初中数学沪科版八年级下册16.1 二次根式教案

这是一份初中数学沪科版八年级下册16.1 二次根式教案，共50页。教案主要包含了师生活动等内容，欢迎下载使用。

单 元 备 课
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
16.2 二次根式
第2课时 二次根式的性质
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第3课时 二次根式比较大小
16.2 二次根式的运算
16.2.2 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
16.2 二次根式的运算
16.2.2 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
第 1单元
本单元所需课时数
8课时
课标要求
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
教材分析
本章是在第6章《实数》的基础上进一步研究二次根式的知识。它与已学内容“实数”“整式”联系紧密，同时也是后面的“勾股定理”，“一元二次方程”，“二次函数”等内容的重要基础。通过本章学习，学生将加深对二次根式概念的认识，通过学习二次根式的四则运算法则，对实数的四则运算有进一步的了解。因此，教学时应充分注意在“实数”一章的基础上进行，并加深对平方根和算术平方根的概念、无理数和实数的概念以及运算等的理解和应用.
主要内容
本章的主要内容是二次根式的相关概念、性质，二次根式的运算和运算法则。主要包括两节：第16.1节“二次根式”引入二次根式的概念，研究二次根式的基本性质，第16.2节“二次根式的运算”引导学生归纳总结二次根式的乘法法则、除法法则，并引入最简二次根式、同类二次根式的概念，进而学习二次根式的加减运算及运算法则。
教学目标
1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.理解最简二次根式、同类二次根式的概念。
3.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算.
课时分配
16.1 二次根式 2课时
16.2 二次根式的运算 5课时
教学活动
小结·评价 1课时
教与学建议
1.注意代数学的整体性。
2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程。
3.加强运算技能训练，提高运算能力。
课题
二次根式的概念
课型
新授课
教学内容
教材第2-5页的内容
教学目标
1.经历二次根式概念的探索和形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果；
2.理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性.
教学重难点
教学重点：经历二次根式概念的探索和形成过程.
教学难点：理解二次根式中a的取值范围.
教 学 过 程
备 注
复习回顾，引入课题
教师活动：教师通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明.
【问题1】什么是一个数的平方根？如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做二次方根.用表示.
（1）16的平方根是 ；±4
（2）0的平方根是 ； 0
（3）5的平方根是 ；
（4）–7有平方根吗？ 没有
【问题2】平方根的性质是什么？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；
负数没有平方根.
【师生活动】学生回答．教师引导学生回顾平方根的概念和性质。
【问题3】什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用表示.
（1）16的算术平方根是 ；4
（2）0的算术平方根是 ； 0
（3）的算术平方根是 ；
【问题4】算术平方根的性质是什么？
一个正数有一个算术平方根；
0的算术平方根为0；
负数没有算术平方根.
【师生活动】学生思考回答．教师引导学生回顾算术平方根的概念和性质，并注意回顾平方根和算术平方根之间的联系。2.归纳总结，理解概念
教师活动：教师举出生活中的实例，先让学生自主思考作答，再一起探究写出的结果的共同特征，引出二次根式的概念，并鼓励学生用自己的语言描述概念.
【问题5】用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
如图①为正方形图片,若面积为2 m²，则边长为 m
如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，则它的宽为 m.
（3）如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m²) ，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m.
① ② ③
答案：，，.
【问题6】
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
答案：（1）分别表示，，的算术平方根.
（2）①都含有“”；②被开方数均为非负数.
【师生活动】学生回答，给出正确答案后，让学生思考并尝试归纳总结二次根式的特征，并尝试用语言描述二次根式的概念。教师针对学生的回答进行补充并给出二次根式的定义。
【归纳】
二次根式的定义
我们把形如的式子叫做二次根式.
符号叫做二次根号，a叫做被开方数.
两个必备特征：
外在特征：含有“”；
内在特征：被开方数a≥0.
两个特征缺一不可.
【想一想】
【问题7】 请你根据已有的知识，说说对的认识。
二次根式的特点：
1.表示a的算术平方根
2.二次根式从形式上看，必须含有“”
3.a≥0，（二次根式具有双重非负性）
4.被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数，若a代数式，则这个代数式的值必须是非负的
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的概念
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

【师生活动】教师让学生思考判断，并说出是或不是的原因。
对于(4)(5)(6)3个式子，部分学生可能会不太确定，教师对此类型的式子进行具体讲解和补充。
答案：(1)(5)(6)是二次根式，(2)(3)(4)不是二次根式.
如何判断一个式子是否为二次根式：
【延伸】
对二次根式的进一步认识：
①从形式上看必须含有“”；
②二次根式实质上是非负数的算术平方根；
③a既可以是一个数，也可以是一个式子；
④a≥0，且；
⑤形如的式子也是二次根式.
【思考】当a为何值时，下列根式有意义？
（1） （2）
分析：（1） a–2 ≥ 0 → a ≥2
（2） 2–3a ≥ 0 →
总结：二次根式有意义的条件：被开方数≥0
考点2 二次根式有意义的条件
【例2】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）； （2）.
解：（1）要使有意义，必须x+3≥0.
解这个不等式，得x≥–3.
即当x≥–3时，在实数范围内有意义.
（2） 因为x为任何实数时都有x2≥0.
所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义.
【变式】当x是什么实数时，下列各式有意义？

（3）
提示：①被开方数≥0.
②若分母中有字母，保证分母不等于0.
解：（1）由x+4≥0且x-2≠0，得x≥-4且x≠2；
（2）由6-2x>0得x<3.
（3）由 得.
（4）由-x2≥0，得x=0.
【师生活动】教师让学生独立作答，并说出解题的思路及步骤。根据学生回答的情况，让其他学生进行补充，师生共同总结、完善．要总结出：
要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；
若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；
（3）若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．
4.随堂训练，巩固新知
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
答案：（1）（4）是二次根式，
（3）（5）（6）不是二次根式
2. 当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义?
答案：（1）x为任意实数时，x2+1＞0，
可得，在实数范围内都有意义.
（2）由，且x–1≠0，可得，x–1＜0，即x＜1；
（3）由x≥0，且x–1≥0 ，可得x≥1.
3. (选做)
已知实数a，b满足，求a，b的值.
答案：由题意知
解得b=2，
则a=0+0+3=3.
所以a，b的值分别为3，2.
5.课堂小结，自我完善
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
(1）什么是二次根式？
二次根式的两个必备特征是什么？
若使二次根式有意义，需要满足什么条件？有哪些易错点需要注意？
6.布置作业
教科书P4习题16.1第1，2题.
回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，感受新旧知识之间的联系．
由实际情境得出结果，让学生初步体会二次根式与实际生活的联系，以及引入二次根式的必要性.
通过让学生观察思考找出式子的共同特征，得出二次根式的概念，培养学生的观察归纳的能力.
是一个非负数，要提醒学生这里的a和都是非负数，即二次根式具有双重非负性。
进一步加深学生对的理解和认识
根据二次根式的两个必备特征排除不符合要求的式子，加深学生对二次根式概念的理解。对于被开方数是含有字母的代数式的情况，要先确定字母的取值范围，再判断式子的正负。
归纳判断二次根式一般步骤，规范学生的解题过程，避免出现考虑不全的情况。
通过延伸让学生加深对二次根式的认识和理解.
引导学生根据二次根式的概念得出二次根式有意义的条件
让学生进一步加深对二次根式有意义的条件的认识和理解，培养学生的应用意识.
让学生进一步明确二次根式有意义的条件。并强调当分母中有字母时，要保证分母不等于0.
引导学生及时总结，提炼出可以指导解答其他同类问题的一般性结论
考查对二次根式的理解。
明确二次根式有意义的条件，注意被开方数的非负性，分母不为零的隐含条件
当题目中，同时出现eq \r(a)和eq \r(－a)时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用。
板书设计
二次根式的概念
二次根式的定义：
二次根式有意义的条件：被开方数≥0.
教后反思
本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.
课题
二次根式的性质
课型
新授课
教学内容
教材第2-5页的内容
教学目标
1.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系；
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问题；
3.在二次根式性质的探索和形成过程中，发展分类讨论意识，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想。
教学重难点
教学重点：理解和掌握二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系.
教学难点：能正确运用二次根式的性质进行化简和计算.
教 学 过 程
备 注
1.复习回顾，引入课题
教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识，并通过追问引出本节课要讲解的内容.
【问题1】什么是二次根式？
预设答案：我们把形如的式子叫做二次根式. 符号叫做二次根号，a叫做被开方数.
【问题2】二次根式的两个必备特征是什么？
预设答案：外在特征：含有“”；
内在特征：被开方数a≥0.
【问题3】表示的意义是什么？表示的意义是什么？
预设答案：表示的是2的算术平方根；
表示的是当a≥0时a的算术平方根.
【问题4】上节课学过二次根式有什么性质？
预设答案：，双重非负性.
追问：二次根式还有其他性质吗？
2.合作探究，探索新知
教师活动：先让学生独立完成计算，然后分组观察思考并作答，最后得出结论.
【探究1】利用算术平方根的意义：
是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有.
类似地，计算：
= ，= ，= ，
答案：5； ；0.
【问题4】观察等式的两边，你能得到什么启示？
一个数的算术平方根的平方还等于这个数，即.
【追问】对于上面的性质，a能小于0吗？为什么？
不能，a必须大于等于0. 因为只有非负数才有算术平方根，所以a必须大于等于0.
【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：
二次根式的性质1： ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
【探究2】利用算术平方根的意义：，
类似的，计算：
= ，= ，= ，
答案：；0.5；0.
又如，再计算：
= ，= ，= ，
答案：；0.5；6.
【问题5】观察上述两组算式中结果与根号内幂底数的关系，你能得到什么启示？
当a>0时，，
当a=0时，，
当a<0时，.
【追问】对于上面的结论，与七年级学习过的哪个知识点相似呢？
绝对值。即.
【追问】与有什么关系呢？你能试着进行总结吗？
【师生活动】经学生讨论后，先找同学试着总结，其他学生补充，最后师生共同归纳上述形性质：
二次根式的性质2：.
【做一做】
请同学们快速判断下列各题的对错：
答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√.
【延伸】
如何区别与.
学以致用，应用新知
考点1 利用计算
【例1】计算：
；（2）；（3）；（4）.
分析：(1)可直接运用(eq \r(a))2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(eq \r(a))2＝a(a≥0)进行计算．
解：（1）=；
=；
=；
=.
【延伸】形如(neq \r(m))2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(eq \r(m))2(m≥0)后再化简．
考点2 利用计算
【例2】计算：(1)； (2) ； (3) .
解：(1)
(2) 或；
(3) .
考点3 利用二次根式的性质化简求值
【例3】先化简再求值：，其中x=4.
提示：
①将式子先化成“”的形式；
②利用二次根式的性质化简；
③代值计算.
解：.
当x=4时，.
∴当x=4时，.
4.随堂训练，巩固新知
1.求下列各式的值：
答案：
2.求下列各式的值：
答案：
3.先化简，再求值：，其中x =–2.
解：.
当x =–2时，.
∴当x –2时，.
4.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）0.16 （3） （4）x（x≥0）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）（x≥0）.
5.课堂小结，自我完善
（1）你知道了二次根式的哪些性质？
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
6.布置作业
教科书P4-5习题16.1第3~7题.
回顾旧知，为新课奠定基础，感受新旧知识之间的联系．
让学生类比平方根的意义计算出结果，并通过观察思考归纳出二次根式的性质1，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想.
不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
引导学生观察得出a的取值不同对结果的影响，并归纳出二次根式的性质2，发展分类讨论思想，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想.
性质1，2容易混淆，通过相似具体的实例，帮助学生对性质1，2进行区分
过观察、对比、归纳出二次根式的性质1、性质2的区别与联系，加深学生对性质的理解.
对性质1的考查，可以直接利用的结论解题.
对于形如(neq \r(m))2(m≥0)的二次根式的化简，在
新授中未遇到此类型的题目，此处教师应引导学生及时总结归纳同类问题的一般解题步骤
对性质2的考查，的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数.
本题考查了二次根式的性质，同时被开方数是完全平方式，解决本题的关键是先将完全平方式化成形式.
第1题、第2题是对性质的直接应用，考察学生对性质的掌握情况.
第3是对二次根式的化简求值，学生应该掌握相应的解题方法，
第4题是对性质的反向应用，培养学生的逆向思维能力.
通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.
板书设计
二次根式的性质
性质1：
性质2：
教后反思
二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用.
课题
二次根式的乘法
课型
新授课
教学内容
教材第6-7页的内容
教学目标
1.了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算；
2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
教学重难点
教学重点：了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算.
教学难点：二次根式乘法运算法则的推导过程.
教 学 过 程
备 注
复习回顾
教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识.
【问题1】什么叫二次根式？
预设答案：形如的式子叫做二次根式.
其中，二次根式具有双重非负性.
【问题2】二次根式的两个基本性质是什么？
预设答案：性质1：
性质2：
1.创设情境，引入课题
教师活动：教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过追问引出本节课要学习的内容.
【问题3】 如图，一个长方形游泳池的长为 m，宽为 m，则它的面积为多少？

分析：长方形游泳池的面积=
【追问】如何计算这个式子呢？这节课我们一起来研究这个问题.
2.合作探究，探索新知
教师活动：教师引导学生独立完成教材第6页【观察】部分的计算题，并观察思考算式中存在的规律.
计算下列各题，观察有何规律？
答案：(1) 10，10；(2) 5，5.
【问题4】观察(1)(2)中的两组算式及其运算结果，你能发现他们之间有什么关系？
分析：①被开方数都是正数
②算术平方根的积=积的算术平方根
猜想：（a>0，b>0）.
【追问】对于上面的式子，只能取正数吗？
不是，0同样适用. 因为非负数都有算术平方根.所以a≥0，b≥0.
【追问】这个猜想正确吗？能否证明这个猜想？
证明：因为当a≥0，b≥时，
又 ，
ab的算术平方根只有一个，所以
【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：
二次根式的性质3
如果a≥0，b≥0，那么有
文字语言：算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
由等式对称性，性质3也可以写成
文字语言：积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
【做一做】
判断下列各式是否正确？
答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)√.
【师生活动】学生独立完成，找学生代表进行回答，并解释正确与否的原因，教师针对学生回答情况进行补充。
【想一想】
现在你能算出长方形游泳池的面积吗？

长方形游泳池的面积为 m2.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的乘法运算
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)

(2)

小结：二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简.
【拓展】
二次根式的乘法
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；根式与根式相乘，被开方数相乘的积作为积的被开方数.
考点2 逆用性质3（即）行化简
【例2】化简：
（1）； （2）；
（3） ； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【归纳】
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数)
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
4.随堂训练，巩固新知
1.计算：
解：
2.化简：
解：
3.计算：
解：.
【拓展】
二次根式的乘法法则的推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用，即

5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）二次根式在进行乘法运算和化简时需要注意什么？
6.布置作业
教科书第12页习题16.2第1、2(1)(2) 题
通过对二次根式性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础.
通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，让学生体会二次根式乘法运算的应用价值，自然的提出二次根式的乘法问题.
要让学生自己计算，通过观察分析得出结论,引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的乘法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力，
帮助学生分析的必要性，注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.
通过证明熟悉性质3的推导过程，领会数学的严谨性.
通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及积的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力.
性质3的正用、逆用，逆用性质3可以对二次根式进行化简，注意化简后的结果一定是非负的.
通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的乘法法则，培养应用意识.
例1（1）进行的二次根式的乘法运算，在计算过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质
例2(2)属于复合二次根式的乘法运算，可类比整式的乘法中单项式与单项式相乘的运算法则进行计算.
利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
考查性质3
考查性质3的逆用
性质3的拓展应用
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）和逆用（积的算术平方根的性质）
板书设计
二次根式的乘法
二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）
算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
反过来，可得积的算术平方根的性质
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
3.拓展：
教后反思
本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算
课题
二次根式的除法
课型
新授课
教学内容
教材第7-8页的内容
教学目标
1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
教学重难点
教学重点：了解二次根式的除法运算法则，并能用它进行有关实数的运算.
教学难点：二次根式除法运算法则的推导过程.
教 学 过 程
备 注
复习回顾
教师活动：通过提问引导学生回顾二次根式的乘法法则.
【问题1】二次根式的乘法法则是什么？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
【问题2】逆用二次根式的乘法法则可以得到什么？
预设答案：符号语言：
文字语言：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
【追问】二次根式的除法有类似的运算法则吗？
创设情境，引入课题
师生活动：教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过追问引出本节课要学习的内容.
【问题3】如图，一个长方形游泳池的长为m，且长是宽的倍，则长方形游泳池的宽为多少？

分析：长方形游泳池的宽
【追问】如何计算这个式子呢？这节课我们一起来研究这个问题.
2.合作探究，探索新知
师生活动：教师引导学生独立完成教材第7页【思考】部分的计算题，并观察思考算式中存在的规律. 让学生进行分组探究，得出二次根式的除法法则.
计算下列各题，观察有何规律？
答案：(1) ，； (2) ，.
【问题4】观察(1)(2)中的两组算式及其运算结果，你能发现他们之间有什么关系？
eq \f(\r(36),\r(49)) = eq \r(\f(36,49))；eq \f(\r(9),\r(16)) = eq \r(\f(9,16)).
分析：①被开方数都是正数
②算术平方根的商=商的算术平方根
猜想：（a≥0，b≥0）.
【追问】对于上面的式子，a，b都能取到非负数吗？
不是，a可以，b不可以.因为式子中b作为分母，若b=0，则无意义，因此a≥0，b>0.
【追问】你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗？
证明：因为当a≥0，b＞0时，
又 ，
的算术平方根只有一个，所以
【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：
二次根式的性质4
如果a≥0，b＞0，那么有
文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根.
由等式对称性，性质4也可以写成
文字语言：商的算术平方根等于算术平方根的商.
【想一想】
现在你能算出长方形游泳池的宽吗？
利用二次根式的除法法则得：

长方形游泳池的宽为 m.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的除法运算
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)

(2)
【交流】
例1（1）还有其它的计算方法吗？
小结：二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行. 把分母中的根号化去，就是分母有理化.
考点2 逆用性质4（即）行化简
【例2】化简：
(1)； (2) .
解：(1)
(2)
【交流】
教师活动：先让学生分组探究交流，找出这几个运算结果的特征，然后分组作答，最后教师补充完善，给出最简二次根式的概念.
观察例题中几个式子的运算结果有什么特征？


被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式是最简二次根式.
注意：在二次根式的运算中，一般把最后结果化成最简二次根式.
【做一做】
将下列根式化为最简二次根式？
(1) (2)
解：(1)
(2)
化简时应注意：
①有时需将被开方数分解因式；
②当一个式子的分母中含有二次根式时，
一般应把分母有理化.
4.随堂训练，巩固新知
1.化简：
答案：
2.计算：
答案： ；
；
.
3. 把下列各式的分母有理化：
答案：；
.
4.下列根式中，哪些是最简二次根式？
答案： 最简二次根式有
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）二次根式的性质3和性质4有什么区别？
（3）二次根式在进行除法运算和化简时需要注意什么？
（4）什么是分母有理化？
（5）最简二次根式的两个特征是什么？
6.布置作业
教科书第10页 练习第2题 第12页习题16.2第2(3)(4)题
回顾二次根式的乘法法则，为后面类比二次根式的乘法法则探索二次根式的除法法则作准备.
通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，感受二次根式除法运算的重要性.
类比乘法法则的推导过程，引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的除法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力
引导学生注意比较与性质3中a，b的取值范围的不同之处
注意引导学生与导出性质3的情况作类比
通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及商的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力.
通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的除法法则，培养应用意识.
中两个被开方数可以整除，直接应用性质4进行运算；
（2）中被两个被开方数不能整除，需先将除法转化为乘法运算.注意最后的结果都应为最简形式。
通过不同的计算方法引出分母有理化，让学生了解分母有理化的过程，明确此类题型的做法。
让学生进一步加深对商的算术平方根的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
通过认真观察并分组探究交流，让学生发现运算结果的特征，引出最简二次根式的概念，并让学生明白运算结果一般要化成最简二次根式.
考查性质4的逆用
考查性质3,（1）中 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
（a≥0，b>0，n≠0）
考查分母有理化
考查二次根式的识别
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计
二次根式的除法
1.二次根式的性质4（二次根式的除法法则）
算术平方根的商等于商的算术平方根.
2.反过来，可得商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于算术平方根的商.
3.分母有理化
4.最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式
5.拓展：（a≥0，b>0，n≠0）
提纲挈领，重点突出.
教后反思
本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.要注意二次根式乘除法的计算公式的逆用.乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式.
课题
二次根式比较大小
课型
新授课
教学内容
教材第9-10页的内容
教学目标
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法；
2.经历探究二次根式的大小比较的过程，感受类比、转化的数学思想；
3.运用多种方法比较二次根式的大小，了解数学解题方法的多样性；
4.鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
教学重难点
教学重点：掌握二次根式的大小比较的四种基本方法.
教学难点：灵活选择合适的方法进行二次根式的大小比较.
教 学 过 程
备 注
1.复习回顾，引入课题
【师生活动】教师带领学生回顾二次根式的乘法法则（性质3）和除法法则（性质4），并通过抢答的形式利用已学知识填空，为本节课要学习的内容作准备.
【问题1】二次根式的乘法法则是什么（性质3）？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
【问题2】二次根式的除法法则是什么（性质4）？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根.
抢答：
根据已学知识填空，看谁又快有准：
(1)如果a＞0，b＞0，当a＞b时，则a2 b2；反之，如果a＞0，b＞0，当a2＞b2时，则a b；
(2)如果a-b＞0，则a b；
(3)如果a＞0，b＞0，且＜1，则a b；
(4)如果a＞b＞0，则 .
答案：(1)＞；＞；(2)＞；(3)＜；(4)＞.
2.合作探究，探索新知
【师生活动】教师给出问题，学生先独立思考，然后教师带领学生一起探究，并找学生回答问题，引导学生分析出比较二次根式的大小的方法.
【问题3】一个正方形的边长为 cm，另一个正方形的边长为 cm，问：哪个正方形的面积大？它们的边长又有什么关系？
分析：
∵ ，
∴边长为 cm的正方形面积大.
正方形的面积越大，边长越长.
∴.
【追问1】能否从刚才的探究中发现比较与的大小的方法？

思路归纳：将无理数通过平方转化为有理数，比较有理数的大小即可.
【追问2】现在知道如何比较与的大小吗？
解：，，
∵
∴ .
小结：平方法.
依据：当a＞0，b＞0时，①a2＞b2，则a＞b；
②a2＜b2，则a＜b；
【追问3】还有其他的方法来比较二次根式的大小吗？
【师生活动】学生积极思考，教师适当进行点拨（依据抢答环节的题目进行思考）
3.学以致用，应用新知
【例】比较与的大小.
方法1 解：
∵ 12＜18，
∴
∴
小结：被开方数比较法.
依据：当a＞0，b＞0时，
①a＞b，则；
②a＜b，则.
方法2 解：
＜0
∴
小结：作差法.
注意：先作差，有公因式先提公因式，再与0进行比较.
依据：①若a-b＞0，则a＞b；②若a-b＜0，则a＜b.
方法3 解：＜1.
∴
小结：作商法.
依据：当a＞0，b＞0时，
①，则a＞b；②，则a＜b.
【归纳】
二次根式的大小比较的基本方法：
①平方法（同时去掉二次根号）
②被开方数比较法（转化为同为二次根号的式子）
③作差法（与0进行比较）
④作商法（与1进行比较）
4.随堂训练，巩固新知
1.选择合适的方法比较与的大小.
解法1：
∵ 50＞48，
∴
解法2：
∵ 50＞48，
∴
∴
2.用作差法比较与的大小.
解：∵.
∴
3.比较与的大小.
解：
∵75＞72，∴ ∴
4.比较与的大小.
解：∵， ，
∴， ∴>.
（选做）
5.比较与的大小.
解：∵
,
又∵-=.
∴>，
∴>.
比较与的大小.
解：∵
,
又∵.
∴>，∴<
5.课堂小结，自我完善
师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式比较大小的方法有哪几种？每种方法的思路是什么？
6.布置作业
教科书第16页第8题，第17页第7题
回顾二次根式的乘法法则和除法法则，以及已学的相关知识，为后面的内容作准备.
通过抢答的形式提高学生的学习兴趣，加深对相关知识的理解.
熟悉的正方形面积问题自然过渡，分析出比较二次根式大小的方法.在探究过程中让学生感受类比、转化的数学思想.
不要急于告诉学生如何比较这两个数的大小，应先让学生交流讨论，在此基础上引导、总结、归纳.
给出完整的解答过程和解题依据，让学生体会数学的严谨性，并通过追问激发学生的求知欲和探索欲.为后面的例题设下伏笔.
在前面的“抢答”环节中的题目中涉及到了“作差法”“作商法”以及“被开方数比较法”，但是并没有具体提炼出来，教师可以提醒学生从抢答环节的题目中思考其他比较二次根式大小的方法.
通过分组探究，让学生进一步探索二次根式比较大小的方法，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
通过归纳让学生进一步明确二次根式的大小比较的方法，并了解数学解题方法的多样性.
解法1：平方法
解法2：被开方数比较法
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差后将分子与0比较大小
分母有理化法
倒数法+
分母有理化法
让学生对每种比较大小的方法进行系统梳理，避免混淆
板书设计
二次根式比较大小
二次根式比较大小的基本方法：
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
二次根式比较大小的其他方法：
分母有理化法
倒数法
提纲挈领，重点突出.
教后反思
课题
二次根式的加减
课型
新授课
教学内容
教材第10-12页的内容
教学目标
1.经历探索二次根式加减运算的步骤和方法，使学生了解什么是同类二次根式，会辨别同类二次根式；
2.通过合并同类项的类比，归纳出二次根式加减的法则，并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用；
3.通过二次根式的化简，完成二次根式加减法的运算.
教学重难点
教学重点：二次根式的加减运算，同类二次根式的概念.
教学难点：会熟练进行二次根式的加减运算.
教 学 过 程
备 注
创设情境，引入课题
【问题1】已知△ABC，AB= cm，BC= cm， AC= cm，蚂蚁1经路线①到达C点，蚂蚁2经路线②到达C点.你知道蚂蚁1比蚂蚁2多走多少路程吗？

【师生活动】教师给出问题，引导学生认真读题，分析题意.
【追问1】你能用代数式表示出多走的路程吗？
分析：多走的路程=AB+ BC–AC
【追问2】多走的路程是多少呢？如何计算？
【师生活动】学生可能会想到直接取近似值. 教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，三次取近似值，影响精确度），并寻求解决问题的方法，即先化简再求近似值，从而提出本节学习的任务.
2.类比探究，学习新知
【问题2】如何化简?
【追问1】你能类比合并同类项化简吗？
【师生活动】教师引导学生回忆合并同类项的方法，并说明算理（分配律）.
类比整式的加减
二次根式的加减：
【追问2】这里的三个二次根式有什么共同特征？你是否能给出一个恰当的名称概括？你能得到这样的几个二次根式加减的方法吗？
【师生活动】教师引导学生分析，得出共同特征是二次根式的被开方数相同，类比同类项引出同类二次根式的概念（前提一定是化为最简二次根式）. 这样的二次根式加减，与合并同类项相似，可以利用分配律对它们进行合并.
【追问3】由的运算过程，你能想到如何计算
了吗？
【师生活动】教师引导学生得到“先化为最简二次根式，再合并”的运算步骤：
==.
化为最简二次根式 用分配律合并
【追问4】你能试着总结出二次根式加减运算的法则和一般步骤吗？
【归纳】
二次根式加减运算的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并. 合并同类二次根式与合并同类项类似.
注意：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.要想得到同类二次根式，必须先化简再观察.
二次根式加减运算的步骤：
①将每个二次根式化为最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式.
简记为：一化；二找；三合并.
【做一做】
判断下列哪些是同类二次根式：
解：是同类二次根式；
是同类二次根式.
小结：先化简成最简二次根式再判断.
3.学以致用，应用新知
【例】计算：
； (2) ；
（3）.
解：(1)





方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：
①把每个二次根式化为最简二次根式；
②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；
③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
4.随堂训练，巩固新知
1.下列计算是否正确，为什么？
答案：(1)不正确，因为和不是同类二次根式.
(2)不正确，因为和不是同类二次根式.
(3)不正确，因为2和是相加而不是相乘.
(4)不正确，不能直接将被开方数分别除以2.
2.计算：
答案：
5.课堂小结，自我完善
师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）二次根式加减运算的法则是什么？什么是同类二次根式？
（2）二次根式加减运算的一般步骤是什么？每一步的依据是什么？
（3）在二次根式的加减运算中，哪些地方容易出错？怎样避免？
（4）在推导二次根式法则的过程中运用了哪些思想方法？
6.布置作业
课本P12习题16.2第3题，P16复习题第5题
用实际问题引入的目的是让学生体会二次根式加减运算的应用价值，自然的提出二次根式的加减问题.

通过小组合作，让学生类比整式的加减运算，探究二次根式的加减运算，体会类比的数学思想.
通过观察共同特征归纳出同类二次根式的概念，培养观察归纳能力.
根据探究过程组织学生归纳出二次根式加减运算的法则和运算步骤，培养归纳概括能力.
让学生独立完成化简过程，再对被开方数进行判断.考查了对同类二次根式概念的理解.
通过例题让学生进一步加深对二次根式的加减运算法则、运算步骤的认识和理解，培养学生的应用意识.
引导学生辨析计算中的常见错误，（1）(2)不是同类二次根的不能合并，（3）注意区分和
，（4）只有同含根号时，被开方数才能相除
巩固二次根式加减运算的步骤，先化简，再判断，最后进行合并
通过具体问题的思考，引导学生总结二次根式加减的方法、依据及基本思想，实现记忆的结构化、简约化，优化知识结构
板书设计
二次根式的加减
二次根式的加减运算法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并. 合并同类二次根式与合并同类项类似.
二次根式加减运算的一般步骤：一化；二找；三合并
3. 同类二次根式
提纲挈领，重点突出.
教后反思
通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质.
课题
二次根式的混合运算
课型
新授课
教学内容
教材第11-12页的内容
教学目标
能够熟练进行二次根式的加减乘除混合运算.
会将乘法公式运用到含有二次根式的多项式乘法中.
经历探究二次根式混合运算的过程，并能将整式运算知识迁移到二次根式的运算中.
4.培养合作、探究、交流的能力，并通过探究体会到二次根式的运算与整式运算的联系.
教学重难点
教学重点：灵活运用运算律、乘法公式解决二次根式的混合运算问题
教学难点：由整式运算迁移到含二次根式的运算.
教 学 过 程
备 注
创设情境，引入课题
教师活动：教师呈现简单的整式乘除运算，并让学生到黑板板演具体解答步骤，回顾整式乘除运算的法则，通过追问的方式引入本节课题.
【问题1】计算：（1）（x+y）·xy= ，
（2）（2x2y+3xy2）÷xy= ，
（3）（x+y）（x-y）= ，
（4）（x+y）2=x2+2xy+y2，……
预设答案：
（1）（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2；
（2）（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y；
（3）（x+y）（x-y）= x2-y2；
（4）（x+y）2=x2+2xy+y2.
【师生活动】学生完成板演，让学生回顾多项式乘除运算的运算法则，教师点评补充.
【追问】如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？
2.类比探究，学习新知
类比整式的乘法运算，如何计算？
【探究1】（1）化简（x+y）·z= ，
（2）根据（1）中的方法完成下面的运算：
= 。
【师生活动】根据单项式乘多项式的运算法则，可得（x+y）·z
=x·z+y·z=xz+yz.
教师提问：式子与（1）中的算式有什么联系？
根据学生的回答情况引导归纳：算式（x+y）·z与具有相同的结构，因此类比单项式乘多项式的运算法则应有=
.
同样地，类比整式的除法运算，如何计算？
【探究2】（1）化简= ，
（2）根据（1）中的方法完成下面的运算：
= 。
【师生活动】根据多项式除单项式的运算法则，可得；类比多项式除单项式的运算法则可得
.
【探究3】类似地，观察下面几个算式的特征，思考分别可以类比哪些整式运算，并完成作答：
（1）；
（2）；
（3）.
【师生活动】找学生代表进行回答，教师根据学生回答情况进行补充.
根据学生的回答情况引导归纳：算式可类比多项式乘多项式，算式可类比平方差公式；
算式可类比完全平方公式.
【归纳】
二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号.
在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
3.学以致用，应用新知
【例1】计算：
；
（2）；
（3） .
解：（1）=（4-2+6）÷2=（4+4）÷2=4÷2+4÷2=2+2；
（2）.
（3）
小结：实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算，对于有乘积的二次根式混合运算，注意乘法公式的准确运用.
【例2】计算：.
解：
【归纳】
二次根式混合运算的注意事项：
①二次根式的混合运算与整式的运算顺序一样，先乘除，后加减，有括号先算括号里面的(或先去括号).
②乘法运算的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.
③二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.
④运算时，能用乘法公式的要尽量使用，灵活运用公式可简化计算过程.
【例3】已知，，求下列代数式的值
； （2）.
解：；
.
（1）
（2）=.
【归纳】解二次根式化简求值问题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算.化简求值时注意整体思想的运用．
4.随堂训练，巩固新知
1.计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
2.化简：
答案：
已知：，，求的值.
解：∵，
.
∴
5.课堂小结，自我完善
回答下面的问题，说说你对二次根式混合运算的认识：
（1）二次根式运算与整式运算之间的关系？
（2）在二次根式的混合运算中，哪些地方容易出错？怎样避免？
（3）在学习二次根式的混合运算的过程中运用了哪些思想方法？
6.布置作业
课本P12习题16.2第4，7题
通过例题的方式引导学生回顾多项式乘除运算的法则和乘法公式，让学生体会整式运算与二次根式运算之间存在的联系，自然的引入二次根式的混合运算.
类比多项式的乘除运算，探究二次根式的运算，体会类比的数学思想，通过引导学生观察比较，发现两个算式的联系，初步感受“数式通性”和类比的数学思想。
教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定对应的整式运算，再进行计算，锻炼学生的观察能力和知识迁移能力
通过例1，例2让学生明白实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算.
通过例题的运算过程归纳出二次根式的混合运算的注意事项.
例3考查的二次根式得化简求值，此类问题一般有两种思路，一种是先代入后化简，一种是先化简后代入，可以让学生用两种方法分别计算，体会哪种运算方法更简便.
考查乘法公式在二次根式的运算中的应用
考查二次根式的化简求值，注意整体思想的运用.
引导学生加深对本课知识的理解.
板书设计
二次根式的混合运算
运算顺序：与实数运算相同
运算原理：运算律、多项式的乘法法则、乘法公式仍然适用
3.化简求值：先化简，后代入求值；整体思想
提纲挈领，重点突出.
教后反思
二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以下几点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． (2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3)整式和分式的运算法则对于二次根式同样适用. (4)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. (5)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果最终结果是二次根式要化为最简二次根式.