河北省文安县第一中学2023-2024学年高一清北班下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 复数 虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则B=（ ）
A. B. 或C. D. 或
5. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
7. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设复数满足，则下列说法错误是（ ）
A. 为纯虚数B. 虚部为2i
C. 在复平面内，对应点位于第二象限D. ＝
10. 已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则在上的投影向量的坐标是
C 当取得最小值时，
D. 若的夹角为锐角，则的取值范围为
11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（ ）
A. 有水的部分始终是棱柱
B. 水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C. 棱始终与水面平行
D. 当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，不是定值
三、填空题
12. 已知，，，则向量与的夹角的余弦值为__________．
13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
14. 在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为___________．
四、解答题
15. 已知向量满足，且的夹角为.
（1）求的模；
（2）若与互相垂直，求λ的值.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
18. 如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、C、E.
（1）画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
（2）求（1）中截面多边形的面积；
（3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.
19. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.
（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.