2024年山东省济宁市邹城市第八中学九年级中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：A．
2. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围.
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：．
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限.
3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据原售价降低率）得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【详解】解：设平均每月降低的百分率为x，
依题意得：，
故选：D
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的乘除法，先将除法转化为乘法，再根据整式乘法的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
5. 如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可.
【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
∴，其中，
解得：，，
∴，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
6. 在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据加减消元法，即可求解．
【详解】解：①②得，
∵①②可直接消去未知数，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键．
7. 已知a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=-ax2-a的开口向下，交y轴的负半轴，D选项符合；
当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=-ax2-a的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
8. 如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】先设，得出，，，再根据的面积是6，得出，最后证明，得出，即，求得的值即可．
【详解】解：设，则，．
∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上，
∴．
∵的面积是6，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
9. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：
①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．
其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断；
②由对称轴和函数的图像可以判断；
③算出a和c的关系即可；
④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；
【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0)
∴对称轴
∴b =-2a，c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a < 0
∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③正确；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=
∴故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
10. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
12. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______．
【答案】﹣2y（x﹣4）2
【解析】
【详解】试题分析：根据提取公因式以及完全平方公式即可求出：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）=﹣2y（x﹣4）2
故答案为﹣2y（x﹣4）2
考点：因式分解
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．
【答案】四．
【解析】
【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
∴，，
∴点在第四象限．
故答案为四．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
14. 已知二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集是 __．
【答案】或或
【解析】
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：分两种情况：
当时，当或时，直线在抛物线的下方，
关于的不等式的解集是或；
当时，当时，直线在抛物线的下方，
关于的不等式的解集是；
综上，关于的不等式的解集是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
15. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）；
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．
三、计算题：本大题共2小题，共13分．
16. （1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
四、解答题：本题共5小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？
【答案】（1）
（2）至多要派5名工人制造甲种零件才合适
【解析】
【分析】本题考查一次函数与实际问题，一元一次不等式的实际应用．
（1）根据每天所获利润等于每天制造甲种零件的数量乘以每个零件的利润加上每天制造乙种零件的数量乘以每个零件的利润列式即可；
（2）根据（1）每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式列出不等式，再根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设该车间每天安排x名工作制造甲种零件，则安排人制造乙种零件，
根据题意：
即；
【小问2详解】
解：根据题意：令
解得：，
在中，
∵，
∴y的值随x的值的增大而减少，
∴要使，需，
答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适．
19. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.

（1）求一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式．
（2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集．
【小问1详解】
解：由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将代入得，．
所以一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：当，即图象在轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式的解集为：．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键．
20. 某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
【解析】
【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案；
根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车，
依题意，得：
解得：．
为整数，
．
符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车．
方案1所需费用为：（元），
方案2所需费用为：（元），
方案3所需费用为：（元）．
，
方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
21. 阅读下列材料：已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式在计算．例如：求点到直线的距离．
解：∵直线，其中，，
∴点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点到直线的距离；
（2）已知直线与平行，试求这两条平行线之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，平行线之间的距离等，解题的关键是能够理解题目中距离的计算公式求得点到直线的距离．
（1）根据材料中公式，代入数据计算即可求解；
（2）在直线上任取一点坐标，由材料中公式，代入数据计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线，其中，，
点到直线的距离为：；
【小问2详解】
解：在直线上，当时，，则点在直线上，
∵直线，其中，，
点到直线的距离为，
直线与直线平行，
点到直线的距离即为直线与直线之间的距离，
直线与直线之间的距离．
22. 如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与轴交于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．
①求△PCD的面积的最大值；
②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①3；②或
【解析】
【分析】（1）根据直线解析式求出点C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①过点P作轴于点F，交DC于点E，用t表示出点P和点E的坐标，的面积用表示，求出最大值；
②分两种情况进行讨论，或，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出t的值，得到点P的坐标．
【详解】解：（1）令，则，求出，
将A、B、C坐标代入抛物线解析式，得，解得，
∴；
（2）①如图，过点P作轴于点F，交DC于点E，
设点P的坐标是，则点E的纵坐标为，
将代入直线解析式，得，
∴点E坐标是，
∴，
∴，
∴面积的最大值是3；

②是以CD为直角边的直角三角形分两种情况，
第一种，，如图，过点P作轴于点G，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴；

第二种，，如图，过点P作轴于点H，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴，

综上，点P的坐标是或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角形利用数形结合的思想求点坐标的方法．