石家庄市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟（二）数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟（二）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知等比数列的公比,则等于( )
A.B.-3C.D.9
2．如图,平行六面体的各棱长均为2,,,则( )
A.B.C.D.
3．若函数是上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．曲线与直线有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．若点P是函数图象上任意一点,直线l为点P处的切线,则直线l倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知数列的前n项和为,则( )
A.127C.255D.263
7．已知圆与圆相交于A,B两点,则的面积为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,P为双曲线上在第一象限内的一点,,且的面积为,则双曲线的离心率( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10．如图,在棱长为3的正方体中,P为线段上的动点,下列说法正确的是( )
A.对任意点P,平面
B.三棱锥的体积为
C.线段长度的最小值为
D.存在点P,使得与平面所成角的大小为
11．已知数列满足,,数列满足．记数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.B.数列是等差数列
C.D.
12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为,过C上的动点M作的两条切线,分别与C交于P,Q两点,直线交于A,B两点,则( )
A.椭圆的离心率为
B.面积的最大值为
C.M到的左焦点的距离的最小值为
D.若动点D在上,将直线,的斜率分别记为,,则
三、填空题
13．曲线过原点切线方程为____________.
14．向量,向量在向量上的投影向量坐标是__________.
15．有下列命题：
①若,则A,B,C,D四点共线;
②若,则A,B,C三点共线;
③若,为不共线的非零向量,,则;
④若向量,,是三个不共面的向量,且满足等式,则．
其中是真命题的序号是_____________（把所有真命题的序号都填上）．
16．已知直线过抛物线的焦点F,且与C交于点A,B,过线段的中点D作直线的垂线,垂足为E,记直线,,的斜率分别为,,则的取值范围是____________．
四、解答题
17．等比数列中,,.
（1）求的通项公式;
（2）记为的前n项和．若,求m．
18．已知等差数列的前n项和满足.
（1）求的通项公式;
（2）,求数列的前n项和.
19．设函数．
（1）若,求的导数;
（2）讨论函数的单调性．
20．如图,在三棱锥中,,,O为的中点．
（1）证明：平面;
（2）若点M在棱上,且,求点C到平面的距离．
21．己知双曲线的一条渐近线为,其虚轴长为,P为双曲线C上任意一点．
（1）求证：P到两条渐近线的距离之积为定值,并求出此定值;
（2）若双曲线C的左顶点为,右焦点为,求的最小值．
22．已知椭圆的一个顶点为,焦距为．
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当时,求k的值．
参考答案
1．答案：D
解析：等比数列的公比,
则．
故选：D．
2．答案：B
解析：平行六面体的各棱长均为2,,,
,,
,而,
,
.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为函数是上的增函数,
所以在上恒成立,
即在上恒成立．令,,则,
则当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以．
故选：C．
4．答案：C
解析：根据题意画出图形,如图所示:
由题意可得,曲线图象为以为圆心,2为半径的半圆,直线l恒过,
由图当直线l与半圆相切时,圆心到直线l的距离,即,解得;
当直线l过点时,直线l的斜率,
则直线l与半圆有两个不同的交点时,实数k的取值范围为.
故选：C.
5．答案：C
解析：函数中,,即,设点,
求导得
,由,得,即,
因此函数的图象在点P处的切线l斜率,显然直线l的倾斜角为钝角,
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
6．答案：D
解析：由题意知当时,,且,
所以是首项为1,公比为2的等比数列,
所以,即,
所以,
故选：D.
7．答案：A
解析：联立,相减可得直线,
所以到直线的距离为,
利用圆与直线相交可得：,
所以.
故选：A.
8．答案：B
解析：由题意知,,如图所示,
因为,
所以点P在线段的垂直平分线上,
又点P在双曲线的第一象限上,
所以,解得,
又因为,
所以,
整理得,即,
解得（舍负）,
又,
所以.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A.因为,所以,故正确;
B.因为,所以,故错误;
C.因为,所以,故正确;
D.因为,所以,故正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：在棱长为3的正方体中,如图所示：
对于A：连接,,,,,
由于,平面,平面,所以平面
同理由得平面,又,,平面,
故平面平面,由于平面,所以对任意点P,平面,故A正确;
对于B：由于,平面,平面,所以平面,故三棱锥的体积为,故B正确;
对于C：由于,所以过点D作,即点O为的中点,
,故C正确,
对于D：由于平面, ,所以点P在平面上的投影在线段上,
设点P的投影为点Q,则为与平面所成的角,
,
而,所以与平面所成角的正弦值的取值范围是,
而,
所以不存在点P,使得与平面所成角的大小为,故D错误;
故选：ABC.
11．答案：BC
解析：由题意得,即,,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,故B正确;
由以上可知,所以,从而,故A错误;
而,,
所以,故C对D错.
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：依题意,过椭圆的上顶点作y轴的垂线,
过椭圆的右顶点作轴的垂线,则这两条垂线的交点在圆C上,
所以,得,所以椭圆的离心率,故A正确;
因为点M,P,Q都在圆C上,且,所以为圆C的直径,所以,所以面积的最大值为,故B正确;
设,的左焦点为,连接,因为,
所以,
又,所以,
则M到的左焦点的距离的最小值为,故C不正确;
由直线经过坐标原点,易得点A,B关于原点对称,设,,则,,,又,所以,
所以,所以,
故D正确
故选：ABD．
13．答案：或.
解析：由题意可得,
设切点为,则,
所以函数过原点的切线方程为,
解之得,则,
此时切线方程为,
若切点为原点,则,此时切线方程为.
故答案为：或.
14．答案：
解析：向量在向量上的投影向量坐标为：.
故答案为：.
15．答案：②③④
解析：对于①,当时,A,B,C,D不一定在一条直线上,故①错误.
对于②,当时,因,共起点,故A,B,C三点共线,故②正确.
对于③,因为,,故,故,故③正确.
对于④,若,,至少有一个不为零,不妨设,
则,故,,为共面向量,与题设矛盾,
故,,全为零,故④正确.
故答案为：②③④.
16．答案：
解析：如图,因为直线过C的焦点F,令,
解得：,即,故由可得,即．
把代入C的方程整理得：,
设,,则,,
于是,,故得：,
则
,
,所以,由,得．
故答案为:.
17．答案：（1）或 .
（2）.
解析：（1）设的公比为q,由题设得．
由已知得,解得（舍去）,或．
故或．
（2）若,则．
由得,此方程没有正整数解．
若,则．由得,解得．
综上,．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设公差为d,则,
所以解得,
所以,
（2）,所以,
所以.
.
19．答案：（1）,其中.
（2）见解析
（1）若,则,故,其中.
（2）,
当时,
当时,;当时,.
故的减区间为,增区间为.
当时,
若,则当时,;
当时,,
故的减区间为,增区间为.
若,则当时,;
当时,,
故的减区间为,增区间为,.
若,恒成立（不恒为零）,故的增区间为,无减区间.
综上：
当时,故的减区间为,增区间为.
当时,故的减区间为,增区间为.
若,故的减区间为,增区间为,.
若,的增区间为,无减区间.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）因为,O为AC的中点,所以,且．
连结OB．因为,,
所以为等腰直角三角形,且,．
由知,．
由,,,知平面ABC．
（2）［方法一］：【最优解】定义法
作,垂足为H．又由（1）易知平面,从而,
所以平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知,,．
所以, ．
所以点C到平面POM的距离为．
［方法二］：等积法
设C到平面的距离为h,由（1）知即为P到平面的距离,
且．又,在中,,,
则由余弦定理得,
则,即,
则．
即点C到平面POM的距离为．
［方法三］：向量法
如图,以O为原点,建立直角坐标系,设,,,,,,,．
设平面的一个法向量,则,令,则,所以,点C到平面的距离为．
21．答案：（1）证明见解析,
（2）-4
解析：（1）由题意可得,解得,,
因此,双曲线C的方程为
设,则,渐近线为,
P到两条渐近线的距离之积.
（2）由已知,得,,设或,
P在双曲线上,所以,
因此
或,
对称轴为,由于或,所以当时,取得最小值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,,又,
所以,所以椭圆方程为;
（2）依题意过点的直线为,
设、,不妨令,
由,消去y整理得,
所以,解得,
所以,,
直线的方程为,令,解得,
直线的方程为,令,解得,
所以
,
所以,
即
即
即
整理得,解得.