2024年吉林省中考数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题
1. 下列各式计算结果是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的定义计算并判断．
【详解】解：，A选项符合题意；
，B选项不符合题意；
，C选项不符合题意；
，D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，绝对值和相反数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时的关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：
故选：C．
3. 如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，内错角相等两直线平行，能判定；故A不符合题意；
B． ，同位角相等两直线平行，能判定；故B不符合题意；
C． ，同旁内角互补两直线平行，能判定；故C不符合题意；
D． ，内错角相等两直线平行，能判定，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
4. 下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握相关的性质是解题的关键．根据每个几何体的三视图得到的图像进行判断即可得到答案．
【详解】解：A选项的三棱锥的侧视图会出现矩形，不符合题意；
B选项的圆柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；
C选项的圆锥主视图、侧视图、俯视图都不会出现矩形，符合题意；
D选项的正方体主视图、侧视图、俯视图都是正方形，正方形是特殊的矩形，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，已知点在反比例函数的图像上，过点作轴，垂足为，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的图像上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点在反比例函数即可求出的长，根据翻折的性质，可求出的坐标，再运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，即，，
∴，，
∵将沿翻折，
∴，即，，
如图所示，过点作轴于点，

∴，
在中，，，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，翻折的性质，直角三角形的勾股定求边长，图形与坐标等知识是解题的关键．
6 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误是（ ）
A. AP＝BQB. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQD. ∠APQ+∠ABQ＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理．
二、填空题
7. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式y进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 若分式的值为正数，则x的取值范围_____．
【答案】x>7
【解析】
【详解】试题解析：由题意得：
＞0，
∵-6＜0，
∴7-x＜0，
∴x＞7．
9. 如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点D，则的度数为__________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质可得DB=DC，则∠DCB=∠B=30°，再利用三角形内角和定理计算出∠ACB的度数，然后根据∠ACD=∠ACB-∠DCB即可得解．
【详解】解：由题意可得的垂直平分线与交于点D，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=30°，
∵∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=105°-30°=75°．
故答案为75°．
【点睛】本题考查了作图——基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握作已知线段的垂直平分线的步骤．
10. 如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为______．
【答案】27
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解∶与位似，
，
，
，
．
的面积是3，
的面积，
故答案为：27．
11. 如图，在扇形中，，平分交于点D，点E为半径的中点．若，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过D作于F，先证明是等边三角形即可求出，，然后根据勾股定理求出，根据含30度的直角三角形的性质求出，最后根据求解即可。
【详解】解：连接，过D作于F，
∵，，
∴是等边三角形，
∵点E为半径的中点，
∴，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据求解是解题的关键．
12. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．利群商厦从5月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，则可列方程组_________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意：打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13. 如图，正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合，现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．设旋转角∠BAE＝α（0°＜α＜360°），则当α＝_____时，正方形的顶点F落在直线BC上．
【答案】270°
【解析】
【分析】先画出图形，再由旋转的性质确定旋转角，结合正方形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点落在直线BC上，
∵
∴α=360°-90°=270°，
故答案为：270°．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，理解旋转角是解本题的关键．
14. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是________．

【答案】
【解析】
【分析】将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可知，从而可得的取值范围．
【详解】解：由题意，得
，
解得（舍去），
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题
15. 先化简再求值：，其中，.
【答案】8
【解析】
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】原式==，
当，时，原式=
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
16. 如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
【详解】证明：△ABC中，∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM.
∵M是BC的中点，
∴BM=CM.
在△BDM和△CEM中，
∵，
∴△BDM≌△CEM（SAS）.
∴MD=ME．
17. 在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【答案】A型机器人每小时搬运90kg化工原料，B型机器人每小时搬运60kg化工原料
【解析】
【分析】设A型机器人每小时搬运化工原料，则B型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列分式方程，解方程求解即可．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运化工原料，则B型机器人每小时搬运化工原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的根．
故该方程的解为，．
答：A型机器人每小时搬运90kg化工原料，B型机器人每小时搬运60kg化工原料．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18. 现有三位“抗疫”英雄（依次标记为，，）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上，，三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，统计小明和小亮抽到的是不同英雄的结果有几种，再由概率公式求解；
【小问1详解】
解：）∵共有三张卡片，分别是，，三个标号，
∴班长在三种卡片中随机抽到标号为的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有6种结果．则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；所求概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，已知，A，B是上的点，P为外一点，连接，，分别交于点C，D，．

（1）求证：；
（2）若的半径为6，，．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，，，作于，于，设交于．证明，推出，再证明，可得结论．
（2）过点作于．先求得，则，利用三角形的面积公式得，即可由解决问题．
【小问1详解】
证明：连接，，，，，作于，于，设交于．

，
，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于．

∴
，
．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图．
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【答案】（1）25，图见解析
（2）5，5 （3）810名
【解析】
【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．
【小问1详解】
解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，解得x=50．
条形统计图补充如下：
故答案为：5；
【小问2详解】
解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5．
故答案为：5，5．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．
21. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，点为中点，请按要求完成作图：
（1）作线段，使得，，点在格点上；
（2）作线段，使得平分线段，点在格点上，连接线段，直接写出线段的长度．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题目要求作图；
（2）根据题目要求作图，根据F、G两点位置，结合网格中小正方形边长为1，运用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：（1），（2）问作图，如图所示；
（2）根据图中F、G两点位置，．
【点睛】此题考查作图—应用设计，过一点作已知直线的垂线，平行四边形判断及性质，同时运用勾股定理计算直角三角形斜边长．
22. 如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识．
（1）易证，，从而可知，即；
（2）延长交于点G，易证，由于，所以，所以；
（3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
延长交于点G．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
∵O是中点，
∴
∵，
∴．
∵是直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离 （单位：km），（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）甲车的行驶速度为 km/h，乙车的行驶速度为 km/h；
（2）当时，求乙车与C地的距离与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）当乙车出发 小时，两车相遇；
【答案】（1）甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
（2）＝；
（3）乙车出发小时，两车相遇．
【解析】
【分析】（1）根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据待定系数法分类讨论求解乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=200+240列方程求解即可；
【小问1详解】
解：甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），
∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
故答案为60，80
【小问2详解】
解：当1＜t≤时，设＝kt+b，
∵图象过点（1，200），（，0），
∴，
∴，
∴＝﹣80t+280；
当＜t≤4时，
∵（4﹣）×80＝40（km），
∴图象过点（4，40），
设＝kt+b，
∵图象过点（4，40），（，0），
∴，
∴，
∴＝80t﹣280．
∴＝；
【小问3详解】
解：设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
解得：m＝．
∴乙车出发小时，两车相遇．
故答案为
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定系数法求解一次函数的关系式是解题的关键．
24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】（1）k的值为，的值为6
（2）或
【解析】
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
【小问2详解】
当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
25. 综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形中，，，点P是边上一点，将沿直线折叠，点A的对应点为点．

【操作发现】
操作一：如图①，当点P与点B重合时，过点作，交于点，连接，试判定四边形的形状，并说明理由；
操作二：如图②，当点落在边上时，______；
操作三：如图③，当点为中点时，延长交于点，连接，则______．
【答案】操作一：菱形，理由见详解
操作二：
操作三：
【解析】
【分析】操作一：由折叠的性质可得，，结合平行线的性质可得，易得，即可证明，即可证明四边形为平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形为菱形”即可证明四边形为菱形；
操作二：由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理可解得，易得，设，则，在中，由勾股定理列式求解即可获得答案；
操作三：结合矩形的性质和折叠的性质，证明，由全等三角形的性质可得，设，则，，在中，由勾股定理可解得，在中，可求得的值．
【详解】解：操作一：四边形的形状为菱形，理由如下：
根据题意，将沿直线折叠，点A的对应点为点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
操作二：
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
由折叠的性质可得，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
∴在中，，
即，解得，
∴．
故答案为：；
操作三：
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∵点为中点，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
∴在中，可有，
即，解得，
，
∴在中，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题关键．
26. 抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限的抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）若点D在x轴正半轴上且，经过点D的直线交抛物线于点M，N（M在第一象限，N在第三象限），且满足，求的解析式．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接，过点P作于点E，先求出点A的坐标，设，根据建立方程，求解即可；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，通过证明，利用相似三角形的性质得出，进而证明，得出，设直线AM的表达式为，可得点，设直线的表达式为，求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线与y轴交于点C，
∴当时，．即点，
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），且，
∴，即，
∴，解得，
∴；
【小问2详解】
连接，过点P作于点E．
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边）
∴当时，．
解得，即点，
在中，，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，解得，
∴当时，，即点．
【小问3详解】
过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴可设直线的表达式为．
∴联立得，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，解得，
∴，∴，
∴点，
∵，可设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．