石家庄市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟（一）数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟（一）数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,若,,则点B的坐标为( )
A.B.C.D.
2．双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知数列满足,,,则( )
A.B.C.D.
4．已知空间四边形,其对角线、,M、N分别是边、的中点,点G在线段上,且使,用向量,,做基底,则向量可表示为( )

A.
B.
C.
D.
5．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上,设外围第1个正方形的边长是m,侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn,则( )
A.无限大B.
C.D.可以取
6．已知直线与圆相交于点A,B,点P为圆上一动点,则面积的最大值是( )
A.B.C.D.
7．在三棱锥中，底面BCD是等边三角形，侧面ABD是等腰直角三角形，，，，分别取BC，AD，AB的中点E，F，G，连接EF，CG，则异面直线EF与CG所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的焦距为,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线,直线,则( )
A.当时,与的交点是B.直线与都恒过
C.若,则D.,使得平行于
10．设等差数列的前n项和为，，且，则( )
A.是等比数列B.是递增的等差数列
C.当时，n的最大值为28D.，，
11．已知抛物线：的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于,两点,点P在l上的射影为,则下列说法正确的是( )
A.过点与抛物线C有且仅有一个公共点直线至多有2条
B.以PQ为直径的圆与相切
C.设,则
D.若,则的面积为
12．已知正方体的边长为2,E为正方体内（包括边界）上的一点,且满足,则下列说正确的有( )
A.若E为面内一点,则E点的轨迹长度为
B.过AB作面使得,若,则E的轨迹为椭圆的一部分
C.若F,G分别为,的中点,面FGBA,则E的轨迹为双曲线的一部分
D.若F,G分别为,的中点,DE与面FGBA所成角为,则的范围为
三、填空题
13．已知向量,,则在方向上的投影向量的坐标为__________
14．若数列满足，（，），则的最小值是______.
15．已知从点发出的光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆：的圆周,则反射光线所在的直线方程为_______________.
16．在生活中,我们经常看到椭圆,比如放在太阳底下的篮球,在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的最小值是________________．
四、解答题
17．已知直线l的方程为.
（1）证明：不论m为何值,直线l过定点M.
（2）过（1）中点M,且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时,求直线l的方程.
18．为数列的前n项和.已知,.
（1）证明是等比数列,并求数列的通项公式;
（2）数列满足,求数列的前n项和.
19．如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,为底面直径,为底面圆O的内接正三角形,点E在母线上,且,.
（1）求证：平面平面;
（2）若点M为线段上的动点,当直线与平面所成角的正弦值最大时,求此时点M到平面的距离.
20．设正项等比数列,,且、的等差中项为．
（1）求数列的通项公式;
（2）若,数列的前n项为,数列满足,为数列的前n项和,求．
21．如图,菱形的边长为4,,E为的中点.将沿折起,使A到达,连接,,得到四棱锥.
（1）证明：;
（2）当二面角的平面角在内变化时,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22．已知抛物线的焦点为F,点为C上一点,且以Q为圆心,为半径的圆恰好与C的准线相切（O为坐标原点）,过点F的且斜率的直线与C交于A,B两点.
（1）求C的标准方程;
（2）若点,直线,与C的另一个交点分别为M,N,设,的倾斜角角分别为,当取最大值时,求k的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,
设,故,
故,解得,,
故.
故选：B.
2．答案：B
解析：对于双曲线,其实半轴长为,虚半轴长为,
故其渐近线方程为,
故选：B.
3．答案：D
解析：,即,
可得,又,
即有数列是首项为1,公差为4的等差数列,
可得,
即.
故选：D.
4．答案：D
解析：
,
．
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意可得,外围第2个正方形的边长为;
外围第3个正方形的边长为;
……
外围第n个正方形的边长为.
所以蜘蛛网的长度
.
故选：B.
6．答案：A
解析：由圆心为,半径为,则圆心到直线距离,
所以,
要使面积最大,只需圆上一动点P到直线距离最远,为,
所以面积的最大值是.
故选：A.
7．答案：B
解析：如图，，，.，，.又，.异面直线EF与CG所成的角的余弦值为.故选B.
8．答案：C
解析：由题意可知,直线经过双曲线的右焦点,且垂直于x轴,不妨设,
代入椭圆方程,又,所以,
所以,,任取双曲线的一条渐近线为直线,
由点到直线的距离公式可得点A到渐近线的距离,
点B到渐近线的距离,
所以,因为,
所以,因,所以,即,
所以,所以,
因为双曲线离心率,所以,
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A,当时,,,
,解得,故交点为,即A正确;
对于B,,恒过定点,,
,解得,,也过定点,故B正确;
对于C,当时,与不垂直,
当时,由可得,解得,故C正确;
对于D,由可得,解得或,
当时,,,两直线重合,不符合题意,
当时,,,两直线重合,不符合题意,故D错误;
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d，因为，所以，又，所以，.
对于A选项，，所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确.
对于B选项，易知，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，又，故是递减的等差数列，故B错误.
对于C选项，因为，所以；因为，所以，故当时，n的最大值为29，故C错误.
对于D选项，因为，，，，由基本不等式知，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选AD.
11．答案：CD
解析：A项,过抛物线C有且仅有一个公共点的直线必有有,,
当直线斜率存在时,设直线方程为,
当直线与抛物线相切时有且仅有一个公共点,
联立得,,所以,
解得,,所以切线方程为,所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条,所以A项错误;
B项,如图,设点Q在l上的射影为,取PQ的中点N,的中点,
由抛物线定义可知,,
在梯形中,有,
所以以为直径的圆与准线相切,切点为,所以B项错误;
C项,由抛物线定义可知,,所以,当且仅当P、F、M三点共线时,有最小值,为,所以,所以C项正确;
D项,设PQ方程为,代入得：,
判别式,即,,,
因为,
所以,解得,,
所以O点到直线的距离为,
所以的面积为,所以D项正确.
故选：CD.
12．答案：AD
解析：对于A项,正方体中,平面,
若E为面内一点,所以.
又因为,所以,
中,,所以,
故点E的轨迹是以为圆心1为半径的个圆弧,
所以E点的轨迹长度为,故A正确;
对于B项,若,则,则E只能在平面内运动,
且,轨迹为一个点,B错误;
对于C项,平面与轴线所成的角即为平面与所成的角,
是平面与轴线所成的角,
在中,
而母线与轴线所成的角为,
在中,
即母线与轴线所成的角与截面与轴线所成的角,
所以点E的轨迹应为抛物线,故C不正确;
对于D项,以D为原点,建立如图所示的坐标系,
连接并延长交上底面于点,设,
则,,,,,,
则,,设面的法向量为,
所以,
所以与面所成角的正弦值为
又因为,,
所以,故D正确.
故选：AD.
13．答案：
解析：由题意向量,,
则在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
14．答案：6
解析：由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
15．答案：
解析：由圆的方程得：圆心为,
反射光线恰好平分圆的圆周,
反射光线经过点,
关于x轴对称的点为,
反射光线所在直线经过点,
反射光线所在直线斜率为,所以方程为,化简得.
故答案为：.
16．答案：
解析：椭圆的离心率为,
, ,
椭圆的方程为,
不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,
,,
,
为正三角形,
过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,
直线的斜率为,斜率倒数为,
直线的方程：,
代入椭圆方程,整理得：,
,
,
,得,
为线段的垂直平分线,根据对称性,,
则,
当且仅当即取等号.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明：直线l的方程,
可整理为.
由,解得,
所以直线l过定点.
（2）由（1）知,直线l过定点,
设过点M且与直线l垂直的直线方程为,
令,则.
令,则.
所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以直线l的斜率为,
所以直线l的方程为,即.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明：依题意,由两边同时加上,
可得,
因为,
所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,
所以,
,
则当时,,
当时,也满足上式,
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得,
则,
,
两式相减,
可得
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）如图,设交于点F,
连接,由圆锥的性质可知底面,
因为平面,所以,
又因为是底面圆的内接正三角形,
由,可得,,
解得,又,,
所以,即,,
所以在中,,
在中,由余弦定理：,
所以,故.
因为底面,面,所以平面平面,
又面,面面,,故面,
又平面,所以平面平面;
（2）易知,以点为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,则,
令,则,
设,可得,
设直线与平面所成的角为,
则,
即,
令,,
则当且仅当,即时,等号成立,
所以当时,有最大值4,
即当时,的最大值为1,此时点,
所以,
所以点M到平面的距离,
故当直线与平面所成角的正弦值最大时,点到平面的距离为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q,则,
由题意可得,解得,
则.
（2）由（1）得,则,
所以,数列为等差数列,所以,,
所以,,
则.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意证明如下,
在菱形中,E为的中点,,
是等边三角形,,
在翻折过程中,恒有,,
又,,平面,
平面,平面,
;
（2）由题意及（1）得,
为二面角的平面角,记其为,则,
以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则
,,,
,
设平面的法向量,则,得
令,得,,
则,
令,,得
,
当且仅当时,等号成立
设直线与平面所成角为,
则
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,所以,
即,又,
所以,所以,所以抛物线C的标准方程为;
（2）设,,,直线,
由可得,,,
由斜率公式可得,,
直线,代入抛物线方程可得,
,,所以,同理可得,所以,
又因为,的倾斜角角分别为,
所以,
若要使最大,则,设,
则,
当且仅当即时,等号成立,所以当最大时,.