广东省茂名市高州市2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

这是一份广东省茂名市高州市2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份），共22页。试卷主要包含了单选题，解答题每题6分共18分，解答题每题9分共27分，解答题每题10分共30分等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）大于﹣2.5而小于3.5的整数共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
3．（3分）2019年是新中国成立70周年，国产电影在国庆期间推出的“献礼片”﹣《我和我的祖国》，此片深受人们喜爱．截止到2019年10月19日，则数据2745000000科学记数法表示为（ ）
A．0.2745×1010B．27.45×108
C．2.745×1010D．2.745×109
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2D．2xy2•x2y＝2x2y2
5．（3分）下列对称图形中，是轴对称图形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（3，﹣3）D．（﹣3，﹣3）
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）若分式的值为0，则a的值为（ ）
A．±1B．0C．﹣1D．1
9．（3分）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（﹣4，0），有下列结论：
①abc＞0
②2a﹣b＝0
③4a+c＜2b
④点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）已知sinα•sin45°＝，则锐角α为 ．
12．（3分）当a+b＝2，ab＝﹣3时，则a2b+ab2＝ ．
13．（3分）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是 ．
14．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F ．
15．（3分）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于点G，AB＝AE＝4 ．
三、解答题（一）每题6分共18分。
16．（6分）解不等式组：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝π﹣4．
18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
四、解答题（二）每题9分共27分。
19．（9分）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg），该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
20．（9分）玉林素有“岭南美玉、胜景如林”的美誉，是中国优秀旅游城市，区域内著名旅游点有：A．大容山风景区，C．五采田园，D．龟山公园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 人，扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B、C三个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
21．（9分）如图，海中小岛A周围15n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点处测得小岛A在北偏东63.4°方向上，这时测得小岛A在北偏东33.7°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
五、解答题（三）每题10分共30分。
22．（10分）【实验】（1）如图①，点O为线段MN的中点，当OP＝OQ时，四边形PMQN的形状为 ；
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
其理论依据是 •
【探究】（2）如图②，在平行四边形ABCD中，过点E作AE的垂线交边CD于点F，连结AF．试猜想AB，CF三条线段之间的数量关系，并给予证明．
【应用】（3）如图③，在△ABC中，若∠BAD＝90°，AD＝2，求△ABC的面积．
23．（10分）如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，求AE的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为OC的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作PH⊥x轴，PH与BC，BD分别交于点E，F，求点P的坐标；
（3）若直线y＝nx+n（n≠0）与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且有一个交点在第一象限，其中x1＜x2，若x2﹣x1＞3，y2＞y1，结合函数图象，探究n的取值范围．
2023-2024学年广东省茂名市高州市九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分共30分）
1．（3分）若一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，而（﹣）＝1，
∴的倒数是﹣，
故选：B．
2．（3分）大于﹣2.5而小于3.5的整数共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【解答】解：大于﹣2.5小于3.5的整数共有：
﹣2，﹣6，0，1，4，3；
所以，一共有6个．
故选：A．
3．（3分）2019年是新中国成立70周年，国产电影在国庆期间推出的“献礼片”﹣《我和我的祖国》，此片深受人们喜爱．截止到2019年10月19日，则数据2745000000科学记数法表示为（ ）
A．0.2745×1010B．27.45×108
C．2.745×1010D．2.745×109
【解答】解：2745000000＝2.745×109，
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（﹣2a2b）2＝﹣4a4b2
C．﹣8a3b÷2ab＝﹣4a2D．2xy2•x2y＝2x2y2
【解答】解：（a﹣b）（b﹣a）＝﹣a2+2ab﹣b6，故选项A错误；
（﹣2a2b）4＝4a4b5，故选项B错误；
﹣8a3b÷6ab＝﹣4a2，故选项C正确；
8xy2•x2y＝6x2y3，故选项D错误；
故选：C．
5．（3分）下列对称图形中，是轴对称图形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：第一、第二，使这些图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
第三个图形找不到这样的一条直线，使这个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
所以是轴对称图形有3个．
故选：C．
6．（3分）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（3，﹣3）D．（﹣3，﹣3）
【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣5）在第二，
∴m+1+2m﹣5＝0，
解得：m＝2，
∴P（8，﹣3）．
故选：C．
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
8．（3分）若分式的值为0，则a的值为（ ）
A．±1B．0C．﹣1D．1
【解答】解：由题意可得，
解得：a＝﹣7，
故选：C．
9．（3分）对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，符合题意；
反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确；
点P（m，n）在它的图象上，
∴mn＝4．
∴m＝．
∴点Q（n，m）也在它的图象上，不符合题意．
故选：B．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（﹣4，0），有下列结论：
①abc＞0
②2a﹣b＝0
③4a+c＜2b
④点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①∵抛物线的对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号．
∵抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
∴abc＜0．
故结论①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣4，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝5a．
∴2a﹣b＝0，
故结论②正确；
③∵对称轴为直线x＝﹣6，且点A的坐标为（﹣4，
∴当x＝﹣2时，y＝8a﹣2b+c＜0，
∴6a﹣2b+c＜0，
∴6a+c＜2b．
故结论③正确；
④∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣7时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞﹣5时，y1＞y2，
故结论④错误，
综上所述，正确的结论有5个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．（3分）已知sinα•sin45°＝，则锐角α为 45° ．
【解答】解：∵sinα•sin45°＝，
∴sinα•＝，
故sinα＝，
则锐角α为45°．
故答案为：45°．
12．（3分）当a+b＝2，ab＝﹣3时，则a2b+ab2＝ ﹣6 ．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a3b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．（3分）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是 2 ．
【解答】解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F 4﹣π ．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝2
∵BE＝CE＝BC＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，
故答案为5﹣π．
15．（3分）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于点G，AB＝AE＝4 2﹣2 ．
【解答】解：取AE的中点F，连接BF，
∵∠EAD＝90°，AB＝AE＝4，
∴AF＝EF＝AE＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AC⊥ED于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴FG＝AE＝2，
∵BG+FG≥BF，
∴BG+2≥2，
∴BG≥2﹣6，
∴BG的最小值为2﹣8，
故答案为：2﹣2．
三、解答题（一）每题6分共18分。
16．（6分）解不等式组：．
【解答】解•：，
由①得：3x﹣4x≥﹣7﹣5，
﹣x≥﹣7，
x≤5，
由②得：4x＜24，
x＜6，
∴不等式组的解集为：x＜8．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝π﹣4．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝×
＝，
当x＝π﹣4时，原式＝＝．
18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
【解答】解：（1）如图，AE即为所求.
（2）过点E作EF⊥AB于点F，
∵AE为∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴CE＝EF，
在Rt△ACE中，
∵AC＝6cm，tan∠CAE＝，
∴，
解得CE＝，
经检验，CE＝，
∴EF＝cm，
即点E到线段AB的距离为cm．
四、解答题（二）每题9分共27分。
19．（9分）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg），该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝3，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝8x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.4．
所挂物体的质量为2.5kg．
20．（9分）玉林素有“岭南美玉、胜景如林”的美誉，是中国优秀旅游城市，区域内著名旅游点有：A．大容山风景区，C．五采田园，D．龟山公园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 50 人，扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角是 36° ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B、C三个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
【解答】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%＝50（人），
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角是：，
故答案为：50，36°；
（2）C景点的人数：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两人恰好选中同一个小组的结果有3种，
∴两人恰好选中同一个小组的概率为．
21．（9分）如图，海中小岛A周围15n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点处测得小岛A在北偏东63.4°方向上，这时测得小岛A在北偏东33.7°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ABD＝∠BAE＝63.4°，
设AE＝x n mile，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴DE＝AE•tan∠CAE＝0.4x（nmile），
Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝2x（nmile），
∵BE﹣CE＝BC，
∴2x﹣4.7x＝26，
解得x＝20，
∵20＞15，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
五、解答题（三）每题10分共30分。
22．（10分）【实验】（1）如图①，点O为线段MN的中点，当OP＝OQ时，四边形PMQN的形状为 D ；
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
其理论依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 •
【探究】（2）如图②，在平行四边形ABCD中，过点E作AE的垂线交边CD于点F，连结AF．试猜想AB，CF三条线段之间的数量关系，并给予证明．
【应用】（3）如图③，在△ABC中，若∠BAD＝90°，AD＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵点O为线段MN的中点，
∴OM＝ON，
∴当OP＝OQ时，四边形PMQN为平行四边形，
故答案为：D，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）AF＝AB+CF，
证明：延长FE，交AB延长线于H，
∵∠BEH＝∠CEF，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠HBE＝∠FCE，
在△EBH和△ECF中，
，
∴△EBH≌△ECF（ASA），
∴CF＝BH且HE＝FE，
又∵AE⊥HF，
∴AH＝AF，
∴AH＝AB+BH＝AB+CF，
∴AF＝AB+CF，
故答案为：AF＝AB+CF；
（3）在AC上取点E，使DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝90°，
又∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，∠CDF＝∠CBA，
∴△CED∽△CAB，
∴＝，
∴EC＝，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∴AB＝2DE＝，
∴S△ABD＝AB•AD＝×＝，
∵△ABD和△ACD等底等高，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABC＝4S△ABD＝2．
23．（10分）如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，求AE的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图．
∵ED∥OB，
∴∠1＝∠4，∠5＝∠3，
∵OD＝OE，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2．
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB（SAS），
∴∠ODB＝∠OCB，
∵BC切⊙O于点C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠DEO＝∠2，
∴tan∠DEO＝tan∠2＝＝，
∵⊙O的半径为1，OC＝5，
∴BC＝，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD＝BC＝．
设AE＝x，由切割线定理得：AD4＝AE•AC＝x（x+2），
∴AD＝，
∵DE∥BO，
∴＝
∴＝，
解得x1＝3，x2＝0（舍去），
即AE的长为2．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为OC的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作PH⊥x轴，PH与BC，BD分别交于点E，F，求点P的坐标；
（3）若直线y＝nx+n（n≠0）与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且有一个交点在第一象限，其中x1＜x2，若x2﹣x1＞3，y2＞y1，结合函数图象，探究n的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点A，A（﹣3，
∴﹣1﹣b+3＝2，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+3，
令y＝0，可得﹣x3+2x+3＝2，
解得x＝﹣1或3，
∴B（2，0），
令x＝0，得到y＝6，
∴C（0，3）；
（2）∵D是OC的中点，C（6，
∴点D的坐标是（0，），
由B（3，0），3）两点坐标可以求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
∴由B（3，5），）两点坐标可以求出直线BD的解析式为：y＝﹣．
设点P的坐标是（x，﹣x2+2x+5），则E（x，点F（x，﹣），H（x．
∴PE＝﹣x2+6x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x4+3x，EF＝﹣x﹣3﹣（﹣）＝﹣，
∵PE＝EF＝FH，
∴﹣x2+3x＝﹣x+．
解得：x＝3（舍去）或，
当x＝时，y＝﹣x2+2x+7＝，
∴点P的坐标为：（，）；
（3）方法一：当x1＜x6时，y2＞y1，即y随x的增大而增大，
∴n＞5，
当x＝﹣1时，y＝nx+n＝0，
∴直线y＝nx+n经过点（﹣2，0），
如解图所示，点N在第一象限2﹣x5＞3，即x2﹣（﹣8）＞3，x2＞4，
当x2＝2时，y7＝3，此时n＝1，
由解图可知，当x7＞2时，n＜1，
∴n的取值范围为3＜n＜1．
方法二：
联立y＝nx+n和y＝﹣x2+8x+3，
解得：，
依题意，有3﹣n＞﹣1即n＜4．
当x1＜x2时，y2＞y1，即y随x的增大而增大，
∴n＞0，
又由x4﹣x1＞3得4﹣n﹣（﹣1）＞3，
∴n＜5，
综上，0＜n＜1，
∴n的取值范围为：3＜n＜1．x
0
2
5
y
15
19
25
x
0
2
5
y
15
19
25