2024年内蒙古赤峰市松山区中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年内蒙古赤峰市松山区中考数学一模试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.|−2024|的结果是( )
A. 12024B. 2024C. −12024D. −2024
2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.华为Mate60Pr手机搭载了海思麒麟9000s八核处理器，预装华为自主研发的HarmnyOS4.0操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机.预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台.将70000000用科学记数法表示应为( )
A. 7×108
B. 70×106
C. 7×107
D. 0.7×108
4.一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为35，则白球的个数n为( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
5.如图，直线a/​/b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.分式方程x−5x−1+2x=1的解为( )
A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=−2
7.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m
8.如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是( )
A. 主视图和左视图B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图D. 主视图、左视图、俯视图
9.下列运算正确的是( )
A. 2a3−a2=aB. (a3)2=a6
C. a3⋅a2=a6D. (a−1)2=a2−1
10.某公司今年1月的营业额为2100万元，按计划第一季度的总营业额要达到6200万元，设该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
A. 2100(1+x)2=6200
B. 2100(1+x%)2=6200
C. 2100(1+x)+2100(1+x)2=6200
D. 2100+2100(1+x)+2100(1+x)2=6200
11.若点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)、(2,y4)分别在反比例函数y=−2x的图象上，则下列值最小的是( )
A. y1B. y2C. y3D. y4
12.下列说法正确的是( )
A. 如果a>b，则有|a|>|b|
B. 若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数
C. 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D. 若m+n=0，则m、n互为相反数
13.如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．( )
A. 3n−1B. 3n+1C. 4n−1D. 4n
14.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )
A. 10B. 12C. 20D. 24
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
15.已知x2+x=1，则2x4+2x3+2x+1=______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积是10.AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为______．
17.小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的1.5倍返回家中，取完东西后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发
30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇.假设小华掉头、取票时间均忽略不计.两人之间的距离y(米)与小华出发时间x(分钟)之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有______米.
18.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米.则安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为______米.(结果精确到0.1米)
参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈0.4．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
先化简，再求值：(1m−3−1)÷m2−8m+16m2−16，其中m=2．
20.(本小题10分)
遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间(单位：h)的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表
解答下列问题：
(1)频数分布表中a=______，m=______；将频数分布直方图补充完整；
(2)若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
(3)已知课外劳动时间在60h≤t<80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
21.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5．
(1)利用直尺和圆规作出∠ABC的角平分线，交AD于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的基础上求DE的长．
22.(本小题12分)
冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
(1)求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
(2)若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
23.(本小题12分)
如图，某同学在练习打网球时发现，网球沿与地面成一定角度的方向飞出，网球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，网球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y=−0.5x2+2x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当网球的飞行高度为1.5m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，网球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
24.(本小题12分)
如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD=2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=2CE，AC=4，求⊙O的半径．
25.(本小题14分)
如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过点B(1,0)和(3,−12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，则点P的坐标为______；
(3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
26.(本小题14分)
矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2 3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．
(1)直接写出BC= ______，AB= ______；
(2)当PC2+PD2=13时，求点D的坐标；
(3)在运动过程中，∠CDP是否一个定值，如果是，求出该值，如果不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2024|=2024，
故选：B．
根据绝对值的定义即可求得答案．
本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，因此即可判断．
本题主要考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：70000000=7×107，
故选：C．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：n4+n=35，
解得：n=6，
经检验，n=6是原方程的解，且符合题意，
故选：D．
根据概率公式列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由图可知，∠3=180°−90°−∠1=180°−90°−50°=40°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠3=40°，
故选：C．
根据互补和两直线平行，同位角相等解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及互补的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】A
【解析】解：∵x−5x−1+2x=1，
∴x(x−5)+2(x−1)=x(x−1)，
∴x=−1，
经检验：x=−1是原方程的解．
故选：A．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AB=37m，CD=7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD=OC−CD=(R−7)m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=372m，
在RtADO中，AD2+OD2=OA2，
∴(372)2+(R−7)2=R2，
解得R=156556≈28．
故选：B．
设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】
解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：A、2a3与−a2不是同类项，所以不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、(a3)2=a6，故本选项计算正确，符合题意；
C、a3⋅a2=a5，故本选项计算错误，不符合题意；
D、(a−1)2=a2−2a+1，故本选项，计算错误，不符合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵该公司今年1月的营业额为2100万元，且该公司2、3两月的营业额的月平均增长率为x，
∴该公司今年2月的营业额为2100(1+x)万元，3月的营业额为2100(1+x)2万元．
根据题意得：2100+2100(1+x)+2100(1+x)2=6200．
故选：D．
由该公司今年1月的营业额及2、3两月的营业额的月平均增长率，可得出该公司今年2、3月的营业额，结合按计划该公司第一季度的总营业额要达到6200万元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由反比例函数y=−2x可知k=−2<0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)、(2,y4)分别在反比例函数y=−2x的图象上，
∴y3∴函数值最小的是y3；
故选：C．
由反比例函数解析式可知k=−2<0，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：A、当a=1，b=−5时，|a|<|b，不符合题意，故A不符合题意．
B、若有一个数为零时，此时乘积为0，故B不符合题意．
C、一个有理数的绝对值是它本身，则这个是非负数，故C不符合题意．
D、若m+n=0，则m、n互为相反数，故D符合题意．
故选：D．
根据绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义即可求出答案．
本题考查绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义，本题属于基础题型．
13.【答案】B
【解析】解：根据题意有，
第1个图案基础图形个数为：1+3×1=4，
第2个图案基础图形个数为：1+3×2=7，
第3个图案基础图形个数为：1+3×3=10，
……，
第n个图案基础图形个数为：1+3×n=3n+1．
故选：B．
根据图形的变化，找出其规律，再计算求值即可．
本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律，再计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
14.【答案】B
【解析】解：由图形和图象可得BC=BA=5，BP⊥AC时，BP=4
过点B作BD⊥AC于D，则BD=4，
∴AD=CD= BC2−BD2= 52−42=3
∴AC=6
∴S△ABC=12AC⋅BD=12×6×4=12
故选：B．
由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y=BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y=5，即BC=5；点P从C运动到A的过程中，y=BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP=4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y=5，即BA=5，所以△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD=4，即能求得AD=CD=3，即AC=6，再求得△ABC面积．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵x2+x=1，
∴2x4+2x3+2x+1
=2x2(x2+x)+2x+1
=2x2+2x+1
=2(x2+x)+1
=2+1
=3．
故答案为：3．
将2x4+2x3+2x+1分组再因式分解成含x2+x的式子，再把x2+x=1代入即可得出结果．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解方法，把原式化为含已知条件的式子是解题关键．
16.【答案】7
【解析】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP=PB，
∴△PBF周长=PB+PF+FB=AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC=12×BC×AF=10，
∵BC=4，
∴AF=5，
∴△PBF周长=AF+FB=5+2=7，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为：7．
由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
17.【答案】120
【解析】解：由题得15v华=1.5v华⋅t返家，
∴小华从发现没带门票到返回家中拿到票所用时间为10分钟，
∴当小华拿到门票时，小兰用25分钟走了2400−1400=1000(米)，
∴小兰的速度：v兰=1000÷25=40(米/分)，
∴小兰家与剧院的距离为40x30=1200(米)，
∴小华家与剧院的距离为2400−1200=1200(米)；
又∵他们从家出发15分钟后，两人相距1200米，
∴15(v华+v兰)=1200，即15(v华+40)=1200，
解得，v=40(米/分)，
∴小华后来的速度为v=1. 5×40=60(米/分)；
设小华再次从家出发到两人相遇所用时间为t分，
则40(t−10)+60t=1400，
解得，t=18，
∴两人相遇时，小兰与剧院的距离为1200−60×18=120(米)．
故答案为：120．
先求出小兰和小华的速度，再根据函数图像求出小华后来的速度和再次出发后两人相遇的时间，由此即可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，理解函数图像是解题的关键．
18.【答案】0.9
【解析】解：如图2，过点B作BF⊥AD于点F，
则四边形BFC为矩形，
∴DF=BC，BF=DC，
在Rt△ABF中，AB=3米，∠BAF=37°，
∵sin∠BAF=BFAB，cs∠BAF=AFAB，
∴BF=AB⋅sin∠BAF≈3×35=1.8(米)，AF=AB⋅cs∠BAF≈3×45=2.4(米)，
∴DE=CD−CE=1.8−0.5=1.3(米)，
在Rt△EAD中，tan∠EAD=DEAD，
则AD=DEtan∠EAD≈3.25(米)，
∴BC=DF=AD−AF=3.25−2.4≈0.9(米)，
故答案为：0.9．
过点B作BF⊥AD于点F，根据正弦的定义求出BF，根据余弦的定义求出AF，根据正切的定义求出AD，进而求出BC．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1m−3−1)÷m2−8m+16m2−16
=1−(m−3)m−3⋅(m+4)(m−4)(m−4)2
=1−m+3m−3⋅m+4m−4
=4−mm−3⋅m+4m−4
=m+43−m，
当m=2时，原式=2+43−2=6．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】解：(1)5；0.2
补全的直方图如图所示：
(2)400×(0.25+0.15)=160(人)；
(3)根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有20种等可能的情况，
1男1女有12种，
故所选学生为1男1女的概率为：
P=1220=35．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数(率)分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．
(1)根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；
(2)根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
(3)根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．
【解答】
解：(1)a=(2÷0.1)×0.25=5，
m=4÷20=0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为5；0.2；
(2)见答案；
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)如图，作∠ABC的角平分线交AD于点E，BE即为所求；
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5．
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠ABE=∠AEB．
∴AE=AB=3，
∴DE=AD−AE=2．
【解析】(1)由作角平分线的方法进行作图；
(2)利用平行四边形ABCD的性质求得AD//BC，AD=BC=5；然后根据平行线的性质、角平分线的性质以及等角对等边等性质求得AE=AB=3；最后由DE=AD−AE作答．
本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的性质以及平行四边形的性质，此题难度不大，综合运用以上知识点作答即可．
22.【答案】解：(1)设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为(x+10)元，
依题意，得：160x=240x+10，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=30．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
(2)设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本(100−m)本，
依题意，得：(24−20)m+(35−30)(100−m)≥468，
解得：m≤32．
答：最多购进A种笔记本32本．
【解析】(1)设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为(x+10)元，根据数量=总价÷单价结合用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本(100−m)本，根据总利润=每本的利润×销售数量(购进数量)结合总获利不小于468元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)当y=1.5时，
1.5=−5x2+2x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为1.5m时，飞行时间是1s或3s；
(2)当y=0时，
0=−5x2+2x，
解得，x1=0，x2=4，
∵4−0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
(3)y=−5x2+2x=−5(x−2)2+2，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【解析】(1)根据题目中的函数解析式，令y=1.5即可解答本题；
(2)令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CE⊥DE，
∴∠E=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠ACD=2∠A，
∴∠ACD=2∠ACO，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠A=∠DCO，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠DCO，
∴OC//DE，
∴∠E+∠OCE=180°，
∴∠OCE=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切；
(2)解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCE=∠OCE=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠D=∠A=∠ACO，
∴∠D=∠BCE，
又∠BEC=∠CED=90°，
∴△BCE∽△CDE，
∵CEBE=DECE=2，
∴BC= 52CE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OC//ED，
∴∠OCB=∠CBE，
∴∠CBE=∠OBC，
∵∠E=∠ACB=90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴CEBC=ACAB，
∴CE 52CE=ACAB=2 55，
∵AC=4，
∴AB=2 5，
∴OA= 5，
即⊙O的半径为 5．
【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
(1)连接OC，根据垂直定义可得∠E=90°，再根据等腰三角形的性质和已知可得∠ACD=2∠ACO，从而可得∠ACO=∠DCO，然后利用同弧所对的圆周角定理可得∠A=∠D，从而可得∠D=∠DCO，可得OC//DE，最后利用平行线的性质即可解答；
(2)连接BC，根据圆周角定理推出△BCE∽△CDE，△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质求解即可．
25.【答案】(−4,−5)或(2,−5)
【解析】解：(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3得：
a+b+3=09a+3b+3=−12，解得 a=−1b=−2，
∴抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)如图：
由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，
∴AO=OC=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，
∴∠PEF=90°，
∵以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，
∴PE=EF=OA=OC=3，
∴xP=−4或xP=2，
∴P(−4,−5)或(2,−5)；
(3)存在，
设P(t,−t2−2t+3)，Q(0,m)，而A(−3,0)，B(1,0)，
①以PQ、AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，如图：
∴ t+0=−3+1−t2−2t+3+m=0+0，解得t=−2，
∴P(−2,3)，
②以PA、QB为对角线，
∴ t−3=0+1−t2−2t+3=m，解得t=4，
∴P(4,−21)，
③以PB、QA为对角线，
∴ t+1=−3−t2−2t+3=m，解得t=−4，
∴P(−4,−5)，
综上所述，P的坐标为(−2,3)或(4,−21)或(−4,−5)．
(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3，用待定系数法即得抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，即知△AOC是等腰直角三角形，根据以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，得PE=EF=OA=OC=3，即可求得P(−4,−5)或(2,−5)；
(3)设P(t,−t2−2t+3)，Q(0,m)，而A(−3,0)，B(1,0)，分三种情况：①以PQ、AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，可得 t+0=−3+1−t2−2t+3+m=0+0，解得P(−2,3)，②以PA、QB为对角线，同理可得P(4,−21)，③以PB、QA为对角线，可得P(−4,−5)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定与性质、平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是根据平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
26.【答案】2 3 2
【解析】解：(1)∵B(2 3,2)，
∴OA=BC=2 3，AB=OC=2，
故答案为：2 3，2；
(2)设D点的横坐标是m，根据勾股定理得：
PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+m2=13，
∴m=3或−3(舍去)，
∴点D的坐标为(3,0)；
(3)∠CDP是个固定值，∠CDP=60°，理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，
∴∠CEF=∠ECO=∠COF=90°，
∴四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，
设PE=a，则PF=EF−PE=2−a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO=PEBE=OCBC= 33，
∴BE= 3a，
∴CE=BC−BE=2 3− 3a= 3(2−a)，
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD=90°，
∵∠CPE+∠PCE=90°，
∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴PEDF=CEPF=CPPD，
∴aDF= 3(2−a)2−a
∴DF=a 3，
∴tan∠PDC=CPPD=aa 3= 3，
∴∠CDP=60°．
(1)根据点B(2 3,2)，即可解决问题；
(2)设D点的横坐标是m，根据勾股定理得m的值，即可解决问题；
(3)过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，得四边形OFEC是矩形，所以EF=OC=2，设PE=a，则PF=EF−PE=2−a，然后证明△CEP∽△PFD，对应边成比例，进而利用锐角三角函数即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解决本题的关键是得到△CEP∽△PFD．劳动时间分组
频数
频率
0≤t<20
2
0.1
20≤t<40
4
m
40≤t<60
6
0.3
60≤t<80
a
0.25
80≤t<100
3
0.15