距离为______________．
16．已知数列各项均为正数,且首项为1,,则______________．
四、解答题
17．在中,O是坐标原点,,．
（1）求AB边上的高所在直线的方程;
（2）求的外接圆方程
18．已知数列是公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列．
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前n项和,证明：．
19．已知P为抛物线上一点,且点P到抛物线的焦点F的距离为12,到y轴的距离为10．
（1）求p的值;
（2）过点F作直线l交C于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程．
20．已知函数．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）若函数在上单调递增,求实数a的取值范围．
21．如图,在斜三棱柱中,所有棱长均相等,O,D分别是AB,的中点．
（1）证明：平面;
（2）若,且,求平面与平面所成角的余弦值．
22．已知椭圆,F是其右焦点,点在椭圆上,且轴,O为原点．
（1）求椭圆C的方程;
（2）若M,N是椭圆C上的两点,且的面积为,求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．
参考答案
1．答案：C
解析：由,解得（舍去）,
故选：C．
2．答案：D
解析：由题知直线斜率为,若直线的倾斜角为,则,
, ,
故选：D．
3．答案：A
解析：, ,解得,
故选：A．
4．答案：D
解析：当AB与CD斜率均不存在时,,,故得,此时两直线平行;
此时,当时,,得到,此时.
故答案选：D．
5．答案：B
解析：由已知可得点P的横坐标为,
由抛物线定义知,
因为且,
所以,解得.
故选：B．
6．答案：D
解析： ,关于原点对称,线段垂直于y轴且在x轴的同侧,
不在双曲线上,将代入双曲线方程,
解得,代入点解得,
所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
7．答案：C
解析：设等差数列公差为d,
则,,
两式相减得,则,
故选：C．
8．答案：A
解析：由题得,,
设, ,点M在圆上．
,,整理得,
点M也在圆上,同理点N也在这两个圆上,
MN是这两圆的公共弦,两圆方程作差,得,即直线MN的方程为,
故选：A．
9．答案：AC
解析：由已知得,
由解得,由解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
只有一个极值点,且在处取得极小值也是最小值,无最大值,
故选：AC．
10．答案：ABD
解析：,,两式相除可得,故A正确;
因为,由等比数列求和公式,可得,故B正确;
因为（常数）,所以是等差数列,故C不正确;
对于D,,,…,,可看作是以为首项,为公比的等比数列,
所以,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AB
解析：如图,取DC的中点M,连接AM,BM,
,,,,平面,
平面,平面,,故A正确;
取BD的中点H,连接HE,HF,则,,,,
,即,又, ,,
,故B正确;
由B知,在上的投影向量为,故C不正确;
,故D不正确,
故选：AB．
12．答案：ABD
解析：如图, , ,,
点F到两条渐近线的距离相等, ,故A正确;
,,,,
,,故B正确;
由B知,一条渐近线的斜率,则,故C不正确;
由C知,,所以,,, ,,,,故D正确,
故选：ABD．
13．答案：
解析：由已知得圆的半径,圆心为,
圆心到直线的距离,所以弦长为．
故答案为：.
14．答案：
解析：由已知得,
则,解得．
故答案为：．
15．答案：
解析：以B为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
如图：,,,,
,,,
因为,所以,,
又,,平面,所以平面,
所以是平面的一个法向量,又,
点到平面的距离．
故答案为：.
16．答案：210
解析：由已知,得,
, ,得,
由累乘法得, ,
故答案为：210.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线AB的斜率,
AB边上的高所在直线的斜率,
又AB边上的高所在直线过原点O,
AB边上的高所在直线的方程为．
（2）设的外接圆的方程为,
则,
解得,
的外接圆方程为．
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设数列的公差为,
,
,,．
由已知得,解得或（舍）,
数列的通项公式为．
（2）由（1）知,,
,
．
19．答案：（1）4
（2）
解析：（1）由抛物线的定义得,
故．
（2）由（1）得,,则抛物线C的方程为,焦点,
设,,,
,,
当M,F不重合时,相减整理得,,
,即,
当M,F重合时,满足上式．
点M的轨迹方程为．
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,则,
,,
曲线在点处的切线方程为,即．
（2）由题意得当时,恒成立,
在时恒成立,
,则,由于二次函数在上单调递减,
当时,,
,即实数a的取值范围是．
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接交于点E,连接OE,,
O,E分别是AB,的中点,D为的中点,
,
四边形为平行四边形,
．
平面,平面,
平面．
（2）连接OC,
,
为正三角形,
,
,且,
平面ABC,
是正三角形,
．
以O为原点,OA,,OC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,,,,
由,可得．
则,,,
设平面的法向量为,
,即,
令,
,
设平面的法向量为,
,即,
令, ,
设平面与平面所成的角为,
则,
即平面与平面所成角的余弦值为．
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得,,
,
,,
椭圆C的方程为．
（2）设,,
当直线MN的斜率不存在时,不妨令点M在x轴上方,点N在x轴下方,
此时,,即,且
解得：,
得,或,,则;
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为,
代入椭圆方程,整理得,
,即,
由根与系数的关系得,,
∴,
设点O到直线MN的距离为d,则,
,整理得．
,
．
综上,直线OM与ON的斜率之积为定值．