北京市丰台区2024届高三下学期一模考试数学试题（Word版附答案）

这是一份北京市丰台区2024届高三下学期一模考试数学试题（Word版附答案），共17页。试卷主要包含了03，已知集合，，则，已知公差为的等差数列满足，已知双曲线，已知向量，满足，，且，则，已知数列满足则等内容，欢迎下载使用。
2024.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知公差为的等差数列满足：，且，则（ ）
A.B.0C.1D.2
3.已知双曲线（）的离心率为，则（ ）
A.2B.C.D.
4.的展开式中，的系数为（ ）
A.B.C.40D.80
5.已知向量，满足，，且，则（ ）
A.B.C.2D.4
6.按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；
②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.
某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
7.在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ）
A.1B.C.2D.
8.已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：
①棱长为；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；
③表面积为；
④外接球的体积为.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②B.①③C.②④D.③④
10.已知数列满足则（ ）
A.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C.当时，存在正整数，当时，
D.当时，对于任意正整数，存在，使得
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11._________.
12.在中，若，，，则_________.
13.已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为__________.
14.已知函数具有下列性质：
①当时，都有；②在区间上，单调递增；③是偶函数.
则________；函数可能的一个解析式为_________.
15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为，
其中.
注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量.
给出下列三个结论：
①；②当时，；③当时，若，则.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题14分）如图，在直三棱柱中，，为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题14分）已知函数（）.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在区间上单调递减，，求的值.
18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.
（Ⅰ）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系.（结论不要求证明）
19.（本小题14分）已知椭圆（）的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为.是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（本小题15分）已知函数，曲线在点处的切线为，记.
（Ⅰ）当时，求切线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数的零点并证明；
（Ⅲ）当时，直接写出函数的零点个数.（结论不要求证明）
21.（本小题15分）已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②.
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”.
（Ⅰ）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
（Ⅱ）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
（Ⅲ）判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由.
疱疹面积（单位：）
第1组（只）
3
4
1
2
0
第2组（只）
1
3
2
3
1